Ideał różniczkowy

W teorii form różniczkowych ideał różniczkowy I jest ideałem algebraicznym w pierścieniu gładkich form różniczkowych na gładkiej rozmaitości , czyli ideałem stopniowanym w sensie teorii pierścieni , który jest dodatkowo zamknięty pod zewnętrznym różniczkowalnością d , co oznacza że dla dowolnej formy α w I , pochodna zewnętrzna d α jest również w I .

W teorii algebry różniczkowej ideał różniczkowy I w pierścieniu różniczkowym R jest ideałem, który jest odwzorowywany na siebie przez każdy operator różniczkowy.

Układy różniczkowe zewnętrzne i równania różniczkowe cząstkowe

Zewnętrzny system różnicowy składa $się$ z gładkiej rozmaitości ideału różniczkowego

${\ Displaystyle I \ podzbiór \ Omega ^ {*} (M)}$ .

Integralna rozmaitość zewnętrznego układu różnicowego $Displaystyle$$}$ z podrozmaitości $,$ że wycofanie do wszystkich form różniczkowych zawartych w $identycznie$ .

równań różniczkowych cząstkowych można wyrazić jako zewnętrzny układ różniczkowy z warunkiem niezależności. Załóżmy $różniczkowych cząstkowych$ że mamy układ k- map przez

${\ Displaystyle F ^ {r} (x, u, {\ Frac {\ częściowe ^ {| I |} u} {\ częściowe x ^ {I}}}) = 0, \ quad 1 \ równoważnik | ja |\równik k}$ .

k {\ ${\ Displaystyle (u ^ {a}, p_ {i} ^ {a}, \ kropki, p_ {I} ^ {a}) = (u ^ {a} (x), {\ Frac {\ częściowe u^{a}}{\częściowe x^{i}}},\kropki ,{\frac {\częściowe ^{|I|}u}{\częściowe x^{I}}})_{1\równoważnik |I|\leq k}}$$k}$ -jet dowolnego rozwiązania tego układu równań różniczkowych cząstkowych jest podrozmaitością $i$ dżetów jest integralną rozmaitością układu kontaktowego ${\ Displaystyle du ^ {a} -p_ {i} ^ {a} dx ^ {i}, \ kropki, dp_ {I} ^ {a} - p_ {Ij} ^ {p} dx ^ { j} {} _ {1 \ równoważnik | I | \ równoważnik k-1}}$ na pakiecie ${\ displaystyle k}$ -jet.

Pomysł ten pozwala analizować własności równań różniczkowych cząstkowych metodami geometrii różniczkowej. Na przykład możemy zastosować twierdzenie Cartana-Kählera do układu równań różniczkowych cząstkowych, zapisując powiązany zewnętrzny układ różniczkowy. Często możemy zastosować metodę równoważności Cartana do zewnętrznych systemów różniczkowych, aby zbadać ich symetrie i niezmienniki dyfeomorfizmu.

Idealne ideały różniczkowe

Ideał różniczkowy $jest doskonały,$$b \ in$ ma tę właściwość, że jeśli zawiera element, $displaystyle$ dowolny element takie, że ${\ displaystyle b ^ {n} = a}$ dla pewnego ${\ displaystyle n> 0 \,}$ .

• Robert Bryant , Phillip Griffiths i Lucas Hsu, W kierunku geometrii równań różniczkowych (plik DVI), w Geometry, Topology, & Physics, Conf. proc. Notatki z wykładu Geom. Topologia, pod redakcją S.-T. Yau, cz. IV (1995), s. 1–76, Internat. Prasa, Cambridge, MA
• Robert Bryant , Shiing-Shen Chern , Robert Gardner , Phillip Griffiths , Hubert Goldschmidt, Zewnętrzne systemy różnicowe , Springer-Verlag, Heidelberg, 1991.
• Thomas A. Ivey, JM Landsberg, Cartan dla początkujących . Geometria mechanizmu różnicowego za pomocą ruchomych ram i zewnętrznych układów różnicowych. Druga edycja. Studia podyplomowe z matematyki, 175. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI, 2016.
• HW Raudenbush, Jr. „Teoria idealna i algebraiczne równania różniczkowe”, Transactions of the American Mathematical Society , tom. 36, nr 2. (kwiecień 1934), s. 361–368. Stabilny adres URL: [1] doi : 10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
• JF Ritt, Algebra Różniczkowa , Dover, Nowy Jork, 1950.