Iloczyn tensorowy form kwadratowych

W matematyce iloczyn tensorowy kwadratowych jest form najłatwiejszy do zrozumienia, gdy traktuje się formy kwadratowe jako przestrzenie kwadratowe . Jeśli R jest pierścieniem przemiennym , gdzie 2 jest odwracalne (to znaczy R ma charakterystyczny ${\ Displaystyle {\ tekst {znak}} (R) \ neq 2}$ ), a jeśli ${\ Displaystyle (V_ {1}, q_ {1})}$ i ${\ Displaystyle (V_ {2}, q_ {2})}$ to dwie kwadratowe przestrzenie nad R , a następnie ich iloczyn tensorowy ${2}, q_ {1} \ otimes q_ {2})}$ V_ to przestrzeń kwadratowa, której podstawowym modułem R jest iloczyn tensorowy ${\ Displaystyle V_ {1} \ czasami V_ {2}}$ R -modułów i których forma kwadratowa jest formą kwadratową powiązaną z iloczynem tensorowym form dwuliniowych związanych z ${\ Displaystyle q_ {1}}$ i ${\ displaystyle q_ {2}}$ .

W szczególności forma spełnia ${\ Displaystyle q_ {1} \ czasami q_ {2}}$

${\ Displaystyle (q_ {1} \ czasami q_ {2})(v_{1}\otimes v_{2})=q_{1}(v_{1})q_{2}(v_{2})\quad \forall v_{1}\in V_{1 },\ v_{2}\w V_{2}}$

(co jednak wyjątkowo ją charakteryzuje). Wynika z tego, że jeśli formy kwadratowe są diagonalizowalne (co jest zawsze możliwe, jeśli 2 jest odwracalne w R ), tj.

$langle a_ {1}, ... a_ {n} \ rangle}$

${\ Displaystyle q_ {2} \ cong \ langle b_ {1}, ..., b_ {m} \ rangle$

wtedy iloczyn tensorowy ma diagonalizację

${\ Displaystyle q_ {1} \ czasami q_ {2} \ cong \ langle a_ {1} b_ {1}, a_ {1} b_ {2}, ... a_ {1} b_ {m}, a_ {2 }b_{1},...,a_{2}b_{m},...,a_{n}b_{1},...a_{n}b_{m}\rangle .}$