Indeks Dynkina

W matematyce , $_$ Dynkina $reprezentacji$ wymiarowej o najwyższej prostej algebry Liego z waga $przez$ określona

$${\ Displaystyle {\ tekst {Tr}} _ {V _ {\ lambda}} = 2I (\ lambda) {\ tekst {Tr}} _ {V_ {0}} ,}$$

gdzie jest „reprezentacją definiującą”, która jest najczęściej uważana za podstawową reprezentację $algebrą$ jeśli rozważana algebra Liego jest macierzową Liego.

Tr ${\ tekst {Tr}} _ {V}}$${\ Displaystyle \ rho: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow { \text{Koniec}}(V)}$ jest śladową formą reprezentacji . Zgodnie z lematem Schura , ponieważ wszystkie formy śladowe są formami niezmiennymi, są one powiązane stałymi, więc indeks jest dobrze zdefiniowany.

Ponieważ formy śladowe są formami dwuliniowymi , możemy wykonać ślady w celu uzyskania

${\ Displaystyle I (\ lambda) = {\ Frac {\ dim V _ {\ lambda}} {2 \ dim {\ mathfrak { g}}}}(\lambda,\lambda +2\rho)}$

gdzie wektor Weyla

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {\ alfa \ w \ Delta ^ {+}} \ alfa}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ równa połowie sumy wszystkich dodatnich pierwiastków sol . Wyrażenie ${\ Displaystyle (\ lambda, \ lambda + 2 \ rho)}$ jest wartością kwadratu Kazimierza w reprezentacji ${\ Displaystyle V _ {\ lambda}}$ . Indeks $liczbą$ dodatnią

W szczególnym przypadku, gdy $\ Displaystyle I (\ lambda) }$ najwyższym pierwiastkiem $,$ że $ja$ reprezentacją sprzężoną , indeks Dynkina jest równe podwójnej liczbie Coxetera .

Zobacz też

• Zabijanie z

•   Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal, Conformal Field Theory , 1997 Springer-Verlag New York, ISBN 0-387-94785-X