Indeks Voorhoeve'a

W matematyce indeks Voorhoeve jest nieujemną liczbą rzeczywistą związaną z pewnymi funkcjami na liczbach zespolonych , nazwaną na cześć Marca Voorhoeve . Można go wykorzystać do rozszerzenia twierdzenia Rolle'a z funkcji rzeczywistych na funkcje zespolone, przyjmując rolę, jaką dla funkcji rzeczywistych odgrywa liczba zer funkcji w przedziale .

Definicja

Indeks Voorhoeve'a $ja ( fa )$ o wartościach zespolonych ${\ Displaystyle V_ {I$ , analityczna w złożonym sąsiedztwie rzeczywistego przedziału, V ( f ) } podane przez

${\ Displaystyle V_ {I} (f) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {a} ^ {b} \! \ lewo | {\ Frac {d} {dt}}} {\ rm {Arg}}\,f(t)\right|\,\,dt\,={\frac {1}{2\pi}}\int _{a}^{b}\!\left|{ \rm {Im}}\left({\frac {f'}{f}}\right)\right|\,dt.}$

(Różni autorzy stosują różne współczynniki normalizacji.)

Twierdzenie Rolle'a

Twierdzenie Rolle'a stwierdza, że ​​jeśli $($ różniczkowalną w sposób ciągły ${\ displaystyle f (b ) = 0}$ o wartościach rzeczywistych na linii rzeczywistej i ${\ displaystyle f (a) =}$ , gdzie za ${\ Displaystyle a <b}$ , to jego pochodna ma zero ściśle między $}$${\ displaystyle a}$ i ${\ displaystyle b}$ . Lub, bardziej ogólnie, jeśli $oznacza$ liczbę zer funkcji różniczkowalnej w sposób ciągły ${\ Displaystyle N_$ przedziale , to ${I} (f$${\ Displaystyle N_ {I} (f) \ równoważnik N_ {I} (f ') + 1.}$

Teraz mamy odpowiednik twierdzenia Rolle'a:

${\ Displaystyle V_ {I} (f) \ równoważnik V_ {I} (f ') + {\ Frac {1} {2}}.}$

Prowadzi to do granic liczby zer funkcji analitycznej w złożonym regionie.

• Voorhoeve, Marc (1976), „O oscylacji wielomianów wykładniczych”, Math. Z. , 151 : 277–294, doi : 10.1007/bf01214940
• Chowański, A.; Yakovenko, S. (1996), "Uogólnione twierdzenie Rolle'a w i $\$$displaystyle C}$ , J. Dyn. System sterowania , 2 : 103–123, doi : 10.1007/bf02259625