Jednokierunkowe równanie falowe

Jednokierunkowe równanie falowe to równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu opisujące jedną falę poruszającą się w kierunku określonym przez wektorową prędkość fali. Kontrastuje to z równaniem fali dwukierunkowej drugiego rzędu opisującym pole fali stojącej wynikający z nakładania się dwóch fal w przeciwnych kierunkach. W przypadku jednowymiarowym jednokierunkowe równanie falowe umożliwia obliczenie propagacji fali bez komplikacji matematycznych związanych z rozwiązywaniem równania różniczkowego drugiego rzędu. Ze względu na to, że w ostatnich dziesięcioleciach nie udało się znaleźć równania fali jednokierunkowej 3D, do obliczeń sejsmicznych 3D i innych obliczeń geofizycznych 3D stosuje się liczne metody aproksymacji oparte na równaniu fali jednokierunkowej .

Sprawa jednowymiarowa

Skalarne równanie falowe drugiego rzędu (dwukierunkowe) opisujące pole fali stojącej można zapisać jako:

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} s} {\ częściowe t ^ {2}}} -c ^ {2} {\ frac {\częściowy ^{2}s}{\częściowy x^{2}}}=0,}$$

gdzie ${\ Displaystyle x}$$to$ współrzędna, to czas, ${\ Displaystyle s = s (x, t)}$ przemieszczenie i ${\ displaystyle c }$ to prędkość fali.

$c) ^ {2} = (-c) ^ { 2}} , równanie nie zawiera informacji o kierunku fali i dlatego$ + $,$ rozwiązania propagujące się zarówno do przodu ( jak i do tyłu ( ${\ displaystyle -x}$ ) kierunki. Ogólne rozwiązanie równania będące sumą rozwiązań w tych dwóch kierunkach to:

$${\ Displaystyle s (x, t) = s_ {+} (tx / c) + s_ {-} (t+x/c)}$$

gdzie i $}$$kierunku$ fal biegnących w $i$$\$ do

Gdy formułuje się problem z falą jednokierunkową, należy (ręcznie) wybrać kierunek propagacji fali, zachowując jeden z dwóch wyrazów w rozwiązaniu ogólnym.

Faktoring operatora po lewej stronie równania daje parę jednokierunkowych równań falowych, jedno z rozwiązaniami propagującymi się do przodu, a drugie z rozwiązaniami propagującymi się wstecz.

$${\ Displaystyle \ lewo ({\ częściowe ^ {2} \ ponad \ częściowe t ^ {2}} -c ^ {2} {\ częściowe ^ {2} \ ponad \ częściowe x ^ {2}} \ prawo) s =\left({\częściowe \nad \częściowe t}-c{\częściowe \nad \częściowe x}\right)\left({\częściowe \nad \częściowe t}+c{\częściowe \nad \częściowe x} \right)s=0,}$$

Fale biegnące do przodu i do tyłu są opisane odpowiednio,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {{\ Frac {\ częściowe s} {\ częściowe t}} -c { \frac {\częściowe s}{\częściowe x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\częściowe s}{\częściowe t}}+c{\frac {\częściowe s}{\częściowe x}}=0}\end{wyrównane}}}$$

Równania fali jednokierunkowej można również wyprowadzić fizycznie bezpośrednio z określonej impedancji akustycznej.

$Displaystyle p =$ lokalną proporcjonalność ciśnienia prędkości cząstek ${\$ :

$${\ Displaystyle {\ Frac {p} {v}} = \ rho c,}$$

gdzie ${\ displaystyle \ rho}$ = gęstość.

Konwersja równania impedancji prowadzi do:

$${\ Displaystyle v - {\ Frac {1} {\ rho c}} p = 0}$$

 

 

 

 

()

Podłużna płaska fala o częstotliwości kątowej $\$ przemieszczenie $Displaystyle s = s (x, t)}$ .

Ciśnienie i prędkość cząstek można wyrazić jako przemieszczenie $:$ mi $Moduł$$\ Displaystyle E}$ sprężystości ) [ $p {\ displaystyle$ }

$${\ Displaystyle p: = E {\ częściowe s \ nad \ częściowe x}}$$

${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ Delta L} {L}}}$ przypadku 1D jest to w pełni analogiczne do naprężenia w mechanice : $\$$Displaystyle \ sigma = E \ varepsilon}$ , przy czym odkształcenie jest zdefiniowane jako

$${\ Displaystyle v = {\ częściowe s \ ponad \ częściowe t}}$$

Te relacje wstawione do powyższego równania ( ⁎ ) dają:

$${\ Displaystyle {\ częściowe s \ nad \ częściowe t} - {E \ nad \ rho c} {\ częściowe s \ nad \ częściowe x} = 0}$$

Z lokalną definicją prędkości fali ( prędkość dźwięku ):

$${\ Displaystyle c = {\ sqrt {E (x) \ nad \ rho (x)}} \ strzałka w lewo c = {E \ nad \ rho c} }$$

bezpośrednio (!) wynika z równania różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu jednokierunkowego równania falowego:

$${\ Displaystyle {{\ Frac {\ częściowe s} {\ częściowe t}} -c {\ Frac {\ częściowe s} {\ częściowe x}} = 0}}$$

Prędkość fali $\$ ustawić w ramach tego równania fali jako $displaystyle -c}$$.$ do zgodnie z kierunkiem propagacji

Dla propagacji fali w kierunku unikalnym rozwiązaniem jest ${\ displaystyle + c}$

$${\ Displaystyle s (x, t) = s_ {+} (tx / c)}$$

$a$ dla propagacji fali w rozwiązaniem jest

$${\ Displaystyle s (x, t) = s_ {-} (t + x / c)}$$

Istnieje również sferyczne jednokierunkowe równanie falowe opisujące rozchodzenie się fali jednobiegunowego źródła dźwięku we współrzędnych sferycznych, tj. w kierunku promieniowym. Poprzez modyfikację radialnego Nabla rozwiązana jest niespójność między dywergencją sferyczną a operatorami Laplace'a, a otrzymane rozwiązanie nie wykazuje funkcji Bessela (w przeciwieństwie do znanego rozwiązania konwencjonalnego podejścia dwukierunkowego).

Obudowa trójwymiarowa

Przyjęto, że jednokierunkowe równanie i rozwiązanie w przypadku trójwymiarowym jest podobne jak w przypadku jednowymiarowym poprzez matematyczny rozkład (rozkład na czynniki) równania różniczkowego drugiego rzędu. W rzeczywistości trójwymiarowe równanie fali jednokierunkowej można wyprowadzić z pierwszych zasad: a) wyprowadzenie z twierdzenia o impedancji oraz b) wyprowadzenie z równowagi przepływu impulsów tensorycznych w punkcie pola.

Media niejednorodne

W przypadku ośrodków niejednorodnych z modułem sprężystości zależnym od lokalizacji , gęstością $mi$ prędkością fali ${\ Displaystyle c (x) ρ ($$x)} }$ analityczne rozwiązanie jednokierunkowego równania falowego można wyprowadzić wprowadzając nową zmienną polową.

Dalsze fale mechaniczne i elektromagnetyczne

Metodę faktoryzacji PDE można również przenieść do innych równań falowych drugiego lub czwartego rzędu, np. równań fal poprzecznych i strunowych, Moensa/Kortwega, zginania, fal elektromagnetycznych i fal elektromagnetycznych.

Zobacz też

• Równanie falowe – Różniczkowe równanie falowe ważne w fizyce
• Fala stojąca – Fala, która pozostaje w stałym położeniu