Karciana formuła

W fizyce wzór Cardy'ego podaje entropię dwuwymiarowej konforemnej teorii pola (CFT). W ostatnich latach wzór ten okazał się szczególnie przydatny w obliczaniu entropii czarnych dziur BTZ oraz w sprawdzaniu zgodności AdS/CFT i zasady holograficznej .

W 1986 roku JL Cardy wyprowadził wzór:

{\ Displaystyle S = 2 \ pi {\ sqrt {{\ tfrac {c} {6}} {\ bigl (} L_ {0} - {\ tfrac {c {24}}{\bigr )}}},}

Tutaj $przesunięcia$ centralny jest ${$ $i$ promienia układu oraz jest powiązany z efektem Casimira . Dane te wyłaniają się z algebry Virasoro tego CFT. Dowód powyższego wzoru opiera się na modułowej niezmienniczości euklidesowego CFT na torusie.

Formuła Cardy'ego jest zwykle rozumiana jako zliczanie stanów energii CFT skwantyzowanej na okręgu ${\ Displaystyle \ Delta = L_ {0} + {\ bar {L}} _ {0}}$ . Mówiąc ściślej, mikrokanoniczna (to znaczy logarytm liczby stanów w powłoce o szerokości ) jest dana wzorem ${\ Displaystyle \ delta \ lesssim 1}$

{\ Displaystyle S _ {\ delta} (\ Delta) = 2 \ pi {\ sqrt {\ Frac {c \ Delta} {3}}} +O(\ln \Delta )}

w granicy ${\ Displaystyle \ Delta \ do \ infty}$ . Ta formuła może zostać przekształcona w rygorystyczne ograniczenie.

W 2000 roku E. Verlinde rozszerzył to na pewne silnie sprzężone (n+1)-wymiarowe CFT. Otrzymany wzór Cardy-Verlinde został uzyskany poprzez badanie wszechświata zdominowanego przez promieniowanie za pomocą metryki Friedmanna-Lemaître-Robertsona-Walkera

{\ Displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + R ^ {2} (t) \ Omega _ {n} ^ {

gdzie R jest promieniem n-wymiarowej kuli w czasie t. Promieniowanie jest reprezentowane przez (n+1)-wymiarową CFT. Entropia tego CFT jest następnie określona wzorem

{\ Displaystyle S = {\ Frac {2 \ pi R} {n}} {\ sqrt {E_ {c} (2E-E_ {c}) }},}

gdzie E _c jest efektem Casimira, a E energią całkowitą. Powyższy zredukowany wzór daje maksymalną entropię

{\ Displaystyle S \ równoważnik S_ {max} = {\ Frac {2 \ pi RE} {n}}}

gdy E _c = E, co jest wiązaniem Bekensteina . Kutasow i Larsen wykazali później, że formuła Cardy-Verlinde jest nieważna dla słabo oddziałujących CFT. W rzeczywistości, ponieważ entropia CFT o wyższych wymiarach (czyli n>1) zależy od dokładnie krańcowych sprzężeń, uważa się, że wzór Cardy'ego na entropię nie jest osiągalny, gdy n>1.

Zobacz też

Carlip, Steven (2005), „Conformal Field Theory, (2 + 1) -Dimensional Gravity, and the BTZ Black Hole”, Classical and Quantum Gravity , 22 : R85 – R123, arXiv : gr-qc/0503022 , Bibcode : 2005CQGra ..22R..85C , doi : 10.1088/0264-9381/22/12/R01