Klasa kwadratowa

W matematyce, a konkretnie w $\times 2}}$ abstrakcyjnej , kwadratowa klasa pola jest elementem kwadratowej grupy klas , grupy ilorazowej ${$${\ displaystyle F ^ {\ razy} / F$ ^ multiplikatywnej grupy elementów niezerowych w polu modulo kwadratowych elementów pola. Każda klasa kwadratowa jest podzbiorem elementów niezerowych (a coset grupy multiplikatywnej) składającej się z elementów postaci xy ² , gdzie x jest pewnym ustalonym elementem, a y rozciąga się na wszystkie niezerowe elementy ciała.

$Na$ , jeśli $pole$ liczb rzeczywistych to jest grupą wszystkich niezerowych liczb rzeczywistych ( $jest$ ) i podgrupą liczb dodatnich ( ponieważ ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy ). Iloraz tych dwóch grup jest grupą z dwoma elementami, odpowiadającymi dwóm cosetom : zbiór liczb dodatnich i zbiór liczb ujemnych. Zatem liczby rzeczywiste mają dwie klasy kwadratów, liczby dodatnie i liczby ujemne.

Klasy kwadratów są często badane w odniesieniu do teorii form kwadratowych . Powodem jest to, że $\$ jest to wektorowa jest $V$ kwadratową jest $}$${$ element taki $v$${\ Displaystyle q (v) = a \ w fa ^ {\ razy}}$ , to dla wszystkich ${\ Displaystyle u \ w fa ^ {\ razy}}$ , ${ \displaystyle q(uv)=au^{2}}$ i dlatego czasami wygodniej jest mówić o klasach kwadratowych, które reprezentuje forma kwadratowa.

Każdy element kwadratowej grupy klasowej jest inwolucją . Wynika z tego, że jeśli liczba klas kwadratowych pola jest skończona, musi to być potęga dwójki .