Kombinatoryka: droga roty

Combinatorics: The Rota Way to podręcznik matematyki z zakresu kombinatoryki algebraicznej , oparty na wykładach i notatkach z wykładów Gian-Carlo Roty na jego kursach w Massachusetts Institute of Technology . Został wydany w formie książkowej przez Josepha PS Kunga i Catherine Yan , dwóch studentów Roty, i opublikowany w 2009 roku przez Cambridge University Press w serii książek Cambridge Mathematical Library, wymieniając Kunga, Rotę i Yana jako autorów (dziesięć lat pośmiertnie w przypadku Roty). Komitet Podstawowej Listy Bibliotecznej Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego zasugerował włączenie go do bibliotek matematycznych dla studentów studiów licencjackich.

Tematy

Kombinatoryka: Rota Way ma sześć rozdziałów, gęsto wypełnionych materiałem: każdy z nich mógłby być „podstawą kursu na poziomie doktoranckim”. Rozdział 1, „Zbiory, funkcje i relacje”, zawiera również materiał na temat zbiorów częściowo uporządkowanych , rzędów kratowych , entropii (sformułowanej w kategoriach podziałów zbioru ) i prawdopodobieństwa . Tematy w rozdziale 2, „Teoria dopasowywania”, a także dopasowania na grafach , obejmują macierze incydentów , submodularne funkcje zbiorów , niezależne dopasowania w matroidach , twierdzenie Birkhoffa – von Neumanna o politopie Birkhoffa podwójnie stochastycznych macierzy oraz Gale – Twierdzenie Rysera o sumach wierszy i kolumn macierzy (0,1) . Rozdział 3 powraca do częściowo uporządkowanych zbiorów i krat, w tym materiał o funkcjach Möbiusa algebr incydencyjnych , twierdzeniu Spernera o antyłańcuchach w zbiorach potęgowych, specjalnych klasach krat, pierścieniach wartościujących i twierdzeniu Dilwortha o podziale na łańcuchy.

Jedną z rzeczy, z których Rota stał się znany w latach siedemdziesiątych, było odrodzenie rachunku umbralnego jako ogólnej techniki formalnej manipulacji szeregami potęgowymi i funkcjami generującymi , co jest tematem rozdziału 4. Inne tematy w tym rozdziale obejmują Ciągi wielomianów Sheffera , funkcja zeta Riemanna i jej kombinatoryczna interpretacja. Rozdział 5 dotyczy funkcji symetrycznych i algebr Roty – Baxtera , w tym funkcji symetrycznych na ciałach skończonych . Rozdział 6, „Wyznaczniki, macierze i wielomiany”, kończy książkę materiałem zawierającym pierwiastki wielomianów , twierdzenie Grace-Walsh-Szegő , widma macierzy całkowicie dodatnich i niezmienną teorię sformułowaną w kategoriach rachunku umbralnego.

Każdy rozdział kończy się omówieniem historii poruszanych w nim problemów oraz wskazaniem literatury dotyczącej tych problemów. Na końcu książki znajdują się również rozwiązania niektórych „ćwiczeń” umieszczonych na końcu każdego rozdziału, z których każde mogłoby być (i często jest) podstawą publikacji naukowej i które łączą materiał z rozdziałów do niektórych jego zastosowań.

Publiczność i odbiór

Kombinatoryka: Rota Way jest zbyt zaawansowana dla studentów, ale może być wykorzystana jako podstawa dla jednego lub więcej kursów matematyki na poziomie magisterskim. Jednak nawet jako praktykująca matematyk w dziedzinie kombinatoryki recenzentka Jennifer Quinn uznała tę książkę za trudną, pomimo wielu interesujących ją tematów, które zawierała. Pisze, że była „nieusatysfakcjonowana jako czytelnik”, „ugrzęzła w szczegółach technicznych” i brakowało jej jednolitego obrazu kombinatoryki, tak jak widział to Rota, mimo że jednolity obraz kombinatoryki był dokładnie tym, do czego Rota często dążył we własnym badania. Mimo to Quinn chwali tę książkę jako „doskonałe odniesienie” do pięknej matematyki.

Podobnie jak Quinn, John Mount skarży się, że części książki są pozbawione motywacji i brakuje w nich przykładów i zastosowań, „jak skompresowane podejście Bourbaki do matematyki dyskretnej”. Pisze również, że niektóre ćwiczenia, takie jak prośba o naganę twierdzenia Robertsona-Seymoura na temat nieletnich grafów (bez przewodnika po jego oryginalnym dowodzie, który obejmował serię około 20 artykułów) są „niepotrzebnie okrutne”. Jednak poleca Combinatoryics: The Rota Way studentom i badaczom, którzy już widzieli tematy, które przedstawia, jako drugie źródło „alternatywnego i mocnego potraktowania tematu”. Alessandro Di Bucchianico pisze również, że „nie jest do końca pozytywnie nastawiony” do książki, narzekając na jej „niekończące się rzędy definicji, stwierdzeń i dowodów” bez łączącego wątku lub motywacji. Dochodzi do wniosku, że chociaż jest to dobra książka do znalezienia jasnego opisu ulubionych elementów matematyki Roty i ich dowodów, brakuje w niej entuzjazmu i poczucia jedności, które sam Rota wniósł do tematu.

Z drugiej strony Michael Berg recenzuje książkę bardziej pozytywnie, nazywając jej pisanie „wyraźnym i eleganckim”, jej ćwiczenia głębokie, „ważne i fascynujące”, jej historyczne strony „zabawne”, a całą książkę „po prostu zbyt dobrą, by zmarnować ".