Kompletny iloraz

W metrycznej teorii ułamków _regularnych ciągłych k - ty całkowity iloraz ζ _k otrzymuje się przez pominięcie pierwszych k mianowników częściowych ai . Na przykład, jeśli regularny ułamek ciągły jest podany przez

${\ Displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_{3},\kropki ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+ {\cfrac {1}{\ddots}}}}}}}},}$

wtedy kolejne pełne ilorazy ζ _k są dane przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ zeta _ {0} & = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ kropki ] \\\ zeta _ {1} & =[a_{1};a_{2},a_{3},a_{4},\kropki ]\\\zeta _{2}&=[a_{2};a_{3},a_{4} ,a_{5},\kropki ]\\\zeta _{k}&=[a_{k};a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3},\kropki]. \,\end{wyrównane}}}$

Rekurencyjna relacja

Z powyższej definicji możemy od razu to wywnioskować

${\ Displaystyle \ zeta _ {k} = a_ {k} + {\ Frac {1} {\ zeta _ {k + 1}}} = [a_ {k}; \ zeta _ {k +1}],\,}$

lub równoważnie,

${\ Displaystyle \ zeta _ {k + 1} = {\ Frac {1} {\ zeta _ {k} -a_ {k}}}. \,}$

Pełne ilorazy i zbieżności x

₀₀ Oznaczanie kolejnych zbieżności ułamka regularnego ciągłego x = [ a ; a ₁ , a ₂ , …] przez A , A ₁ / B ₁ , A ₂ / B ₂ , … (jak wyjaśniono dokładniej w artykule fundamentalne wzory powtarzalności ), można wykazać, że

${\ Displaystyle x = {\ Frac {A_ {k} \ zeta _ {k + 1} + A_ {k- 1}}{B_{k}\zeta_{k+1}+B_{k-1}}}\,}$

dla wszystkich k ≥ 0.

Wynik ten można lepiej zrozumieć, przypominając sobie, że kolejne zbieżności nieskończonego regularnego ułamka ciągłego zbliżają się do wartości x w rodzaju zygzakowatego wzoru:

${\ Displaystyle A_ {0}< {\ Frac {A_ {2}} {B_ {2}}} < {\ Frac {A_ {4}} {B_ {4}}} <\ cdots <{\ Frac {A_ {2n}}{B_{2n}}}<x<{\frac {A_{2n+1}}{B_{2n+1}}}<\cdots <{\frac {A_{5}}{B_{ 5}}}<{\frac {A_{3}}{B_{3}}}<{\frac {A_{1}}{B_{1}}}.\,}$

więc gdy k jest parzyste, mamy A _k / B _k < x < A _{k +1} / B _{k +1} , a gdy k jest nieparzyste, mamy A _{k +1} / B _{k +1} < x < A _k / B _k . W obu przypadkach k + 1. pełny iloraz ζ _{k +1} jest unikalną liczbą rzeczywistą, która wyraża x w postaci półzbieżnej .

Pełne ilorazy i równoważne liczby rzeczywiste

Relacja równoważności zdefiniowana przez LFT

Rozważ zestaw liniowych transformacji ułamkowych (LFT) zdefiniowanych przez

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {a + bx} {c + dx}} \,}$

gdzie a , b , c i d są liczbami całkowitymi , a ad − bc = ±1. Ponieważ ten zbiór LFT zawiera element identyczny (0 + x )/1 i ponieważ jest domknięty pod złożeniem funkcji , a każdy element zbioru ma odwrotność w zbiorze, te LFT tworzą grupę ( operacją grupową jest składanie funkcji), GL(2, Z ) .

Możemy zdefiniować relację równoważności na zbiorze liczb rzeczywistych za pomocą tej grupy liniowych przekształceń ułamkowych. Powiemy, że dwie liczby rzeczywiste x i y są równoważne (zapisane x ~ y ), jeśli

${\ Displaystyle y = f (x) = {\ Frac {a + bx} {c + dx}} \,}$

dla pewnych liczb całkowitych a , b , c , d takich, że ad − bc = ±1.

Oczywiście ta relacja jest symetryczna, zwrotna i przechodnia, więc jest relacją równoważności i może być użyta do rozdzielenia liczb rzeczywistych na klasy równoważności . Wszystkie liczby wymierne są równoważne, ponieważ każda liczba wymierna jest równoważna zeru. Co można powiedzieć o liczbach niewymiernych ? Czy one również mieszczą się w jednej klasie równoważności?

Twierdzenie o „równoważnych” liczbach niewymiernych

Dwie liczby niewymierne x i y są równoważne w tym schemacie wtedy i tylko wtedy, gdy nieskończenie długie „ogony” w ich rozwinięciach jako regularne ułamki ciągłe są dokładnie takie same. Dokładniej, można udowodnić następujące twierdzenie.

Niech x i y będą dwiema liczbami niewymiernymi (rzeczywistymi) i niech k - ty zupełny iloraz w regularnych rozwinięciach ułamkowych x i y będzie oznaczony odpowiednio przez ζ _k i ψ _k , Wtedy x ~ y (pod równoważnością zdefiniowaną w w poprzedniej sekcji) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dodatnie liczby całkowite m i n takie, że ζ _m = ψ _n .

Przykład

Złoty podział φ to liczba niewymierna z najprostszym możliwym rozwinięciem jako regularny ułamek ciągły: φ = [1; 1, 1, 1, …]. Twierdzenie mówi nam po pierwsze, że jeśli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, której rozwinięcie jako ułamek regularny ciągły zawiera ciąg nieskończony [1, 1, 1, 1, …], to istnieją liczby całkowite a , b , c i d ( z ad − bc = ±1) takie, że

${\ Displaystyle x = {\ Frac {a + b \ phi} {c + d \ phi}}. \,}$

I odwrotnie, jeśli a , b , c i d są liczbami całkowitymi (gdzie ad − bc = ±1), to regularne rozwinięcie ułamkowe każdej liczby rzeczywistej y , którą można wyrazić w postaci

${\ Displaystyle y = {\ Frac {a + b \ phi} {c + d \ phi}} \,}$

ostatecznie osiąga „ogon”, który wygląda jak zwykły ułamek ciągły dla φ.

•   Rockett, Andrew M.; Szüsz, Piotr (1992). Ciąg dalszy ułamków . Świat naukowy. s. 4–8 . ISBN 981-02-1052-3 .