Konfiguracja Perlesa

W geometrii konfiguracja Perlesa to system dziewięciu punktów i dziewięciu linii na płaszczyźnie euklidesowej, dla którego każda kombinatorycznie równoważna realizacja ma co najmniej jedną liczbę niewymierną jako jedną ze swoich współrzędnych. Można go zbudować z przekątnych i linii symetrii pięciokąta foremnego , pomijając jedną z linii symetrii. Z kolei można go użyć do konstruowania wielowymiarowych wypukłych polytopów , którym nie można nadać współrzędnych wymiernych, mających najmniejszą liczbę wierzchołków ze wszystkich znanych przykładów. Wszystkie realizacje konfiguracji Perlesa w płaszczyzny rzutowe są sobie równoważne przy przekształceniach rzutowych .

Historia i prace pokrewne

Konfiguracja Perlesa została wprowadzona przez Michę Perlesa w latach 60. Nie jest to pierwszy znany przykład irracjonalnej konfiguracji punktów i linii. Mac Lane (1936) opisuje 11-punktowy przykład, uzyskany przez zastosowanie algebry rzutów Von Staudta do skonstruowania konfiguracji odpowiadającej pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch .

Istnieje długa historia badań nad regularnymi konfiguracjami rzutowymi , skończonymi systemami punktów i linii, w których każdy punkt styka się z równie wieloma liniami, a każda linia styka się z równie wieloma punktami. Jednak pomimo nazwy podobnej do tych konfiguracji, konfiguracja Perlesa nie jest regularna: większość jej punktów styka się z trzema liniami, a większość linii styka się z trzema punktami, ale jest jedna linia z czterema punktami i jeden punkt na czterech liniach. Pod tym względem różni się od konfiguracji Pappusa , która również ma dziewięć punktów i dziewięć linii, ale z trzema punktami na każdej linii i trzema liniami przechodzącymi przez każdy punkt.

Konstrukcja z pięciokąta foremnego

Jednym ze sposobów konstruowania konfiguracji Perlesa jest rozpoczęcie od pięciokąta foremnego i jego pięciu przekątnych, które tworzą boki mniejszego pięciokąta foremnego w obrębie początkowego. Dziewięć punktów konfiguracji składa się z czterech z pięciu wierzchołków każdego pięciokąta i wspólnego środka dwóch pięciokątów; dwa brakujące wierzchołki pięciokąta są wybrane tak, aby były współliniowe ze środkiem. Dziewięć linii konfiguracji składa się z pięciu linii, które są przekątnymi zewnętrznego pięciokąta i boków wewnętrznego pięciokąta, oraz czterech linii przechodzących przez środek i przez odpowiednie pary wierzchołków z dwóch pięciokątów.

Niezmienniczość projekcyjna i irracjonalność

Realizacja konfiguracji Perlesa składa się z dowolnych dziewięciu punktów i dziewięciu linii o tym samym wzorze przecięcia. Każda realizacja tej konfiguracji na płaszczyźnie euklidesowej lub ogólniej na płaszczyźnie rzutowej rzeczywistej jest równoważna, przy przekształceniu rzutowym , realizacji skonstruowanej w ten sposób z pięciokąta foremnego. Ponieważ stosunek krzyżowy , liczba określona z dowolnych czterech współliniowych punktów, nie zmienia się przy przekształceniach rzutowych, każda realizacja ma cztery punkty o takim samym stosunku krzyżowym, jak stosunek krzyżowy czterech punktów współliniowych w realizacji wyprowadzonej z pięciokąta foremnego. Ale te cztery punkty mają $varphi$ stosunek krzyżowy, gdzie złotym podziałem . $}$ , liczba niewymierna. Każde cztery współliniowe punkty o współrzędnych wymiernych mają wymierny współczynnik krzyżowy, więc konfiguracji Perlesa nie można zrealizować za pomocą punktów wymiernych. Branko Grünbaum przypuszczał, że każda konfiguracja, którą można zrealizować za pomocą liczb niewymiernych, ale nie racjonalnych, ma co najmniej dziewięć punktów; jeśli tak, konfiguracja Perlesa byłaby najmniejszą możliwą irracjonalną konfiguracją punktów i linii.

Zastosowanie w kombinatoryce wielościennej

Perles wykorzystał swoją konfigurację do skonstruowania ośmiowymiarowego wypukłego polytopu z dwunastoma wierzchołkami, który podobnie można zrealizować za pomocą współrzędnych rzeczywistych, ale nie za pomocą współrzędnych wymiernych. Punkty konfiguracji, trzy z nich podwojone i ze znakami powiązanymi z każdym punktem, tworzą diagram Gale polytope Perlesa. Dowód twierdzenia Steinitza autorstwa Ernsta Steinitza można użyć do pokazania, że każdy trójwymiarowy polytope można zrealizować za pomocą wymiernych współrzędnych, ale obecnie wiadomo, że istnieją irracjonalne polytopy w czterech wymiarach. Jednak polytope Perlesa ma najmniej wierzchołków ze wszystkich znanych irracjonalnych polytopów.

Notatki

Berger, Marcel (2010), „I.4 Trzy konfiguracje płaszczyzny afinicznej i to, co się z nimi stało: Pappus, Desargues i Perles”, Geometria ujawniona , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 17–23 , doi : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996- 1 , MR 2724440
Grünbaum, Branko (2003), Convex polytopes , Graduate Texts in Mathematics, tom. 221 (wyd. drugie), Nowy Jork: Springer-Verlag, s. 93–95, ISBN 978-0-387-00424-2 , MR 1976856
Mac Lane, Saunders (1936), „Niektóre interpretacje abstrakcyjnej zależności liniowej w kategoriach geometrii rzutowej”, American Journal of Mathematics , 58 (1): 236–240, doi : 10,2307/2371070 , JSTOR 2371070 , MR 1507146
Ziegler, Günter M. (2008), „Nieracjonalne konfiguracje, polytopy i powierzchnie”, The Mathematical Intelligencer , 30 (3): 36–42, arXiv : 0710,4453 , doi : 10,1007/BF02985377 , MR 2437198