Kongruencja Kummera

W matematyce kongruencje Kummera to niektóre kongruencje obejmujące liczby Bernoulliego , znalezione przez Ernsta Eduarda Kummera ( 1851 ) .

Kubota i Leopoldt (1964) wykorzystali kongruencje Kummera do zdefiniowania p-adycznej funkcji zeta .

Oświadczenie

Stwierdza to najprostsza postać kongruencji Kummera

${\ Displaystyle {\ Frac {B_ {h}}} {h}} \ equiv {\ Frac {B_ {k}}} {k }}{\pmod {p}}{\text{ilekroć }}h\equiv k{\pmod {p-1}}}$

gdzie p jest liczbą pierwszą, h i k są dodatnimi, parzystymi liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez p -1, a liczby B _h są liczbami Bernoulliego .

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli h i k są dodatnimi, parzystymi liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez p - 1, to wtedy

${\ Displaystyle (1-p ^ {h-1}) {\ Frac {B_ { h}}{h}}\równoważnik (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}}$

zawsze, gdy

${\ Displaystyle h \ równoważnik k {\ pmod {\ varphi (p ^ {a + 1})}}}$

gdzie φ( p ^{a +1} ) jest totientową funkcją Eulera , ocenianą w p ^{a +1} , a a jest nieujemną liczbą całkowitą. Przy a = 0 wyrażenie przybiera prostszą postać, jak widać powyżej. Dwie strony kongruencji Kummera są zasadniczo wartościami p-adycznej funkcji zeta , a kongruencje Kummera implikują, że p -adyczna funkcja zeta dla ujemnych liczb całkowitych jest ciągła, więc można ją rozszerzyć przez ciągłość na wszystkie p -adyczne liczby całkowite.

Zobacz też

• Twierdzenie von Staudta – Clausena , kolejna kongruencja obejmująca liczby Bernoulliego

•    Koblitz, Neal (1984), p -adic Numbers, p -adic Analysis and Zeta-Functions , Graduate Texts in Mathematics , tom. 58, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3 , MR 0754003
•    Kubota, Tomio ; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 214/215: 328–339, doi : 10.1515 /crll.1964.214-215.328 , ISSN 0075-4102 , MR 0163900
•     Kummer, Ernst Eduard (1851), „Über eine allgemeine Eigenschaft der racjonalen Entwicklungscoëfficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen” , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 41 : 368–372, doi : 10.1515/crll.1851.41.36 8 , ISSN 0075- 4102 , ERAM 041.1136cj