Półgrupa czynnika Reesa

W matematyce , w teorii półgrup , półgrupa czynnika Reesa (zwana także półgrupą ilorazu Reesa lub po prostu czynnikiem Reesa ), nazwana na cześć Davida Reesa , to pewna półgrupa zbudowana przy użyciu półgrupy i ideału półgrupy .

Niech S będzie półgrupą , a I będzie ideałem S . Korzystając z S i I , można skonstruować nową półgrupę, składając I w jeden element, podczas gdy elementy S poza I zachowują swoją tożsamość. Otrzymana w ten sposób nowa półgrupa nazywana jest półgrupą czynnika Reesa S modulo I i jest oznaczana przez S / I .

Koncepcja półgrupy czynników Reesa została wprowadzona przez Davida Reesa w 1940 roku.

Definicja formalna

Podzbiór $displaystyle$ nazywany jest ideałem $S}$$,$ jeśli zarówno ${\ displaystyle SI},$ jak i ${\ displaystyle IS}$ podzbiorami ja { \ displaystyle $} \ Displaystyle I}$ (gdzie ${\ Displaystyle SI = \ {sx \ mid s \ w S {\ tekst {i}} x \ w ja \}}$ i podobnie dla ${\ displaystyle IS}$ ). Niech $będzie$ ideałem $_$ . Relacja zdefiniowana przez $displaystyle \ rho}$${$ w

x ρ y ⇔ albo x = y albo oba x i y są w I

jest relacją $równoważności$ . Klasy równoważności w ramach $to$ zbiory singletonowe z ${$ w $\ displaystyle I}$$i$ ja $}$$I$ . Ponieważ $displaystyle I}$$\$ jest ideałem , relacja jest $}$ zgodność na ${\ displaystyle S}$ . Półgrupa ilorazowa jest z definicji półgrupą czynnika $Reesa$ modulo $ja$${$$\ Displaystyle S /$ notacyjnej półgrupa jest oznaczana jako $\ rho}$ . Półgrupa czynnika Reesa ma podstawowy zestaw ${\ Displaystyle (S \ setminus I) \ kubek \ {0 \}}$ , gdzie ${\ Displaystyle 0}$ jest nowym elementem, a produkt (tutaj oznaczony przez ) jest ${\ Displaystyle *}$ określony przez

${\ Displaystyle s * t = {\ rozpocząć {przypadki} st & {\ tekst {jeśli}} s, t, st \ w S \ setminus I \\ 0 i {\ tekst {inaczej}}. \ koniec {przypadków}}}$

Kongruencja na $}$${\ displaystyle$$displaystyle I}$ , jak zdefiniowano powyżej, nazywana jest kongruencją Reesa ${$ modulo ja .

Przykład

Rozważmy półgrupę S = { a , b , c , d , e } z operacją binarną zdefiniowaną w poniższej tabeli Cayleya:

·	A	B	C	D	mi
A	A	A	A	D	D
B	A	B	C	D	D
C	A	C	B	D	D
D	D	D	D	A	A
mi	D	mi	mi	A	A

Niech I = { a , d } który jest podzbiorem S . Od

SI = { aa , ba , ca , da , ea , ad , bd , cd , dd , ed } = { za , re } ⊆ JA

JEST = { aa , da , ab , DB , ac , dc , reklama , dd , ae , de } = { za , re } ⊆ Ja

zbiór I jest ideałem S . Półgrupa czynnika Reesa S modulo I to zbiór S / I = { b , c , e , I } z operacją binarną zdefiniowaną przez następującą tabelę Cayleya:

·	B	C	mi	I
B	B	C	I	I
C	C	B	I	I
mi	mi	mi	I	I
I	I	I	I	I

Idealne rozszerzenie

Półgrupę S nazywamy idealnym rozszerzeniem półgrupy A przez półgrupę B , jeśli A jest ideałem S , a półgrupa czynnika Reesa S / A jest izomorficzna z B.

Niektóre z przypadków, które zostały obszernie zbadane, obejmują: idealne rozszerzenia całkowicie prostych półgrup , grupy o całkowicie 0-prostą półgrupę , przemiennej półgrupy z anulowaniem przez grupę z dodanym zerem. Ogólnie rzecz biorąc, problem opisania wszystkich idealnych rozszerzeń półgrupy jest nadal otwarty.

•   Lawson, MV (1998). Półgrupy odwrotne: teoria symetrii cząstkowych . Świat naukowy. ISBN 978-981-02-3316-7 .

Ten artykuł zawiera materiał z Rees Factor na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .