Konwergencja Mosco

W analizie matematycznej zbieżność Mosco to pojęcie zbieżności funkcjonałów , które jest używane w analizie nieliniowej i analizie z wartościami ustalonymi . Jest to szczególny przypadek zbieżności Γ . Zbieżność Mosco jest czasami określana jako „słaba Γ-liminf i silna Γ-limsup”, ponieważ wykorzystuje zarówno słabą, jak i silną topologię w topologicznej przestrzeni wektorowej X . W przestrzeniach o skończonych wymiarach zbieżność Mosco pokrywa się z epikonwergencją , podczas gdy w nieskończenie wymiarowych zbieżność Mosco jest zdecydowanie silniejszą właściwością.

Konwergencja Mosco została nazwana na cześć włoskiego matematyka Umberto Mosco, obecnego profesora matematyki Harolda J. Gaya w Worcester Polytechnic Institute .

Definicja

Niech X będzie topologiczną przestrzenią wektorową i niech X ^∗ oznacza dualną przestrzeń ciągłych funkcjonałów liniowych na X . Niech F _n : X → [0, +∞] będzie funkcjonałami na X dla każdego n = 1, 2, ... Mówi się, że ciąg (lub ogólniej netto ) ( F _{n )} Mosco zbiega się do innego funkcjonału F : X → [0, +∞] jeśli spełnione są następujące dwa warunki:

• dolna granica nierówności: dla każdego ciągu elementów x _n ∈ X zbieżnego słabo do x ∈ X ,

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} F_ {n} (x_ {n}) \ geq F (x);} górna granica nierówności: dla każdego$

• x ∈ X istnieje przybliżona sekwencja elementów x _n ∈ X , silnie zbieżny do x , taki , że

${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} F_ {n} (x_ {n}) \ równoważnik F (x).}$

Ponieważ tego typu nierówności dolnego i górnego ograniczenia są używane w definicji zbieżności Γ, zbieżność Mosco jest czasami określana jako „słaba Γ-liminf i silna Γ-limsup”. Konwergencja Mosco jest czasami skracana do M-konwergencji i oznaczana przez

${\ Displaystyle \ mathop {\ tekst {M-lim}} _ {n \ do \ infty} F_ {n} = F {\ tekst {lub}} F_ {n} {\ xrightarrow [{n \ do \ infty} ]{\mathrm {M}}}F.}$

• Mosco, Umberto (1967). „Aproksymacja rozwiązań niektórych nierówności wariacyjnych” . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa . 21 (3): 373–394.
• Mosco, Umberto (1969). „Zbieżność zbiorów wypukłych i rozwiązań nierówności wariacyjnych” . Postępy w matematyce . 3 (4): 510–585. doi : 10.1016/0001-8708(69)90009-7 . hdl : 10338.dmlcz/101692 .
•   Borwein, Jonathan M.; Fitzpatrick, Szymon (1989). „Konwergencja Mosco i właściwość Kadec” . Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 106 (3): 843–851. doi : 10.2307/2047444 . JSTOR 2047444 .
• Mosco, Umberto. „Katalog wydziałów Worcester Polytechnic Institute” .