Konwergencja epi

W analizie matematycznej epikonwergencja jest rodzajem zbieżności dla funkcji o wartościach rzeczywistych i rozszerzonych o wartościach rzeczywistych .

Epikonwergencja jest ważna, ponieważ jest to odpowiednie pojęcie konwergencji, za pomocą którego można przybliżać problemy minimalizacji w dziedzinie optymalizacji matematycznej . Symetryczne pojęcie hipokonwergencji jest odpowiednie dla problemów maksymalizacji. Konwergencja Mosco jest uogólnieniem epikonwergencji na nieskończone przestrzenie wymiarowe.

Definicja

Niech $będzie$ przestrzenią metryczną i ${R}}$ wartościach rzeczywistych dla każdej liczby naturalnej $}$$mathbb$ . Mówimy, że sekwencja $X$ zbiega się do funkcji $R}}$${\ displaystyle x \ w X}$ jeśli dla każdego

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ liminf _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x_ {n}) \ geq f (x) {\ tekst {dla każdego}} x_ {n} \ do x{\text{ i }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ dla pewnego }}x_{n}\ do x.\end{wyrównane}}}$

Rozszerzone rozszerzenie o wartości rzeczywistej

Następujące rozszerzenie umożliwia zastosowanie epikonwergencji do sekwencji funkcji z domeną niestałą.

Oznacz przez ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ kubek \ {\ pm \ infty \}} rozszerzone$ liczby rzeczywiste . Niech ${\ Displaystyle f_ {n}}$ będzie funkcją ${\ Displaystyle f_ {n}: X \ do {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ dla każdego ${ \displaystyle n\w \mathbb {N}}$ . Sekwencja ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ epi zbiega się do ${\ Displaystyle f: X \ do {\ overline {\ mathbb {R}}}},$ jeśli dla każdego ${\ displaystyle x \ w X}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ liminf _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x_ {n}) \ geq f (x) {\ tekst {dla każdego}} x_ {n} \ do x{\text{ i }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ dla pewnego }}x_{n}\ do x.\end{wyrównane}}}$

W rzeczywistości epi-konwergencja pokrywa się z -konwergencją $policzalnych$ pierwszych przestrzeniach.

Hipokonwergencja

Epikonwergencja jest odpowiednią topologią do przybliżania problemów minimalizacji. W przypadku problemów maksymalizacji stosuje się symetryczne pojęcie hipokonwergencji . ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ hipozbieżny do ${\ displaystyle f}$ jeśli

${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x_ {n}) \ równoważnik f (x ){\text{ dla każdego }}x_{n}\do x}$

I

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x_ {n}) \ geq f (x) {\ tekst {dla niektórych}} x_ {n} \ do x.}$

Związek z problemami minimalizacji

Załóżmy, że mamy trudny problem minimalizacji

${\ Displaystyle \ inf _ {x \ w C} g (x)}$

gdzie ${\ Displaystyle g: X \ do \ mathbb {R}}$ i do $\ Displaystyle C \ subseteq X}$ . Możemy spróbować przybliżyć ten problem ciągiem prostszych problemów

${\ Displaystyle \ inf _ {x \ w C_ {n}} g_ {n} (x)}$

dla funkcji i zestawów ${n}} sol$${\ displaystyle g_ {n}}$ .

Epikonwergencja dostarcza odpowiedzi na pytanie: W jakim sensie przybliżenia powinny być zbieżne do pierwotnego problemu, aby zagwarantować, że rozwiązania przybliżone zbiegają się do rozwiązania pierwotnego?

Możemy osadzić te problemy optymalizacyjne w ramach epikonwergencji, definiując rozszerzone funkcje o wartościach rzeczywistych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (x) & = {\ rozpocząć {przypadki} g (x) i x \ w C, \\\ infty, & x \ nie \ w C, \ koniec {przypadków}} \ \[4pt]f_{n}(x)&={\begin{cases}g_{n}(x),&x\in C_{n},\\\infty ,&x\not \in C_{n}. \end{przypadki}}\end{wyrównane}}}$

Aby problemy ${\ Displaystyle \ inf _ {x \ in X} f (x)}$ i ${\ Displaystyle \ inf _ {x \ in X }f_{n}(x)}$ są odpowiednio równoważne problemowi pierwotnemu i przybliżonemu.

Jeśli ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ epi zbiega się do ${\ Displaystyle f}$ , to ${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \infty }[\inf f_{n}]\leq \inf f}$ . $.$$,$ jeśli $jest$$punktem$ minimalizatorów to _ _ W tym sensie,

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ nazwa operatora {argmin} f_ {n} \ subseteq \ nazwa operatora {argmin} f.}$

Epikonwergencja jest najsłabszym pojęciem konwergencji, dla którego odnosi się ten wynik.

Nieruchomości

• ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ epi-zbieżny do ${\ displaystyle f}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle (-f_ {n})}$ hipozbieżny do ${\ displaystyle -f}$ .
• ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ epi zbiega się z ${\ displaystyle f}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle (\ operatorname {epi} f_ {n})}$ zbiega się epi ${\ Displaystyle \ operatorname {epi} f}$ jako zestawy, w sensie zbieżności zbioru -Kuratowskiego . Tutaj ${\ displaystyle \ operatorname {epi} f}$ jest epigrafem funkcji ${\ displaystyle f}$ .
• Jeśli epi zbiega się z ${\$$displaystyle f}$ to jest $półciągły$ .
• fa ${\ displaystyle f_ {n}}$ jest wypukła dla każdego epi-zbieżnego do $displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f}$ i ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ , wtedy ${\ displaystyle f}$ jest wypukła.
• fa ${\ Displaystyle f_ {n} ^ {1} \ równoważnik f_ {n} \ równoważnik f_ {n} ^ {2}}$ oba ${\ Displaystyle ( ( f_ {n} ^ {1})}$ i ${\ Displaystyle (f_ {n} ^ {2})}$ epi-zbieżność do ${\ Displaystyle f}$ , a następnie ${\ Displaystyle ( ( f_ {n}}}$ epi zbiega się do ${\ displaystyle f}$ .
• Jeśli ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ zbiega się równomiernie do każdego zwartego zbioru ${$$\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {n}$ i $)} są$${ \ displaystyle ($$zbieżne i hipo-$ , a następnie epi- zbieżne do ${\ displaystyle f}$
• Ogólnie rzecz biorąc, epikonwergencja nie implikuje ani nie jest implikowana przez zbieżność punktową . Dodatkowe założenia można umieścić na zbieżnej punktowo rodzinie funkcji, aby zagwarantować epikonwergencję.

• R. Tyrrell Rockafellar i Roger Wets , Analiza wariacyjna. Rozdział 7 ; Tom. 317. Springer Science & Business Media, 2009.
• Peter Kall, Zbliżenie do problemów optymalizacyjnych: przegląd elementarny ; Matematyka badań operacyjnych 19 , s. 9–18 (1986)
• Hedy Attouch i Roger Wets , analiza epigraficzna ; Annales de l'IHP Analyse non linéaire Cz. 6. 1989.