Korpus projekcyjny

W geometrii wypukłej $w$ projekcyjne ciała wypukłego n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej $u\in S^{n-1}$ $ciałem$ wypukłym takim, że dla dowolnego wektora - $\$ } $jest$ wsparcia w kierunku u ( n – 1)-wymiarowa objętość rzutu K na hiperpłaszczyznę prostopadłą do u .

Minkowski wykazał, że bryła projekcyjna ciała wypukłego jest wypukła. Petty (1967) i Schneider (1967) w rozwiązaniu problemu Shepharda wykorzystali ciała projekcyjne .

W przypadku $.$ wypukłego $niech$ ciało jego ciała Istnieją dwie niezwykłe afiniczne nierówności izoperymetryczne dla tego ciała. Petty (1971) udowodnił , że dla wszystkich ciał wypukłych , ${\ displaystyle K}$

{\ Displaystyle V_ {n} (K) ^ {n-1} V_{n}(\Pi ^{\circ }K)\leq V_{n}(B^{n})^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }B^{n} ),}

gdzie $oznacza$ n -wymiarową kulę jednostkową, a jest n $objętością$ , elipsoidy mają Zhang (1991) udowodnił , że dla wszystkich ciał wypukłych , ${\ displaystyle K}$

{\ Displaystyle V_ {n} (K) ^ {n-1} V_{n}(\Pi ^{\circ }K)\geq V_{n}(T^{n})^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }T^{n} ),}

gdzie $oznacza$ dowolny -wymiarowy $sympleks$ i dla takich uproszczeń

Ciało przecięcia IK K jest definiowane podobnie, jako ciało gwiazdy takie, że dla dowolnego wektora u funkcja radialna IK od początku w kierunku u jest ( n – 1)-wymiarową objętością przecięcia K z hiperpłaszczyzną u ^⊥ . Równoważnie funkcja promieniowa bryły przecięcia IK jest transformatą Funka funkcji promieniowej K . Korpusy skrzyżowań zostały wprowadzone przez Lutwaka (1988) .

Koldobsky (1998a) pokazał, że centralnie symetryczne ciało w kształcie gwiazdy jest ciałem przecięcia wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja 1/|| x || jest dodatnim rozkładem określonym, gdzie || x || jest jednorodną funkcją stopnia 1, czyli 1, na granicy ciała, a Koldobsky (1998b) wykorzystał ją do pokazania, że kule jednostkowe l
^p_n , 2 < p ≤ ∞ w przestrzeni n -wymiarowej z normą l ^p to obiekty skrzyżowania dla n = 4, ale nie są ciałami skrzyżowania dla n ≥ 5.

Zobacz też

Bourgain, Jean; Lindenstrauss, J. (1988), „Ciała projekcyjne”, Geometryczne aspekty analizy funkcjonalnej (1986/87) , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1317, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 250–270, doi : 10.1007/BFb0081746 , ISBN 978-3-540-19353-1 , MR 0950986
Koldobsky, Alexander (1998a), „Ciała przecięcia, dodatnie rozkłady określone i problem Busemanna-Petty’ego”, American Journal of Mathematics , 120 (4): 827–840, CiteSeerX 10.1.1.610.5349 , doi : 10.1353/ajm. 1998.0030 , ISSN 0002-9327 , MR 1637955
Koldobsky, Alexander (1998b), „Ciała skrzyżowania w R⁴”, Advances in Mathematics , 136 (1): 1–14, doi : 10.1006/aima.1998.1718 , ISSN 0001-8708 , MR 1623669
Lutwak, Erwin (1988), „Ciała przecięcia i podwójne tomy mieszane”, Advances in Mathematics , 71 (2): 232–261, doi : 10.1016/0001-8708(88)90077-1 , ISSN 0001-8708 , MR 0963487
Petty, Clinton M. (1967), „Ciała projekcyjne” , Proceedings of the Colloquium on Convexity (Kopenhaga, 1965) , Kobenhavns Univ. Mata. Inst., Kopenhaga, s. 234–241, MR 0216369
Petty, Clinton M. (1971), „Problemy izoperymetryczne”, Proceedings of the Conference on Convexity and Combinatorial Geometry (Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1971). Wydział Matematyki, Uniw. Oklahoma, Norman, Oklahoma , s. 26–41, MR 0362057
Schneidera, Rolfa (1967). „Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper” . Mathematische Zeitschrift (w języku niemieckim). 101 : 71–82. doi : 10.1007/BF01135693 .
Zhang, Gaoyong (1991), „Ograniczona projekcja akordów i nierówności afiniczne”, Geometriae Dedicata , 39 (4): 213–222, doi : 10.1007/BF00182294 , MR 1119653