Problem Shepharda

W matematyce problem Shepharda to następujące geometryczne pytanie zadane przez Geoffreya Colina Shepharda w 1964 roku: jeśli K i L są ciałami wypukłymi o centralnej symetrii w n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej, tak że ilekroć K i L są rzutowane na hiperpłaszczyznę , objętość projekcja K jest mniejsza niż objętość rzutu L , to czy wynika z tego, że objętość K jest mniejsza niż objętość L ?

W tym przypadku „centralnie symetryczny” oznacza, że ​​odbicie K w początku, −K , jest translacją K , i podobnie dla L . Jeżeli π _k : R ⁿ → Π _k jest rzutem R ⁿ na jakąś k -wymiarową hiperpłaszczyznę Π _k (niekoniecznie hiperpłaszczyznę współrzędnych), a V _k oznacza k objętości, problemem Shepharda jest ustalenie prawdziwości lub fałszywości implikacji

${\ Displaystyle V_ {k} (\ pi _ {k} (K)} \ równoważnik V_ {k} (\ pi _ {k} (L)) {\ mbox {dla wszystkich}} 1 \ równoważnik k <n \ implikuje V_{n}(K)\równoważnik V_{n}(L).}$

   V _k ( π _k ( K )) jest _czasami określane jako jasność K , a funkcja V _k o π k jako ( k -wymiarowa) funkcja jasności .

W wymiarach n = 1 i 2 odpowiedź na problem Shepharda brzmi „tak”. Jednak w 1967 roku Petty i Schneider wykazali, że odpowiedź brzmi „nie” dla każdego n ≥ 3. Rozwiązanie problemu Shepharda wymaga pierwszej nierówności Minkowskiego dla ciał wypukłych i pojęcia ciał rzutowych ciał wypukłych.

Zobacz też

• Problem Busemanna-Petty'ego

Notatki

• Gardner, Richard J. (2002). „Nierówność Brunna-Minkowskiego” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . Nowa seria. 39 (3): 355–405 (elektroniczny). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
•   Drobny, Clinton M. (1967). „Ciała projekcyjne”. Proceedings of the Colloquium on Convexity (Kopenhaga, 1965) . Kobenhavns Univ. Mata. Inst., Kopenhaga. s. 234–241. MR 0216369 .

• Schneider, Rolf (1967). "Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper" . Mathematische Zeitschrift (w języku niemieckim). 101 : 71–82. doi : 10.1007/BF01135693 .
•    Shephard, GC (1964), „Systemy cieni zestawów wypukłych”, Israel Journal of Mathematics , 2 (4): 229–236, doi : 10.1007 / BF02759738 , ISSN 0021-2172 , MR 0179686