Pierwsza nierówność Minkowskiego dla ciał wypukłych

W matematyce pierwsza nierówność Minkowskiego dla ciał wypukłych jest wynikiem geometrycznym niemieckiego matematyka Hermanna Minkowskiego . Nierówność jest ściśle związana z nierównością Brunna – Minkowskiego i nierównością izoperymetryczną .

Stwierdzenie nierówności

Niech K i L będą dwoma n - wymiarowymi ciałami wypukłymi w n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej Rn ^. Zdefiniuj wielkość V ₁ ( K , L ) wg

${\ Displaystyle nV_ {1} (K, L) = \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} { \frac {V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon }},}$

gdzie V oznacza n -wymiarową miarę Lebesgue'a , a + oznacza sumę Minkowskiego . Następnie

${\ Displaystyle V_ {1} (K, L) \ geq V (K) ^ {(n- 1)/n}V(L)^{1/n},}$

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy K i L są homotetyczne , tj. równe translacji i dylatacji .

Uwagi

• V ₁ to tylko jeden przykład klasy wielkości znanych jako objętości mieszane .
•   Jeśli L jest n -wymiarową jednostkową kulą B , to n V ₁ ( K , B ) jest ( n - 1) wymiarową miarą powierzchni K , oznaczoną jako S ( K ).

Połączenie z innymi nierównościami

Nierówność Brunna-Minkowskiego

Można pokazać, że nierówność Brunna-Minkowskiego dla ciał wypukłych w R ⁿ implikuje pierwszą nierówność Minkowskiego dla ciał wypukłych w R ⁿ oraz że równość w nierówności Brunna-Minkowskiego implikuje równość w pierwszej nierówności Minkowskiego.

Nierówność izoperymetryczna

Biorąc L = B , n -wymiarową kulę jednostkową, w pierwszej nierówności Minkowskiego dla ciał wypukłych, otrzymuje się nierówność izoperymetryczną dla ciał wypukłych w R ⁿ : jeśli K jest ciałem wypukłym w R ⁿ , to

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {V (K)} {V ( B)}}\right)^{1/n}\leq \left({\frac {S(K)}{S(B)}}\right)^{1/(n-1)},}$

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy K jest kulą o pewnym promieniu.

• Gardner, Richard J. (2002). „Nierówność Brunna – Minkowskiego” . Byk. Amer. Matematyka soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (elektroniczny). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .