Problem Busemanna-Petty'ego

W matematycznej dziedzinie geometrii wypukłej problem Busemanna -Petty'ego , wprowadzony przez Herberta Busemanna i Clintona Myersa Petty'ego ( 1956 , problem 1), pyta, czy to prawda, że ​​symetryczne ciało wypukłe z większymi przekrojami centralnej hiperpłaszczyzny ma większą objętość. Dokładniej, jeśli K , T są symetrycznymi ciałami wypukłymi w R ⁿ takimi, że

${\ Displaystyle \ operatorname {tom} _ {n-1} \, (K \ czapka A) \ równoważnik \ operatorname { Tom} _{n-1}\,(T\cap A)}$

   dla każdej hiperpłaszczyzny A przechodzącej przez początek układu współrzędnych Vol _n K ≤ Vol _n T ?

Busemann i Petty wykazali, że odpowiedź jest pozytywna, jeśli K jest piłką. Ogólnie rzecz biorąc, odpowiedź jest pozytywna w wymiarach co najwyżej 4, a ujemna w wymiarach co najmniej 5.

Historia

Larman i Claude Ambrose Rogers ( 1975 ) wykazali, że problem Busemanna-Petty'ego ma rozwiązanie negatywne w wymiarach co najmniej 12, a kilku innych autorów ograniczyło tę granicę do wymiarów co najmniej 5. Ball (1988) wskazał szczególnie prosty kontrprzykład: wszystkie przekroje sześcianu jednostkowej objętości mają co najwyżej miarę √ 2 , podczas gdy w wymiarach co najmniej 10 wszystkie środkowe przekroje kuli jednostkowej mają miarę przynajmniej √ 2 . Lutwak (1988) wprowadził ciała przecięcia i wykazał, że problem Busemanna-Petty'ego ma pozytywne rozwiązanie w danym wymiarze wtedy i tylko wtedy, gdy każde symetryczne ciało wypukłe jest ciałem przecięcia. Ciało przecięcia to ciało gwiazdy, którego funkcja radialna w danym kierunku u jest objętością przekroju hiperpłaszczyzny u ^⊥ ∩ K dla pewnego stałego ciała gwiazdy K . Gardner (1994) wykorzystał wynik Lutwaka, aby pokazać, że problem Busemanna-Petty'ego ma pozytywne rozwiązanie, jeśli wymiar wynosi 3. Zhang (1994) błędnie stwierdził, że sześcian jednostkowy w R ⁴ nie jest bryłą przecięcia, co sugerowałoby, że Problem Busemanna-Petty'ego ma rozwiązanie ujemne, jeśli wymiar wynosi co najmniej 4. Jednak Koldobsky (1998a) wykazał, że centralnie symetryczne ciało w kształcie gwiazdy jest ciałem przecinającym się wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja 1/|| x || jest dodatnio określonym rozkładem, gdzie ||x|| jest jednorodną funkcją stopnia 1, czyli 1 na granicy ciała, a Koldobsky (1998b) wykorzystał to do pokazania, że ​​kule jednostkowe l
^p _n , 1 < p ≤ ∞ w n -wymiarowej przestrzeni z normą l ^p są ciała skrzyżowania dla n = 4, ale nie są ciałami skrzyżowania dla n ≥ 5, co pokazuje, że wynik Zhanga był nieprawidłowy. Zhang (1999) wykazał następnie, że problem Busemanna-Petty'ego ma pozytywne rozwiązanie w wymiarze 4. Richard J. Gardner, A. Koldobsky i T. Schlumprecht ( 1999 ) podali jednolite rozwiązanie dla wszystkich wymiarów.

Zobacz też

• Problem Shepharda

•    Ball, Keith (1988), „Kilka uwag na temat geometrii zbiorów wypukłych”, Geometryczne aspekty analizy funkcjonalnej (1986/87) , Lecture Notes in Math., tom. 1317, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 224–231, doi : 10.1007/BFb0081743 , ISBN 978-3-540-19353-1 , MR 0950983
•    Busemanna, Herberta; Petty, Clinton Myers (1956), „Problemy na ciałach wypukłych” , Mathematica Scandinavica , 4 : 88–94, doi : 10.7146/math.scand.a-10457 , ISSN 0025-5521 , MR 0084791 , zarchiwizowane od oryginału w 2011 r. -08-25
•     Gardner, Richard J. (1994), „Pozytywna odpowiedź na problem Busemanna-Petty'ego w trzech wymiarach”, Annals of Mathematics , druga seria, 140 (2): 435–447, doi : 10.2307/2118606 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118606 , MR 1298719
•     Gardner, Richard J.; Koldobsky, A.; Schlumprecht, T. (1999), „Analityczne rozwiązanie problemu Busemanna-Petty'ego na odcinkach ciał wypukłych”, Annals of Mathematics , Second Series, 149 (2): 691–703, arXiv : math / 9903200 , doi : 10,2307 /120978 , ISSN 0003-486X , JSTOR 120978 , MR 1689343
•     Koldobsky, Alexander (1998a), „Ciała przecięcia, dodatnio określone rozkłady i problem Busemanna-Petty'ego”, American Journal of Mathematics , 120 (4): 827–840, CiteSeerX 10.1.1.610.5349 , doi : 10.1353/ajm. 1998.0030 , ISSN 0002-9327 , MR 1637955
•    Koldobsky, Alexander (1998b), „Ciała skrzyżowania w R⁴”, Advances in Mathematics , 136 (1): 1–14, doi : 10.1006 / aima.1998.1718 , ISSN 0001-8708 , MR 1623669
•    Koldobsky, Alexander (2005), Analiza Fouriera w geometrii wypukłej , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 116, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3787-0 , MR 2132704
•    Larman, DG; Rogers, CA (1975), „Istnienie centralnie symetrycznego ciała wypukłego z sekcjami centralnymi, które są nieoczekiwanie małe”, Mathematika , 22 (2): 164–175, doi : 10.1112 / S0025579300006033 , ISSN 0025-5793 , MR 0390914
•    Lutwak, Erwin (1988), „Ciała przecięcia i podwójne tomy mieszane”, Advances in Mathematics , 71 (2): 232–261, doi : 10.1016/0001-8708 (88) 90077-1 , ISSN 0001-8708 , MR 0963487
•     Zhang, Gao Yong (1994), „Ciała przecięcia i nierówności Busemanna-Petty'ego w R⁴”, Annals of Mathematics , druga seria, 140 (2): 331–346, doi : 10.2307/2118603 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118603 , MR 1298716 , Wynik w tym artykule jest błędny; patrz sprostowanie autora z 1999 r.
•     Zhang, Gaoyong (1999), „Pozytywne rozwiązanie problemu Busemanna-Petty'ego w R⁴”, Annals of Mathematics , Second Series, 149 (2): 535–543, doi : 10,2307/120974 , ISSN 0003-486X , JSTOR 120974 , MR 1689339