Kryptomorfizm

W matematyce dwa obiekty, zwłaszcza dla nich systemy aksjomatów lub semantyki, nazywane są kryptomorficznymi, jeśli są równoważne, ale nie w sposób oczywisty równoważne. W szczególności dwie definicje lub aksjomatyzacje tego samego obiektu są „kryptomorficzne”, jeśli nie jest oczywiste, że definiują ten sam przedmiot. Przykłady definicji kryptomorficznych obfitują w matroidów , a inne można znaleźć gdzie indziej, np. w teorii grup definicja grupy przez pojedynczą operację dzielenia, która nie jest oczywiście równoważna zwykłym trzem „operacjom” elementu tożsamości, odwrotności, i mnożenie.

To słowo jest grą wielu morfizmów w matematyce, ale „kryptomorfizm” jest tylko bardzo daleko spokrewniony z „ izomorfizmem ”, „ homomorfizmem ” lub „morfizmami”. Równoważność może w kryptomorfizmie, jeśli nie jest rzeczywistą tożsamością, być nieformalna lub może być sformalizowana w kategoriach bijekcji lub równoważności kategorii między obiektami matematycznymi zdefiniowanymi przez dwa kryptomorficzne systemy aksjomatów.

Etymologia

Słowo zostało ukute przez Garretta Birkhoffa przed 1967 rokiem do wykorzystania w trzecim wydaniu jego książki Lattice Theory . Birkhoff nie podał formalnej definicji, chociaż inni pracujący w tej dziedzinie od tego czasu podjęli pewne próby.

Zastosowanie w teorii matroidów

Jego nieformalny sens spopularyzował (i znacznie rozszerzył zakres) Gian-Carlo Rota w kontekście teorii matroidów : istnieją dziesiątki równoważnych aksjomatycznych podejść do matroidów, ale dwa różne systemy aksjomatów często wyglądają bardzo różnie.

W swojej książce Indiscrete Thoughts z 1997 roku Rota opisuje sytuację w następujący sposób:

Podobnie jak wiele innych świetnych pomysłów, teoria matroidów została wymyślona przez jednego z wielkich amerykańskich pionierów, Hasslera Whitneya . Jego artykuł, który do dziś jest najlepszym wejściem w ten temat, rażąco ujawnia wyjątkową specyfikę tej dziedziny, a mianowicie wyjątkową różnorodność kryptomorficznych definicji matroidów, żenująco niezwiązanych ze sobą i wykazujących całkowicie różne rodowody matematyczne. To tak, jak gdyby skondensować wszystkie trendy współczesnej matematyki w jedną skończoną strukturę, co każdy by a priori uznał za niemożliwe, gdyby nie fakt, że matroidy naprawdę istnieją.

Chociaż istnieje wiele koncepcji kryptomorficznych w matematyce poza teorią matroidów i algebrą uniwersalną , słowo to nie przyjęło się ogólnie wśród matematyków. Jest jednak dość szeroko stosowany wśród badaczy teorii matroidów.

Zobacz też

• Klasa kombinatoryczna , równoważność między problemami z wyliczaniem kombinatorycznym wskazująca na istnienie kryptomorfizmu

• Birkhoff, G.: Teoria kraty , wydanie 3. Publikacje kolokwium Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego, tom. XXV. 1967.
• Crapo, H. i Rota, G.-C.: O podstawach teorii kombinatorycznej: geometrie kombinatoryczne. MIT Press, Cambridge, Massachusetts 1970.
• Elkins, James: Rozdział Cryptomorphs w Dlaczego nasze zdjęcia są zagadkami?: O współczesnym pochodzeniu złożoności obrazkowej , 1999
• Rota, G.-C.: Niedyskretne myśli , Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. 1997.
• White, N., redaktor: Theory of Matroids , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 26. Cambridge University Press, Cambridge. 1986.