Kryterium Liénarda-Chiparta

W teorii systemów sterowania kryterium Liénarda -Chiparta jest kryterium stabilności zmodyfikowanym na podstawie kryterium stabilności Routha-Hurwitza , zaproponowanego przez A. Liénarda i MH Chiparta. To kryterium ma przewagę obliczeniową nad kryterium Routha-Hurwitza, ponieważ obejmuje tylko około połowę liczby wyznaczników .

Algorytm

Kryterium stabilności Routha-Hurwitza mówi, że warunek konieczny i wystarczający dla wszystkich pierwiastków wielomianu o rzeczywistych współczynnikach

${\ Displaystyle f (z) = a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n -1}+\cdots +a_{n}\,(a_{0}>0)}$

mieć ujemne części rzeczywiste (tj. $stabilne$ Hurwitza ) to jest to

${\ Displaystyle \ Delta _ {1}> 0, \, \ Delta _ {2}> 0, \ ldots, \ Delta _ {n}> 0,}$

gdzie jest $i}}$ -tą wiodącą główną drugorzędną macierzy Hurwitza związanej z ${\ displaystyle \ Delta$ _ .

Używając tej samej notacji co powyżej, kryterium Liénarda-Chiparta jest takie, że Hurwitz jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest dowolny z czterech warunków: ${\ displaystyle f}$

1. ${\ Displaystyle a_ {n}> 0, a_ {n-2}> 0, \ ldots; \, \ Delta _ {1}> 0, \ Delta _ {3}> 0 ,\ldkropki}$
2. ${\ Displaystyle a_ {n}> 0, a_ {n-2}> 0, \ ldots; \, \ Delta _ {2}> 0, \ Delta _ {4}> 0 ,\ldkropki}$
3. ${\ Displaystyle a_ {n}> 0, a_ {n-1}> 0, a_ {n-3}> 0, \ ldots; \, \ Delta _ {1}> 0 ,\Delta _{3}>0,\ldkropki }$
4. ${\ Displaystyle a_ {n}> 0, a_ {n-1}> 0, a_ {n-3}> 0, \ ldots; \, \ Delta _ {2}> 0 ,\Delta _{4}>0,\ldkropki }$

Widać więc, że wybierając jeden z tych warunków, zmniejsza się liczba wyznaczników wymaganych do oceny.

Alternatywnie Fuller sformułował to w następujący sposób (zauważając, że nigdy nie trzeba sprawdzać): ${\ displaystyle \ Delta _ {1}> 0}$

${\ Displaystyle a_ {n}> 0, a_ {1}> 0, a_ {3}> 0, a_ {5}> 0, \ ldots;}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {n-1}> 0, \ Delta _ {n-3}> 0, \ Delta _ {n-5}> 0, \ ldots, \ {\ Delta _ {3}> 0 \ (n\ parzyste)\,\Delta _{2}>0\ (n\ nieparzyste)\}.}$

Oznacza to, że jeśli n jest parzyste, druga linia kończy się na ${\ Displaystyle \ Delta _ {3}> 0},$ a jeśli n jest nieparzyste, kończy się na ${\ Displaystyle \ Delta _ {2}> 0 }$ , więc to jest tylko 1. warunek dla nieparzystego n i 4. warunek dla parzystego n z góry. Pierwsza linia zawsze kończy $,$$nawet$ również n

Linki zewnętrzne

• „Kryterium Liénarda-Chiparta” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]