Kryterium Scarborough

Kryterium Scarborougha służy do spełnienia zbieżności rozwiązania przy rozwiązywaniu równań liniowych metodą iteracyjną .

Wstęp

Rozwiązania analityczne dla niektórych układów równań mogą być trudne lub niemożliwe do uzyskania. Dobrze znanym przykładem są równania Naviera-Stokesa opisujące przepływ płynów newtonowskich. Rozwiązania takich równań można otrzymać numerycznie , w dyskretnych punktach dziedziny rozwiązań (np. w dyskretnych punktach czasu i punktach przestrzeni). Rozwiązania numeryczne oparte na całkowaniu równań w dyskretnych objętościach kontrolnych dziedziny rozwiązań (na przykład Metoda Objętości Skończonych ) dają w wyniku układ równań algebraicznych, po jednym dla każdego punktu węzłowego (odpowiadający określonej objętości kontrolnej). Te równania algebraiczne są zwykle nazywane równaniami dyskretnymi . Kryterium Scarborough sformułowane przez Scarborough (1958) można wyrazić w postaci wartości współczynników równań dyskretyzowanych:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ suma | a_ {nb} |} {| a'_ {p} |}} {\ rozpocząć {przypadki} \ równoważnik 1,&{\text{we wszystkich węzłach}}\\<1,&{\text{co najmniej w jednym węźle}}\end{cases}}}

Tutaj $a' p$ jest współczynnikiem netto losowego węzła centralnego P , a sumowanie w liczniku obejmuje wszystkie sąsiednie węzły. W przypadku problemu jedno, dwu i trójwymiarowego każdy węzeł będzie miał dwóch (wschód i zachód), czterech (wschód, zachód, południe i północ) i sześciu (wschód, zachód, południe, północ, góra i dół), odpowiednio.

Uwagi

Jest to warunek wystarczający, a nie konieczny. Oznacza to, że możemy uzyskać zbieżność, nawet jeśli czasami naruszymy kryterium.
Spełnienie tego kryterium gwarantuje, że równania zostaną zbieżne co najmniej jedną metodą iteracyjną.

Metoda Gaussa – Seidela

Jeżeli kryterium Scarborough nie jest spełnione, wówczas procedura iteracyjna metody Gaussa – Seidela nie gwarantuje zbieżności rozwiązania. Kryterium to jest warunkiem wystarczającym, a nie koniecznym. Jeżeli to kryterium jest spełnione oznacza to, że równanie zostanie zbieżne co najmniej jedną metodą iteracyjną . Kryterium Scarborougha służy jako warunek wystarczający zbieżnej metody iteracyjnej. Metoda objętości skończonych wykorzystuje to kryterium do uzyskania rozwiązania zbieżnego i realizacji warunków brzegowych .

Dominacja diagonalna

Jeżeli schemat różnicowania daje współczynniki spełniające powyższe kryterium, to otrzymana macierz współczynników jest dominująca po przekątnej . Aby _osiągnąć dominację diagonalną, potrzebujemy dużych wartości współczynnika netto, więc praktyka linearyzacji terminów źródłowych powinna zapewnić, że SP będzie zawsze ujemne. Jeśli tak jest – SP jest zawsze _dodatnie i dodaje się do _P . Dominacja diagonalna jest cechą pożądaną dla spełnienia ograniczenia . Oznacza to, że w przypadku braku źródeł wewnętrzne wartości węzłowe dobra ф powinno być ograniczone przez jego wartości graniczne. Zatem w przypadku problemu przewodzenia w stanie ustalonym bez źródeł i przy temperaturach granicznych 500°C i 200°C wszystkie wewnętrzne wartości T powinny być mniejsze niż 500°C i większe niż 200°C.

Zobacz też

Linki zewnętrzne