Krzywa ryb

Krzywa ryb z parametrem skali a = 1

Krzywa ryby to elipsa ujemnej krzywej pedału , która ma kształt ryby . Na krzywej ryby punkt pedału znajduje się w centrum szczególnego przypadku mimośrodu do kwadratu ${\ Displaystyle e ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}}}$ . Równania parametryczne dla krzywej ryby odpowiadają równaniom powiązanej elipsy .

równania

Dla elipsy z równaniami parametrycznymi

$\ Displaystyle \ textstyle {x = a \ cos (t), \ qquad y = {\ Frac {a \ sin (t)}} \sqrt {2}}}},}$

odpowiednia krzywa ryb ma równania parametryczne

${\ Displaystyle \ textstyle {x = a \ cos (t) - {\ Frac {a \ sin ^ {2} (t)} {\ sqrt {2}}}, \ qquad y = a \ cos (t) \ grzech(t)}.}$

Kiedy początek jest tłumaczony na węzeł (punkt przecięcia), równanie kartezjańskie można zapisać jako:

${\ Displaystyle \ lewo (2x ^ {2} + y ^{2}\right)^{2}-2{\sqrt {2}}ax\left(2x^{2}-3y^{2}\right)+2a^{2}\left(y^{ 2}-x^{2}\prawo)=0.}$

Obszar

Pole krzywej ryby jest określone wzorem:

${\ Displaystyle A = {\ Frac {1} {2}} \ lewo | \ int {\ lewo (xy'-yx' \ prawo) dt} \ prawo |}$

${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {8}} a ^ {2} \ lewo | \ int {\ lewo [3 \ cos (t) + \ cos (3t) + 2 {\ sqrt {2}} \ grzech ^{2}(t)\prawo]dt}\prawo|}$ ,

więc powierzchnia ogona i głowy jest dana wzorem:

${\ Displaystyle A _ {\ operatorname {ogon}} = \ lewo ({\ Frac {2} {3}} - {\ Frac {\ pi}} 4 {\ sqrt {2}}}} \ prawej) a ^ {2}}$

${\ Displaystyle A _ {\ operatorname {Głowa}} = \ lewo ( {\frac {2}{3}}+{\frac {\pi}}{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2}}$

podając całkowity obszar ryb jako:

${\ Displaystyle A = {\ Frac {4} {3}} a ^ {2}}$ .

Krzywizna, długość łuku i kąt styczny

Długość łuku krzywej jest określona przez za $\ Displaystyle a {\ sqrt {2}} \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ pi + 3 \ prawej)}$ .

Krzywizna krzywej ryby jest dana wzorem:

${\ Displaystyle K (t) = {\ Frac {2 {\ sqrt {2}} + 3 \ cos (t) - \ cos (3 t)} {2a \ lewo [\ cos ^ {4} t + \sin ^{2}t+\sin ^{4}t+{\sqrt {2}}\sin(t)\sin(2t)\right]^{\frac {3}{2}}}}}$ ,

a kąt styczny jest określony wzorem:

${\ Displaystyle \ phi (t) = \ pi - \ arg \ lewo ({\ sqrt {2}} -1-{\frac {2}{\left(1+{\sqrt {2}}\right)e^{it}-1}}\right)}$

gdzie ${\ Displaystyle \ arg (z)}$ jest złożonym argumentem.