Kwadratura Gaussa-Jacobiego

W analizie numerycznej kwadratura Gaussa-Jacobiego (nazwana na cześć Carla Friedricha Gaussa i Carla Gustava Jacoba Jacobiego ) jest metodą kwadratury numerycznej opartą na kwadraturze Gaussa . Kwadraturę Gaussa-Jacobiego można wykorzystać do przybliżenia całek postaci

${\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) (1-x) ^ {\ alfa} (1+x)^{\beta}\,dx}$

gdzie ƒ jest gładką funkcją na [−1, 1] i α , β > −1 . Przedział [−1, 1] można zastąpić dowolnym innym przedziałem przez przekształcenie liniowe. Zatem kwadratura Gaussa-Jacobiego może być używana do przybliżania całek z osobliwościami w punktach końcowych. Kwadratura Gaussa – Legendre'a jest szczególnym przypadkiem kwadratury Gaussa – Jacobiego z α = β = 0 . Podobnie kwadratura Czebyszewa – Gaussa pierwszego (drugiego) rodzaju powstaje, gdy przyjmuje się α = β = −0,5 (+0,5) . Mówiąc bardziej ogólnie, przypadek szczególny α = β zamienia wielomiany Jacobiego w wielomiany Gegenbauera , w którym to przypadku technika jest czasami nazywana kwadraturą Gaussa – Gegenbauera .

Kwadratura Gaussa-Jacobiego wykorzystuje ω ( x ) = (1 - x ) ^α (1 + x ) ^β jako funkcję wagi. Odpowiednia sekwencja wielomianów ortogonalnych składa się z wielomianów Jacobiego . Zatem reguła kwadratury Gaussa-Jacobiego na n punktach ma postać

${ \ Displaystyle \ int _ {-1} ^ {1} f (x) (1-x) ^ {\ alfa} (1 + x) ^ {\ beta} \, dx \ około \ lambda _ {1} f ( x_{1})+\lambda _{2}f(x_{2})+\ldots +\lambda _{n}f(x_{n}),}$

gdzie x ₁ , …, x _n to pierwiastki wielomianu Jacobiego stopnia n . Wagi λ ₁ , …, λ _n są określone wzorem

${\ Displaystyle \ lambda _ {i} = - {\ Frac {2n + \ alfa + \ beta +2}{n+\alpha +\beta +1}}\,{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}}\,{\frac {2^{\alpha +\beta }}{P_{n}^{(\alpha ,\beta )\,\prime }(x_{i) })P_{n+1}^{(\alfa ,\beta )}(x_{i})}},}$

gdzie Γ oznacza funkcję Gamma , a P
^{( α , β )} _n ( x ) wielomian Jacobiego stopnia n .

Składnik błędu (różnica między przybliżoną a dokładną wartością) to:

${\ Displaystyle E_ {n} = {\ Frac {\ Gamma (n + \ alfa + 1) \ Gamma (n + \ beta + 1) \ Gamma (n + \ alfa + \ beta + 1 )}{(2n+\alfa +\beta +1)[\Gamma (2n+\alfa +\beta +1)]^{2}}}{\frac {2^{2+\alfa +\beta +1} }{(2n)!}}f^{(2n)}(\xi ),}$

gdzie ${\ Displaystyle -1 <\ xi <1}$ .

•   Rabinowitz, Philip (2001), „§4.8-1: kwadratura Gaussa – Jacobiego”, Pierwszy kurs analizy numerycznej (wyd. 2), New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41454-6 .

Linki zewnętrzne

• Reguła Jacobiego - darmowe oprogramowanie (Matlab, C ++ i Fortran) do obliczania całek według reguł kwadratury Gaussa – Jacobiego.
• Reguła Gegenbauera - darmowe oprogramowanie (Matlab, C ++ i Fortran) do kwadratury Gaussa – Gegenbauera