Problem kwadratury koła Tarskiego

Problem Tarskiego z kwadraturą koła to wyzwanie postawione przez Alfreda Tarskiego w 1925 r., polegające na wzięciu dysku w samolocie, pocięciu go na skończoną liczbę kawałków i ponownym złożeniu tych kawałków, aby uzyskać kwadrat o równej powierzchni . Udowodnił to Miklós Laczkovich w 1990 roku; rozkład w dużym stopniu wykorzystuje aksjomat wyboru i dlatego jest niekonstruktywny . Laczkovich oszacował liczbę kawałków w swoim rozkładzie na około 10 ⁵⁰ . Konstruktywne rozwiązanie zostało podane przez Łukasza Grabowskiego, Andrása Máthé i Olega Pikhurko w 2016 roku, które działało wszędzie poza zbiorem miary zero. Niedawno Andrew Marks i Spencer Unger ( $kawałków$ podali całkowicie konstruktywne rozwiązanie, używając około Borela . W 2021 roku Máthé, Noel i Pikhurko poprawili właściwości elementów.

W szczególności Lester Dubins , Morris W. Hirsch i Jack Karush udowodnili, że niemożliwe jest rozcięcie koła i utworzenie kwadratu za pomocą kawałków, które można wyciąć wyidealizowaną parą nożyczek (to znaczy z granicą krzywej Jordana ). Kawałki użyte w dowodzie Laczkovicha są niemierzalnymi podzbiorami .

Laczkovich faktycznie udowodnił, że ponowne złożenie można wykonać tylko przy użyciu tłumaczeń ; obroty nie są wymagane. Po drodze udowodnił również, że dowolny prosty wielokąt na płaszczyźnie można rozłożyć na skończenie wiele części i ponownie złożyć za pomocą translacji, aby utworzyć kwadrat o równej powierzchni. Twierdzenie Bolyai -Gerwiena jest pokrewnym, ale znacznie prostszym wynikiem: stwierdza, że ​​​​można dokonać takiego rozkładu prostego wielokąta ze skończoną liczbą wielokątów , jeśli do ponownego złożenia są dozwolone zarówno translacje, jak i obroty.

Z wyniku Wilsona (2005) wynika , że ​​możliwe jest wybranie elementów w taki sposób, aby można je było przesuwać w sposób ciągły, pozostając rozłącznymi, aby uzyskać kwadrat. Co więcej, to mocniejsze stwierdzenie można również udowodnić za pomocą samych tłumaczeń.

Wyniki te należy porównać ze znacznie bardziej paradoksalnymi dekompozycjami w trzech wymiarach, których dostarcza paradoks Banacha-Tarskiego ; te dekompozycje mogą nawet zmienić głośność zestawu. Jednak na płaszczyźnie rozkład na skończenie wiele części musi zachować sumę miar Banacha części, a zatem nie może zmienić całkowitego pola zbioru ( Wagon 1993 ).

Zobacz też

• Kwadratowanie koła , inny problem: zadanie (które okazało się niemożliwe) skonstruowania dla danego koła kwadratu o równym polu z samą linią i cyrklem .

•   Hertel, Eike; Richter, Christian (2003), „Kwadratura koła przez rozcięcie” (PDF) , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 47–55, MR 1990983 .
•    Laczkovich, Miklos (1990), „Equidecomposability and disrepancy: rozwiązanie problemu kwadratury koła Tarskiego”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1990 (404): 77–117, doi : 10.1515/crll.1990.404.77 , MR 1037431 , S2CID 117762563 .
•   Laczkovich, Miklos (1994), „Rozkłady paradoksalne: przegląd ostatnich wyników”, Proc. Pierwszy Europejski Kongres Matematyki, tom. II (Paryż, 1992) , Progress in Mathematics, tom. 120, Bazylea: Birkäuser, s. 159–184, MR 1341843 .
•   Marki, Andrzej; Unger, Spencer (2017), „Kwadratura koła borelowskiego” , Annals of Mathematics , 186 (2): 581–605, arXiv : 1612.05833 , doi : 10.4007/annals.2017.186.2.4 , S2CID 738154 .
• Tarski, Alfred (1925), "Probléme 38", Fundamenta Mathematicae , 7 : 381 .
•    Wilson, Trevor M. (2005), „Wersja ciągłego ruchu paradoksu Banacha – Tarskiego: rozwiązanie problemu De Groota” (PDF) , Journal of Symbolic Logic , 70 (3): 946–952, doi : 10.2178 / jsl/1122038921 , MR 2155273 , S2CID 15825008 .
•   Wagon, Stan (1993), Paradoks Banacha-Tarskiego , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 24, Cambridge University Press, s. 169 , ISBN 9780521457040 .