Kwantyzacja pola elektromagnetycznego

Kwantowanie pola elektromagnetycznego oznacza, że ​​pole elektromagnetyczne składa się z dyskretnych paczek energii, fotonów . Fotony to bezmasowe cząstki o określonej energii , określonym pędzie i określonym spinie .

Aby wyjaśnić efekt fotoelektryczny , Albert Einstein założył w 1905 roku heurystycznie, że pole elektromagnetyczne składa się z cząstek o energii hν , gdzie h jest stałą Plancka , a ν jest częstotliwością fali . W 1927 roku Paul AM Dirac był w stanie wplecić koncepcję fotonu w strukturę nowej mechaniki kwantowej i opisać interakcję fotonów z materią. Zastosował technikę, która obecnie jest powszechnie nazywana drugą kwantyzacją , chociaż termin ten jest nieco mylący w odniesieniu do pól elektromagnetycznych, ponieważ są to rozwiązania klasycznych równań Maxwella. W teorii Diraca pola są kwantowane po raz pierwszy i po raz pierwszy w wyrażeniach pojawia się stała Plancka. W swojej oryginalnej pracy Dirac przyjął fazy różnych modów elektromagnetycznych ( składniki Fouriera pola) i energie modów jako zmienne dynamiczne do kwantowania (tj. zinterpretował je na nowo jako operatory i postulował relacje komutacyjne między nimi). Obecnie coraz powszechniej stosuje się kwantyzację składowych Fouriera potencjału wektorowego . Oto, co zostało zrobione poniżej.

Stan fotonu mechaniki kwantowej ${\ Displaystyle |\ mathbf {k}, \ mu \ rangle}$ należące do trybu ${\ Displaystyle (\ mathbf {k}, \ mu)}$ jest wprowadzone poniżej i pokazano, że ma następujące właściwości:

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} m _ {\textrm {foton}} i = 0 \\H |\mathbf {k}, \ mu \ rangle i = h \ nu |\ mathbf {k} ,\mu \rangle &&{\hbox{with}}\quad \nu =c|\mathbf {k} |\\P_{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\ hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle \\S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\mu |\mathbf {k} ,\mu \rangle && \mu =\pm 1.\end{aligned}}}$

Równania te mówią odpowiednio: foton ma zerową masę spoczynkową; energia fotonu wynosi hν = hc | k | ( k jest wektorem falowym , c jest prędkością światła); jego pęd elektromagnetyczny wynosi ℏ k [ℏ= h /(2 π )]; polaryzacja μ = ±1 jest wartością własną składowej z spinu fotonu.

Druga kwantyzacja

Druga kwantyzacja rozpoczyna się od rozwinięcia pola skalarnego lub wektorowego (lub funkcji falowych) w bazie składającej się z pełnego zestawu funkcji. Te funkcje ekspansji zależą od współrzędnych pojedynczej cząstki. Współczynniki mnożące funkcje bazowe są interpretowane jako operatory i narzucane są relacje (anty)komutacyjne pomiędzy tymi nowymi operatorami, relacje komutacyjne dla bozonów i relacje przeciwkomutacyjne dla fermionów (nic się nie dzieje z samymi funkcjami bazowymi). W ten sposób rozszerzone pole jest przekształcane w pole operatora fermionu lub bozonu. Współczynniki rozszerzania zostały przeniesione ze zwykłych liczb do operatorów, kreacji i anihilacji . Operator kreacji tworzy cząstkę w odpowiedniej funkcji bazowej, a operator anihilacji anihiluje cząstkę w tej funkcji.

W przypadku pól EM wymaganym rozwinięciem pola jest rozwinięcie Fouriera.

Pole elektromagnetyczne i potencjał wektorowy

Jak sugeruje to określenie, pole EM składa się z dwóch pól wektorowych, ${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t$ pola elektrycznego i pola magnetycznego . Oba są polami wektorowymi zależnymi od czasu , które w próżni zależą od trzeciego pola wektorowego. ${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$ (potencjał wektorowy), a także pole skalarne ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}, t)}$

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) i = {\ Boldsymbol {\ nabla}} \ razy \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) \ \\mathbf {E} (\mathbf {r}, t)&=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r},t)-{\frac {\częściowy \mathbf {A} ( \mathbf {r}, t)} {\częściowe t}},\\\end{aligned}}}$

gdzie ∇ × A jest zwinięciem A . _

Wybór cechowania Coulomba , dla którego ∇ ⋅ A = 0, zamienia A w pole poprzeczne . Zatem rozwinięcie Fouriera potencjału wektorowego zamkniętego w skończonym sześciennym pudełku o objętości V = L ^{3 wynosi}

${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = \ suma _ {\ mathbf {k}} \ suma _ {\ mu = \ pm 1} \ lewo ( \mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu)}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right),}$

gdzie oznacza $}$ koniugat za ${\ displaystyle {\ overline {a$ } Wektor falowy k podaje kierunek propagacji odpowiedniej składowej Fouriera (spolaryzowanej fali monochromatycznej) A ( r , t ); długość wektora falowego wynosi

${\ Displaystyle |\ mathbf {k} |= {\ Frac {2 \ pi \ nu} {c}} = {\ Frac {\ omega} {c}},}$

z ν częstotliwością modu. W tym podsumowaniu k przebiega po wszystkich liczbach całkowitych, zarówno dodatnich, jak i ujemnych. $}}}$ Składnik podstawy Fouriera ${ \ displaystyle e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \$ złożonym koniugatem składnika jako ${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$ jest rzeczywista.) Składniki wektora k mają wartości dyskretne (konsekwencja warunku brzegowego, że A ma tę samą wartość na przeciwległych ściankach pudełka):

${\ Displaystyle k_ {x} = {\ Frac {2 \ pi n_ {x}} {L}}, \ quad k_ {y} = {\ Frac {2 \ pi n_ {y}} {L}}, \ quad k_{z}={\frac {2\pi n_{z}}{L}},\qquad n_{x},n_{y},n_{z}=0,\pm 1,\pm 2, \ldots.}$

Dwa e ^{( μ )} („wektory polaryzacji”) to konwencjonalne wektory jednostkowe dla fal EM o polaryzacji kołowej lewej i prawej strony (LCP i RCP) (patrz rachunek Jonesa lub wektor Jonesa, rachunek Jonesa ) i prostopadłe do k . Są one powiązane z ortonormalnymi wektorami kartezjańskimi e _x i e _y poprzez transformację unitarną,

${\ Displaystyle \ mathbf {e} ^ {(\ pm 1)} \ równoważnik {\ frac {\mp 1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y})\qquad {\hbox{with}}\quad \mathbf {e} _{x}\cdot \mathbf {k} =\mathbf {e} _{y}\cdot \mathbf {k} =0.}$

K -ta składowa Fouriera A jest wektorem prostopadłym do k , a zatem jest liniową kombinacją e ⁽¹⁾ i e ^(-1) . Indeks górny μ wskazuje składnik wzdłuż e ^{( μ )} .

${\ Displaystyle {\ bar {a}} _ {\ mathbf {k}} ^ {(\ mu)} (t)}$$_$ zbiór i to zmienne definiujące potencjał wektorowy. W dalszej części będą promowani na operatorów.

Korzystając z równań pola powyżej, pola elektryczne i magnetyczne są następujące: ${B}$$\$$\ mathbf$ }

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) i = ja \ suma _ {\ mathbf {k}} {\ suma _ {\ mu = \ pm 1} \ omega {\left({\mathbf {e} ^{(\mu)}}(\mathbf {k})a_{\mathbf {k} }^{(\mu)}(t){e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}-{{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\ mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right)}}\\[6pt]\mathbf { B} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left\{\left(\mathbf {k} \times { {\mathbf {e} }^{(\mu)}}(\mathbf {k})\right)a_{\mathbf {k} }^{(\mu)}(t)e^{i\mathbf { k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu)}}(\mathbf {k} )\right ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right \}\end{wyrównane}}}$

Używając tożsamości $\ Displaystyle \ nabla \ razy e ^ {A \ cdot r} = A \ razy e ^ {A \ cdot r}}$ ( ${\ displaystyle A }$ i ${\ displaystyle r}$ są wektorami) i ${\ Displaystyle a _ {\ mathbf {k} } ^ {(\ mu)} (t) = a _ {\ mathbf {k}} ^ {(\ mu)} {{e} ^ {-iwt}}} jak$ każdy tryb ma zależność od pojedynczej częstotliwości.

Kwantyzacja pola EM

Najbardziej znanym przykładem kwantyzacji jest zastąpienie zależnego od czasu pędu liniowego cząstki regułą

${\ Displaystyle \ mathbf {p} (t) \ do -i \ hbar {\ Boldsymbol {\ nabla}}.}$

Należy zauważyć, że wprowadzono tutaj stałą Plancka i że zależność wyrażenia klasycznego od czasu nie jest przejęta w operatorze mechaniki kwantowej (jest to prawdą w przypadku tzw. obrazu Schrödingera ).

Dla pola EM robimy coś podobnego. Wielkość jest stałą elektryczną $się$ tutaj ze względu na użycie elektromagnetycznych jednostek SI . Zasady kwantyzacji są następujące:

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} a _ {\ mathbf {k}} ^ {(\ mu)} (t) i \ do {\ sqrt {\ Frac {\ hbar} {2 \ omega V \ epsilon _ {0 }}}}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu)}(t)&\to { \sqrt {\frac {\hbar } 2\omega V\epsilon _{0}}}}{a^{\sztylet }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\\end{ wyrównany}}}$

podlega zależnościom komutacji bozonu

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ lewo [a ^ {(\ mu)} (\ mathbf {k}), a ^ {(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[{a^{\sztylet }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{ a^{\sztylet }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ), {a^{\sztylet }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k} '}\delta _{ \mu ,\mu '}\end{aligned}}}$

$_$ komutator przez dowolnych dwóch . _ Wprowadzenie stałej Plancka jest niezbędne w przejściu od teorii klasycznej do teorii kwantowej. Czynnik

${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {1} {2 \ omega V \ epsilon _ {0}}}}}$

wprowadzono, aby nadać hamiltonianowi (operatorowi energii) prostą formę, patrz poniżej.

Skwantowane pola (pola operatorowe) są następujące

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) i = \ suma _ {\ mathbf {k}, \ mu} {\ sqrt {\ Frac {\ hbar} {2 \ omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}e ^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu)}a^{(\mu)}(\ mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu)} {a^{\sztylet }}^ {(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )& =i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\left(\mathbf {k } \times \mathbf {e} ^{(\mu )}\right)a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} } -\left(\mathbf {k} \times {\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}\right){a^{\sztylet }}^{(\mu)}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\end{aligned}}}$

gdzie ω = c | k | = ck .

Hamiltonian pola

Klasyczny hamiltonian ma postać

${\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} \ iint _ {V} {\ lewo ({{\ lewo | E (\ mathbf {r}, t) \ prawo |} ^{2}}+{{c}^{2}}{{\left|B(\mathbf {r},t)\right|}^{2}}\right)}{{\text{d} }^{3}}\mathbf {r} =V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\omega ^{2}\left({ \bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+a_{\mathbf {k} }^{(\mu)}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu)}(t)\right).}$

Prawą stronę można łatwo uzyskać przy pierwszym użyciu

${\ Displaystyle \ int _ {V} e ^ {ik \ cdot r} e ^ {-ik' \ cdot r} dr=V\delta _{k,k'}}$

(można wyprowadzić z równania Eulera i ortogonalności trygonometrycznej), gdzie k jest liczbą falową fali zamkniętej w polu V = L × L × L jak opisano powyżej i po drugie, stosując ω = kc .

Podstawienie operatorów pola do klasycznego hamiltonianu daje operator Hamiltona pola EM,

${\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {\ mathbf {k}, \ mu = \ pm 1}\hbar \omega \left({a^{\sztylet }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+a^{ (\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\sztylet }}^{(\mu )}(\mathbf {k})\right)=\suma _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\sztylet }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac { 1}{2}}\right)}$

Druga równość wynika z zastosowania trzeciej relacji komutacji bozonu z góry, gdzie k′ = k i μ′ = μ . Zauważ jeszcze raz, że ℏ ω = hν = ℏ do | k | i pamiętaj, że ω zależy od k , chociaż nie jest to jednoznaczne w zapisie. Można było wprowadzić zapis ω ( k ), ale nie jest on powszechny, ponieważ zaśmieca równania.

Dygresja: oscylator harmoniczny

Druga kwantowa obróbka jednowymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego jest dobrze znanym tematem na kursach mechaniki kwantowej. Dystansujemy i mówimy o tym kilka słów. Oscylator harmoniczny Hamiltonian ma postać

${\ Displaystyle H = \ hbar \ omega \ lewo (a ^ {\ sztylet} a + {\ tfrac {1} {2}} \ prawo)}$

gdzie ω ≡ 2 πν jest częstotliwością podstawową oscylatora. Stan podstawowy oscylatora jest oznaczony przez ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ; i jest określany jako „stan próżni”. Można wykazać, że jest operatorem wzbudzenia, pobudza od n- krotnego stanu wzbudzonego do n + 1-krotnego stanu wzbudzonego: za ${\ displaystyle a ^ {\ sztylet$

${\ Displaystyle a ^ {\ sztylet} | n \ rangle = | n + 1 \ rangle {\ sqrt {n + 1}}.}$

W szczególności: ${\ Displaystyle a ^ {\ sztylet} | 0 \ rangle = | 1 \ rangle}$ i ${\ Displaystyle (a ^ {\ sztylet}) ^ {n} | 0 \ rangle \ propto | n \ rangle.}$

Ponieważ energie oscylatorów harmonicznych są w jednakowej odległości, n -krotny stan wzbudzony ${\ displaystyle | n \ rangle}$ ; można postrzegać jako pojedynczy stan zawierający n cząstek (czasami nazywanych wibronami), a całość ma energię hν . Cząstki te to bozony. $Z$ oczywistego powodu operator wzbudzenia jest operatorem .

Z relacji komutacji wynika, że $\ displaystyle a}$ hermitowskie de $sqrt {n}}}$ wzbudza: za w szczególności ${\ Displaystyle a | 0 \ rangle \ propto 0,}$ tak, ${\ Displaystyle a | 0 \ rangle = 0.}$ Z oczywistego powodu operator odwzbudzenia nazywa się $anihilacji$ .

Za pomocą indukcji matematycznej można łatwo udowodnić następującą „regułę różniczkowania”, która będzie potrzebna później:

${\ Displaystyle \ lewo [a, (a ^ {\ sztylet}) ^ {n} \ prawo] = n(a^{\sztylet })^{n-1}\qquad {\hbox{with}}\quad \left(a^{\sztylet }\right)^{0}=1.}$

Załóżmy teraz, że mamy pewną liczbę nieoddziałujących (niezależnych) jednowymiarowych oscylatorów harmonicznych, każdy z własną częstotliwością podstawową ω _i . Ponieważ oscylatory są niezależne, Hamiltonian jest prostą sumą:

${\ Displaystyle H = \ suma _ {i} \ hbar \ omega _ {i} \ lewo (a ^ {\ sztylet} (i) a (i) + {\ tfrac {1} {2}} \ prawo). }$

Zastępując ${\ displaystyle (\ mathbf {k}, \ mu)}$ za ${\ displaystyle i}$ widzimy, że hamiltonian pola EM można uznać za hamiltonian niezależnych oscylatorów energii ω = | k | c oscyluje w kierunku e ^{( μ )} z μ = ±1.

Stany liczbowe fotonów (stany Focka)

Skwantowane pole EM ma stan próżni (bez fotonów) ${\ Displaystyle | 0 \ rangle}$ . Zastosowanie do tego, powiedzmy,

${\ Displaystyle \ lewo ({a ^ {\ sztylet}} ^ {(\ mu)} (\ mathbf {k}) \ prawo) ^ {m} \ lewo ({a ^ {\ sztylet}} ^ {(\ mu ')}(\mathbf {k} ')\right)^{n}|0\rangle \propto \left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ' ,\mu ')^{n}\right\rangle ,}$

daje stan kwantowy m fotonów w trybie ( k , μ ) i n fotonów w trybie ( k ′, μ′ ). Symbol proporcjonalności jest używany, ponieważ stan po lewej stronie nie jest znormalizowany do jedności, podczas gdy stan po prawej stronie może być znormalizowany.

Operator

${\ Displaystyle N ^ {(\ mu)} (\ mathbf {k}) \ równoważnik {a ^ {\ sztylet} }^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

jest operatorem liczbowym . Działając na stan liczby fotonów mechaniki kwantowej, zwraca liczbę fotonów w trybie ( k , μ ). Dzieje się tak również wtedy, gdy liczba fotonów w tym trybie wynosi zero, wówczas operator liczbowy zwraca zero. Aby pokazać działanie operatora liczbowego na ketze jednofotonowym, rozważymy

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} N ^ {(\ mu)} (\ mathbf {k}) | \ mathbf {k} ', \ mu '\ rangle & = {a ^ {\ sztylet}} ^ {( \mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\sztylet }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} ) |0\rangle \\&={a^{\sztylet }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left(\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} } \delta _{\mu ,\mu '}+{a^{\sztylet }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )a^{(\mu)}(\mathbf {k} )\right)|0\rangle \\&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}|\mathbf {k} ,\mu \ rangle,\end{aligned}}}$

tj. operator liczbowy modu ( k , μ ) zwraca zero, jeśli mod jest niezajęty i zwraca jedność, jeśli mod jest zajęty pojedynczo. Aby rozważyć działanie operatora liczbowego modu ( k , μ ) na n -fotonowy ket tego samego modu, pomijamy indeksy k i μ i rozważamy

${\ Displaystyle N (a ^ {\ sztylet}) ^ {n} | 0 \ rangle = a ^ {\ sztylet} \ lewo ([a, (a ^ {\ sztylet}) ^ {n}] + (a ^ {\sztylet})^{n}a\right)|0\rangle =a^{\sztylet }[a,(a^{\sztylet})^{n}]|0\rangle .}$

Skorzystaj z wprowadzonej wcześniej „reguły różnicowania” i wynika z niej

${\ Displaystyle N (a ^ {\ sztylet}) ^ {n} | 0 \ rangle = n (a ^ {\ sztylet}) ^ {n} | 0 \ rangle.}$

Stan liczby fotonów (lub stan Focka) jest stanem własnym operatora liczbowego. Dlatego też opisany tutaj formalizm nazywany jest często reprezentacją liczby zawodów .

Energia fotonu

Wcześniej Hamiltonian,

${\ Displaystyle H = \ suma _ {\ mathbf {k}, \ mu} \ hbar \ omega \left({a^{\sztylet }}^{(\mu)}(\mathbf {k})a^{(\mu)}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2} }\Prawidłowy)}$

został wprowadzony. Zero energii można przesunąć, co prowadzi do wyrażenia w postaci operatora liczbowego,

${\ Displaystyle H = \ suma _ {\ mathbf {k}, \ mu} \ hbar \ omega N ^ {(\ mu)} (\ mathbf {k } )}$

Wpływ H na stan pojedynczego fotonu jest

${\ Displaystyle H | \ mathbf {k}, \ mu \ rangle \ równoważnik H \ lewo ({a ^ {\ sztylet}} ^ {(\ mu)} (\ mathbf {k}) | 0 \ rangle \ prawo) =\sum _{\mathbf {k'} ,\mu '}\hbar \omega 'N^{(\mu ')}(\mathbf {k} '){a^{\sztylet }}^{(\ mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle =\hbar \omega \left({a^{\sztylet }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right )=\hbar \omega |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

Najwyraźniej stan pojedynczego fotonu jest stanem własnym H , a ℏ ω = hν jest odpowiadającą mu energią. W ten sam sposób

${\ Displaystyle H \ lewo | (\ mathbf {k}, \ mu) ^ {m}; (\ mathbf {k} ', \ mu ') ^ {n} \ prawo \ rangle = \ lewo [m (\ hbar \omega )+n(\hbar \omega ')\right]\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\ Right\rangle ,\qquad {\text{with}}\quad \omega =c|\mathbf {k} |\quad {\hbox{and}}\quad \omega '=c|\mathbf {k} '| .}$

Przykładowa gęstość fotonów

Gęstość energii elektromagnetycznej wytworzonej przez radiostację nadawczą o mocy 100 kW obliczono w artykule o fali elektromagnetycznej (gdzie?); szacunkowa gęstość energii w odległości 5 km od stacji wyniosła 2,1 × 10-10 ^J /m ³ . Czy do opisu transmisji stacji potrzebna jest mechanika kwantowa?

$jedność$ gdy liczba fotonów jest znacznie gdzie λ jest długością fal radiowych. W takim przypadku fluktuacje kwantowe są znikome i nie można ich usłyszeć.

Załóżmy, że stacja radiowa nadaje na częstotliwości ν = 100 MHz i wysyła fotony o energii νh = 1 × 10 ⁸ × 6,6 × ^10-34 = 6,6 × ^10-26 J, gdzie h jest stałą Plancka . Długość fali stacji wynosi λ = c / ν = 3 m, zatem λ /(2 π ) = 48 cm, a objętość wynosi 0,109 m ³ . Zawartość energii tego elementu objętościowego wynosi 2,1 × ^10-10 × 0,109 = 2,3 × 10 ⁻¹¹ J, co równa się 3,4 × 10 ¹⁴ fotonów na ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda ^ {3}} (2 \ pi) ^ {3}}}.}$ Oczywiście 3,4 × 10 ¹⁴ > 1 i stąd efekty kwantowe nie odgrywają roli; fale emitowane przez tę stację są dobrze opisane przez klasyczną granicę i mechanika kwantowa nie jest potrzebna.

Pęd fotonu

Wprowadzenie rozwinięcia Fouriera pola elektromagnetycznego do postaci klasycznej

${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\textrm {EM}} = \ epsilon _ {0} \ iiiint _ { V}\mathbf {E} (\mathbf {r}, t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r}, t){\textrm {d}}^{3}\mathbf {r},}$

plony

${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\textrm {EM}} = V \ epsilon _ {0} \ suma _ {\ mathbf {k}} \ suma _ {\ mu = 1, -1} \ omega \ mathbf {k} \left(a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu)}(t)+ {\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu)}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu)}(t)\right).}$

Kwantyzacja daje

${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\textrm {EM}} = \ suma _ {\ mathbf {k}, \ mu} \ hbar \ mathbf {k} \ lewo ({a ^ {\ sztylet}} ^ { (\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)=\sum _{\mathbf {k } ,\mu }\hbar \mathbf {k} N^{(\mu )}(\mathbf {k} ).}$

Termin 1/2 można pominąć, ponieważ gdy sumuje się dozwolone k , k anuluje się za pomocą - k . Wpływ P _EM na stan pojedynczego fotonu jest

${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\textrm {EM}} |\ mathbf {k}, \ mu \ rangle = \ mathbf {P} _ {\textrm {EM}} \ lewo ({a ^ {\ sztylet }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} \left({a^{\sztylet }}^{(\mu)}( \mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

Najwyraźniej stan pojedynczego fotonu jest stanem własnym operatora pędu, a ℏ k jest wartością własną (pędem pojedynczego fotonu).

Masa fotonu

₀₀ Foton posiadający niezerowy pęd liniowy, można sobie wyobrazić, że posiada on niezanikającą masę spoczynkową m , która jest jego masą przy prędkości zerowej. Jednak teraz pokażemy, że tak nie jest: m = 0.

Ponieważ foton rozchodzi się z prędkością światła , wymagana jest szczególna teoria względności . Relatywistyczne wyrażenia dotyczące kwadratu energii i pędu to:

${\ Displaystyle E ^ {2} = {\ Frac {m_ {0} ^ {2} c ^ {4}} 1-v ^ {2} / c ^ {2}}}, \ qquad p ^ {2 }={\frac {m_{0}^{2}v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Od p ² / E ² ,

${\ Displaystyle {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} = {\ Frac {c ^ {2} p ^ {2}} {E ^ {2}}} \ quad \ Longrightarrow \ quad E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-c^{2}p^{2}/E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}.}$

Używać

${\ Displaystyle E ^ {2} = \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} \ qquad {\ tekst {i }}\qquad p^{2}=\hbar ^{2}k^{2}={\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}$

i z tego wynika

${\ displaystyle m_ {0} ^ {2} c ^ {4} = E ^ {2} -c^{2}p^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}-c^{2}{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^ {2}}}=0,}$

₀ tak, że m = 0.

Wirowanie fotonu

Fotonowi można przypisać spin trypletowy o liczbie kwantowej spinu S = 1. Jest to podobne do, powiedzmy, spinu jądrowego izotopu 14 ^N , ale z tą istotną różnicą, że stan z M _S = 0 wynosi zero, tylko stany z M _S = ±1 są niezerowe.

Zdefiniuj operatory spinu:

${\ Displaystyle S_ {z} \ równoważnik -i \ hbar \ lewo (\ mathbf {e} _ {x} \ otimes \ mathbf {e} _ {y} - \ mathbf {e} _ {y} \ otimes \ mathbf {e} _{x}\right)\qquad {\hbox{i cyklicznie}}\quad x\do y\do z\do x.}$

Dwa operatory $iloczynami$ dwoma ortogonalnymi wektorami jednostkowymi są diadycznymi . Wektory jednostkowe są prostopadłe do kierunku propagacji k (kierunku osi z , która jest osią kwantyzacji spinu).

Operatory spinu spełniają zwykłe zależności komutacji momentu pędu

${\ Displaystyle [S_ {x}, S_ {y}] = ja \ hbar S_ {z} \ qquad {\ hbox {i cyklicznie}} \ quad x \ do y \ do z \ do x.}$

Rzeczywiście, użyj właściwości iloczynu diadycznego

${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {e} _ {y} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ prawo) \ lewo (\ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ { x}\right)=\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {e } _{z}\right)=\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}}$

ponieważ e _z ma długość jednostkową. W ten sposób,

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ lewo [S_ {x}, S_ {y} \ prawo] i = - \ hbar ^ {2} \ lewo (\ mathbf {e} _ {y} \ otimes \ mathbf { e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _ {x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\\&=\hbar ^{2}\left[-\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z }\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\left(\mathbf {e} _{z}\ otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\right]\\&=i\hbar \left[-i\hbar \left (\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\right]\\ &=i\hbar S_{z}\end{aligned}}}$

Z kontroli wynika, że

${\ Displaystyle -i \ hbar \ lewo (\ mathbf {e} _ {x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\cdot \mathbf {e} ^{(\mu )}=\mu \hbar \mathbf {e} ^{(\mu )},\qquad \mu =\pm 1,}$

i dlatego μ oznacza spin fotonu,

${\ Displaystyle S_ {z} | \ mathbf {k}, \ mu \ rangle = \ mu \ hbar |\ mathbf {k}, \ mu \ rangle, \ quad \ mu = \pm 1.}$

Ponieważ potencjał wektorowy A jest polem poprzecznym, foton nie ma składowej spinu do przodu (μ = 0).

Zobacz też

• Próżnia QED

Artykuł ten zawiera materiał z artykułu Citizendium „ Kwantyzacja pola elektromagnetycznego ”, który jest objęty licencją Creative Commons Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Unported License, ale nie GFDL .