Lemat o wyznacznikach macierzy

W matematyce , w szczególności ^w algebrze liniowej , lemat o wyznacznikach macierzy oblicza wyznacznik sumy odwracalnej macierzy A i iloczynu diadycznego   uv T wektora kolumnowego u i wektora wierszowego v ^T.

Oświadczenie

Załóżmy, że A jest odwracalną macierzą kwadratową , a u , v są wektorami kolumnowymi . Wtedy mówi o tym lemat o wyznaczniku macierzowym

${\ Displaystyle \ det \ lewo (\ mathbf {A} + \ mathbf {uv} ^ {\ textsf {T}} \ prawej) = \ lewo (1+ \ mathbf {v} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.}$

Tutaj uv ^T jest iloczynem zewnętrznym dwóch wektorów u i v .

Twierdzenie można również wyrazić za pomocą macierzy pomocniczej A :

${\ Displaystyle \ det \ lewo (\ mathbf {A} + \ mathbf {uv} ^ {\ tekstyf {T} }\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,}$

w takim przypadku ma zastosowanie to, czy macierz kwadratowa A jest odwracalna, czy nie.

Dowód

Najpierw dowód szczególnego przypadku A = I wynika z równości:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ mathbf {I} & 0 \\\ mathbf {v} ^ {\ textsf {T}} i 1 \ koniec {pmatrix}} {\ rozpocząć {pmatrix} \ mathbf {I} + \ mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\ textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u } \end{pmacierz}}.}$

Wyznacznik lewej strony jest iloczynem wyznaczników trzech macierzy. Ponieważ pierwsza i trzecia macierz to macierze trójkątne o jednostkowej przekątnej, ich wyznaczniki wynoszą tylko 1. Wyznacznikiem środkowej macierzy jest nasza pożądana wartość. Wyznacznikiem prawej strony jest po prostu (1 + v ^T u ). Mamy więc wynik:

${\ Displaystyle \ det \ lewo (\ mathbf {I} + \ mathbf {uv} ^ {\ textsf {T}} \ prawej) = \ lewo (1+ \ mathbf {v} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {u} \right).}$

Wtedy ogólny przypadek można znaleźć jako:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ det \ lewo (\ mathbf {A} + \ mathbf {uv} ^ {\ textsf {T}} \ prawej) & = \ det \ lewo (\ mathbf {A} \ prawo )\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\ \&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf { u} \right)\right).\end{aligned}}}$

Aplikacja

Jeśli wyznacznik i odwrotność A są już znane, wzór zapewnia numerycznie tani sposób obliczenia wyznacznika A skorygowanego o macierz uv ^T . Obliczenia są stosunkowo tanie, ponieważ wyznacznik A + uv ^T nie musi być obliczany od podstaw (co generalnie jest drogie). Używając wektorów jednostkowych dla u i/lub v , poszczególnych kolumn, wierszy lub elementów A można manipulować i stosunkowo tanio obliczyć odpowiednio zaktualizowany wyznacznik.

Gdy lemat wyznacznika macierzy jest używany w połączeniu ze wzorem Shermana – Morrisona , zarówno odwrotność, jak i wyznacznik mogą być wygodnie aktualizowane razem.

Uogólnienie

Załóżmy, że A jest odwracalną macierzą n -na- n , a U , V są macierzami n -na- m . Następnie

${\ Displaystyle \ det \ lewo (\ mathbf {A} + \ mathbf {UV} ^ {\ textsf {T}} \ prawej) = \ det \ lewo (\ mathbf {I_ {m}} + \ mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A}).}$

$tożsamość$ szczególnym przypadku to Aronszajna .

Mając dodatkowo odwracalną macierz m -x- m W , zależność można również wyrazić jako

${\ Displaystyle \ det \ lewo (\ mathbf {A} + \ mathbf {UWV} ^ {\ textsf {T}} \ prawej) = \ det \ lewo (\ mathbf {W} ^ {- 1} + \ mathbf { V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A } \Prawidłowy).}$

Zobacz też

• Shermana -Morrisona , która pokazuje, jak zaktualizować odwrotność A ⁻¹ , aby otrzymać ( A + uv ^T ) ⁻¹ .
• Formuła Woodbury'ego , która pokazuje, jak zaktualizować odwrotność A ⁻¹ , aby otrzymać ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .
• Dwumianowe twierdzenie odwrotne dla ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .