Lokalnie zwarta grupa kwantowa

W matematyce i fizyce teoretycznej lokalnie zwarta grupa kwantowa jest stosunkowo nowym C*-algebraicznym podejściem do grup kwantowych , które uogólnia algebrę Kaca , zwartą grupę kwantową i algebrę Hopfa . Wcześniejsze próby ujednolicenia definicji grup kwantowych przy użyciu na przykład multiplikatywnych unitarii odniosły pewien sukces, ale napotkały również kilka problemów technicznych.

Jedną z głównych cech odróżniających to nowe podejście od jego poprzedników jest aksjomatyczne istnienie lewych i prawych niezmiennych wag. Daje to nieprzemienny odpowiednik lewej i prawej miary Haara na lokalnie zwartej grupie Hausdorffa.

Definicje

Zanim zaczniemy poprawnie definiować lokalnie zwartą grupę kwantową, musimy najpierw zdefiniować szereg wstępnych pojęć, a także podać kilka twierdzeń.

Definicja (waga). Niech będzie $i$ * -algebrą niech oznacza zbiór pozytywnych elementów ${\ displaystyle A _ {\ geq$ of $A$ . A weight on $A$ is a function $\phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]$ such that

${\ Displaystyle \ phi (a_ {1} + a_ {2}) = \ phi (a_ {1}) + \ phi (a_ {2})}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2} \ w A_ {\ geq 0}}$ i
${\ Displaystyle \ phi (r \ cdot a) = r \ cdot \ phi (a)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle r \ w [0 , \ infty )}$ i ${\ Displaystyle a \ in A _ {\ geq 0}}$ .

Niektóre oznaczenia wag. Niech będzie ciężarem na C * -algebrze ${$ $displaystyle A}$ . Używamy następującej notacji:

$phi (a) <\ infty \}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ fi} ^ {+}: = \ {a \ w A_ {\ geq 0} \ mid$ $A}$ , który nazywa się zbiorem wszystkich dodatnich $displaystyle$ elementów ZA {\ .
$infty \}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ fi}: = \ {a \ w A \ mid \ phi (a ^ {*$ $,$ \ który jest nazywany zbiorem wszystkich $.$ elementów integrowalnych z
${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ phi}: = {\ tekst {Rozpiętość}} ~ {\ mathcal {M}} _ {\ phi } ^ {+} = {\ mathcal {N}} _ {\ phi} ^ {*} {\ mathcal {N}} _ {\ phi}} , który nazywa się zbiorem wszystkich ϕ {\ Displaystyle$ \ $}$ -integrowalne elementy ZA $\ displaystyle A}$ .

Rodzaje ciężarków. Niech będzie ciężarem na C * -algebrze ${$ $displaystyle A}$ .

Mówimy, że jest wierny wtedy i tylko wtedy, gdy $Displaystyle$ $\ phi (a) \ neq 0}$ dla każdego niezerowego $\ w A_ { \geq 0}}$ .
Mówimy, że jest $półciągły wtedy i tylko wtedy$ , gdy zbiór $\ leq \ lambda \}}$ ${\ Displaystyle \ {a \ w A_ {\ geq 0} \ mid$ $\ displaystyle$ podzbiorem dla każdego $A}$ .
Mówimy, że jest gęsto zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy $\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ phi} ^$ $+}}$ jest gęstym podzbiorem ${\ displaystyle A_ {\ geq 0}}$ lub równoważnie wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ phi}}$ lub ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ phi }}$ jest gęstym podzbiorem ${\ displaystyle A}$ .
Mówimy, że jest $,$ gdy jest niezerowy, niższy półciągły i gęsto zdefiniowany .

Definicja (grupa jednoparametrowa). Niech będzie $.$ * -algebrą Grupa jednoparametrowa na to rodzina $)$ $_ {t \ in \ mathbb {R}}}$ $α$ - automorfizmów spełniających ${\ Displaystyle \ alfa _ {s} \ circ \ alfa _ {t} = \ alfa _ {s + t}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle s, t \ in \ mathbb {R}}$ . Mówimy, że jest normą ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy $każdego$ zdefiniowanego odwzorowania $mathbb {R} \ na A$ $\$ } przez ${\ displaystyle t \ mapsto {\ alfa _ {t}} (a)}$ jest ciągły (z pewnością należy to nazwać silnie ciągłym?).

Definicja (analityczne rozszerzenie grupy jednoparametrowej). Biorąc pod uwagę ciągłą w ${\ displaystyle \ alpha$ jednoparametrową grupę na C * -algebrze $zdefiniujemy$ analityczne rozszerzenie α $}$ dla każdego niech ${\ Displaystyle Z \ in \ mathbb {C}$ }

{\ Displaystyle I (z): = \ {y \ in \ mathbb {C} \ mid |\ Im (y) |\ równoważnik |\ Im (z) |\}

}

który jest poziomym paskiem w płaszczyźnie zespolonej. Funkcję nazywamy normą regularną wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: ${\ displaystyle f: I (z) \ do A}$

Jest analityczny we wnętrzu ${\ Displaystyle I (z)}$ $)}$ tj. Dla każdego $z$ wnętrzu z granica ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lim _ {y \ do y_ {0}} {\ Frac {f (y) -f (y_$ istnieje w odniesieniu do topologii norm na ${\ displaystyle A}$ .
Jest ograniczony normą na ${\ Displaystyle I (z)}$ .
Jest normą ciągłą na ${\ Displaystyle I (z)}$ .

Załóżmy teraz, że i niech ${\ Displaystyle Z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle D_ {z}: = \ {a \ w A \ mid {\ tekst {Istnieje norma regularna}} ~ f: I (z) \ do A ~ {\ tekst {taki, że}} ~ f (t)={\alpha _{t}}(a)~{\text{dla wszystkich}}~t\in \mathbb {R} \}.}

Zdefiniuj ${\ Displaystyle \ alpha _ {z}: D_ {z} \ do A}$ przez ${\ Displaystyle {\ alpha _ {z}} ( a):=f(z)}$ . Funkcja $jest$ (przez teorię zespolonych funkcji analitycznych), więc $rzeczywiście$ dobrze Rodzina ${\ displaystyle (\ alpha _ {z}) _ {z \ in \ mathbb {C}}}$ jest wtedy nazywany analitycznym rozszerzeniem ${\ displaystyle \ alpha}$ .

Twierdzenie 1. Zbiór , zwany zbiorem elementów analitycznych , jest gęsty ${C}} D_ {z}}$ $mathbb$ podzbiór ZA $\ Displaystyle A}$ .

Definicja (waga KMS). Niech ${\ Displaystyle A}$ będzie C * -algebrą i ${\ Displaystyle \ phi: A_ {\ geq 0} \ do [0, \ infty ]}$ ciężar na ZA {\ displaystyle $} styl wyświetlania A}$ . Mówimy, że $”$ waga KMS („KMS oznacza „Kubo-Martin-Schwinger”) na ${\ Displaystyle A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ phi}$ jest właściwą wagą na i istnieje ciągła w $t$ jednoparametrowa grupa ${\ Displaystyle (\ sigma _ {t}) _ {t \ w \ mathbb {R$ na takie, że ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ phi}$ jest niezmiennikiem pod ${\ Displaystyle \ sigma}$ , tj. ${\ Displaystyle \ phi \ circ \ sigma _ {t} = \ phi}$ dla wszystkich ${\ styl wyświetlania t\in \mathbb {R}}$ i
dla każdego $a \ w {\ tekst {Dom}} (\ sigma _ {i/2$ ϕ ${\ Displaystyle \ phi (a ^ {*} a) = \ phi (\ sigma _ {i/2} (a) [\ sigma _ {i / 2}(a)]^{*})}$ .

Oznaczamy przez algebrę mnożnika $(A)$ $}$ .

Twierdzenie 2. Jeśli i są $\$ * -algebrami i π $pi: A \ do M (B)}$ $\ Displaystyle$ jest * -homomorfizm (tj. $ZA ] b$ gęstym podzbiorem ${\ displaystyle B}$ ), wtedy możemy jednoznacznie rozszerzyć na * - $\ Displaystyle \ pi [A]$ homomorfizm ${\ Displaystyle {\ overline {\ pi}}: M (A) \ do M (B)}$ .

Twierdzenie 3. $\$ jest $($ tj. dodatnim funkcjonałem liniowym normy ZA $}$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $Displaystyle \ omega} na ω$ ω { na ${\ Displaystyle M (A)}$ .

Definicja (lokalnie zwarta grupa kwantowa). (C * -algebraiczna) lokalnie zwarta grupa kwantowa jest uporządkowaną parą , gdzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} = (A, \ Delta$ $)$ C * -algebra i ${\ Displaystyle \ Delta: A \ do M (A \ otimes A)}$ jest niezdegenerowanym * -homomorfizmem zwanym współmnożeniem , który spełnia następujące cztery warunki:

Δ ${\ Displaystyle {\ overline {\ Delta \ otimes \ jota}} \ circ \ Delta = {\ overline {\$ .
Zbiory ${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ overline {\ omega \ otimes {\ text {id}}}} (\ Delta (a)) ~ {\ duży |} ~ \ omega \ w A^{*},~a\w A\right\}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ overline {{\ text {id}} \ otimes \ omega}} (\ Delta (a)) ~ {\ duży |} ~ \ omega \ w A ^ {*}, ~ a \ in A \ right \}}$ są liniowo gęstymi podzbiorami ${\ displaystyle A}$ .
Istnieje wierna waga KMS $,$ z $)$ strony, tj ${\ Displaystyle \ phi \! \ lewo ({\ overline {\ omega \ otimes {\ text {id}}}} (\ Delta (a)) \ right) = {\ overline {\ omega}} (1_ {M (A$ $M} }_{\fi}^{+}}$ ${$ $\$ Displaystyle \ .
Istnieje waga KMS $,$ ${\ Displaystyle \ psi \! \ lewo ({\ overline {{\ tekst {id}} \ otimes \ omega}} (\ Delta (a)} \ prawej) = {\ overline {\ omega} }(1_{M(A)})\cdot \psi (a)}$ $niezmienna$ w , tj. ω $Displaystyle \ omega \ w A ^ {*}}$ ${\ Displaystyle a \ in {\ mathcal {M}} _ {\ phi} ^ {+}}$ i .

Z definicji lokalnie zwartej grupy kwantowej można wykazać, że niezmienna w prawo waga KMS $automatycznie$ wierna. Dlatego wierność $zbędnym$ nie wymaga postulowania.

Dwoistość

Kategoria lokalnie zwartych grup kwantowych pozwala na konstrukcję dualną, za pomocą której można udowodnić, że bi-dualizm lokalnie zwartej grupy kwantowej jest izomorficzny z pierwotną. Wynik ten daje daleko idące uogólnienie dualności Pontriagina dla lokalnie zwartych grup abelowych Hausdorffa.

Alternatywne preparaty

Teoria ma równoważne sformułowanie w postaci algebr von Neumanna .

Zobacz też

Johana Kustermansa i Stefana Vaesa. „ Lokalnie zwarte grupy kwantowe ”. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Tom. 33, nr 6 (2000), s. 837-934.
Tomasza Timmermanna. „Zaproszenie do grup kwantowych i dwoistości - od algebr Hopfa do multiplikatywnych jednostek i nie tylko”. Podręczniki EMS w matematyce, Europejskie Towarzystwo Matematyczne (2008).