Mapowanie wielomianowe

W algebrze mapa wielomianowa lub mapowanie wielomianowe między przestrzeniami wektorowymi na nieskończonym polu k jest wielomianem w funkcjonałach liniowych o współczynnikach w k ; ${\ Displaystyle P: V \ do W}$ tzn. można to zapisać jako

${\ Displaystyle P (v) = \ suma _ {i_ {1} ,\kropki ,i_{n}}\lambda _{i_{1}}(v)\cdots \lambda _{i_{n}}(v)w_{i_{1},\kropki ,i_{n}} }$

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {i_ {j}}: V \ to k}$ są funkcjonałami liniowymi i ${\ Displaystyle w_ {i_ {1}, \dots ,i_{n}}}$ to wektory w W . przykład, jeśli , $odwzorowanie$ można wyrazić ${\ Displaystyle P (v) = (P_ {1} (v), \ kropki, P_ {m} (v)}}$ gdzie ${\ Displaystyle P_ {i }}$ to (o wartościach skalarnych) funkcje wielomianowe na V . (Abstrakcyjna definicja ma tę zaletę, że mapa jest wyraźnie wolna od wyboru podstawy.)

Kiedy V , W są skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi i są postrzegane jako rozmaitości algebraiczne , to odwzorowanie wielomianowe jest właśnie morfizmem rozmaitości algebraicznych .

Jednym z fundamentalnych nierozstrzygniętych pytań dotyczących odwzorowań wielomianowych jest hipoteza Jakobiana , która dotyczy tego, czy odwzorowanie wielomianowe jest wystarczające, aby było odwracalne.

Zobacz też

• Funktor wielomianu

•   Claudio Procesi (2007) Lie Groups: podejście poprzez niezmienniki i reprezentację , Springer, ISBN 9780387260402 .