Kiedy fala elektromagnetyczna przechodzi przez ośrodek, w którym ulega osłabieniu (nazywa się to ośrodkiem „ nieprzezroczystym ” lub „ tłumiącym ”), ulega rozkładowi wykładniczemu , zgodnie z prawem Beera-Lamberta . Istnieje jednak wiele możliwych sposobów scharakteryzowania fali i tego, jak szybko jest tłumiona. W tym artykule opisano zależności matematyczne między:
Należy zauważyć, że w wielu z tych przypadków istnieje wiele sprzecznych definicji i konwencji w powszechnym użyciu. Ten artykuł niekoniecznie jest wyczerpujący ani uniwersalny.
Tło: nieosłonięta fala
Opis
Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w kierunku + z jest konwencjonalnie opisana równaniem:
mi
( z , t ) = Re
[
mi
0
mi
ja ( k z - ω t )
]
,
{\ Displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \ lewo [\ mathbf {E} _ {0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}
Gdzie
Długość fali jest z definicji
λ =
2 π
k
.
{\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {2 \ pi} {k}}.}
Dla danej częstotliwości długość fali fali elektromagnetycznej zależy od materiału, w którym się ona rozchodzi. Długość
próżni (długość fali, jaką miałaby fala o tej częstotliwości, gdyby rozchodziła się w próżni) wynosi
λ
0
=
2 π
do
ω
,
{\ Displaystyle \ lambda _ {0} = {\ Frac {2 \ pi \ operatorname {c}} {\ omega}}}
gdzie c jest
prędkością światła w próżni.
W przypadku braku tłumienia współczynnik załamania (zwany także współczynnikiem załamania ) jest stosunkiem tych dwóch długości fal, tj.
n =
λ
0
λ
=
do
k
ω
.
{\ Displaystyle n = {\ Frac {\ lambda _ {0}} {\ lambda}} = {\ Frac {\ operatorname {c} k} {\ omega}}.}
Intensywność fali jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy, uśrednionej w czasie dla wielu oscylacji fali, co wynosi
:
ja ( z ) ∝
|
mi
0
mi
ja ( k z - ω t )
|
2
=
|
E
0
|
2
.
{\ Displaystyle I (z) \ propto \ lewo | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ prawo | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0 }|^{2}.}
0 Zauważ, że ta intensywność jest niezależna od położenia z , co jest znakiem, że ta fala nie osłabia się wraz z odległością. Definiujemy I jako równe tej stałej intensywności:
ja ( z ) =
ja
0
∝
|
E
0
|
2
.
{\ Displaystyle I (z) = I_ {0} \ propto | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2}.}
Złożona niejednoznaczność sprzężona
Ponieważ
Re
[
mi mi
0
ja
( k z - ω t ) ]
=
Re [
mi
0
∗
mi
-
ja ( k z - ω t ) ]
,
{
\ Displaystyle \ nazwa operatora {Re} \ lewo [\ mathbf {E} _ { 0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t )}\Prawidłowy]\!,}
oba wyrażenia mogą być używane zamiennie. Ogólnie rzecz biorąc, fizycy i chemicy stosują konwencję po lewej stronie (z
e − iωt ), podczas gdy inżynierowie elektrycy stosują konwencję po prawej stronie (z
e + iωt , na przykład patrz
impedancja elektryczna ). To rozróżnienie nie ma znaczenia dla fali nietłumionej, ale staje się istotne w niektórych przypadkach poniżej. Na przykład istnieją dwie definicje
złożonego współczynnika załamania światła , jeden z dodatnią częścią urojoną i jeden z ujemną częścią urojoną, wywodzący się z dwóch różnych konwencji. Te dwie definicje są
złożonymi koniugatami .
Współczynnik tłumienia
Jednym ze sposobów uwzględnienia tłumienia w matematycznym opisie fali jest zastosowanie współczynnika tłumienia
mi
( z , t ) =
mi
- α z
/
2
Re
[
mi
0
mi
ja ( k z - ω t )
]
,
{\ Displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = e ^ {- \ alfa z/2 }\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}
gdzie
α jest współczynnikiem tłumienia.
Wtedy intensywność fali spełnia:
ja ( z ) ∝
|
mi
- α z
/
2
mi
0
mi
ja ( k z - ω t )
|
2
=
|
E
0
|
2
mi
- α z
,
{\ Displaystyle I (z) \ propto \ lewo | e ^ {- \ alfa z / 2} \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ prawo|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},}
tj
ja ( z ) =
ja
0
mi
- α z
.
{\ Displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- \ alfa z}.}
Z kolei współczynnik tłumienia jest po prostu powiązany z kilkoma innymi wielkościami:
współczynnik absorpcji jest zasadniczo (choć nie zawsze) równoznaczny ze współczynnikiem tłumienia; szczegóły patrz współczynnik tłumienia ;
molowy współczynnik absorpcji lub molowy współczynnik ekstynkcji , zwany także molową absorpcją , to współczynnik tłumienia podzielony przez molarność (i zwykle pomnożony przez ln(10), tj. dziesiętny); szczegółowe informacje można znaleźć w prawie Beera-Lamberta i absorpcji molowej ;
współczynnik tłumienia masy , zwany także współczynnikiem tłumienia masy , to współczynnik tłumienia podzielony przez gęstość; szczegóły patrz współczynnik tłumienia masy ;
przekrój poprzeczny absorpcji i przekrój poprzeczny rozpraszania są ilościowo powiązane ze współczynnikiem tłumienia; patrz przekrój poprzeczny absorpcji i przekrój poprzeczny rozpraszania, aby uzyskać szczegółowe informacje;
Współczynnik tłumienia jest czasem nazywany nieprzezroczystością ; patrz krycie (optyka) .
Głębokość penetracji i głębokość skóry
Głębokość penetracji
Bardzo podobne podejście wykorzystuje głębokość penetracji
mi
( z , t )
=
mi
- z
/
( 2
δ
p mi n
)
Re
[
mi
0
mi
ja ( k z - ω t )
]
,
ja ( z )
=
ja
0
mi
- z
/
δ
p mi n
,
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {E} (z, t) & = e ^ {- z / (2 \ delta _ {\ operatorname {pióro}})} \ operatorname {Re} \! \ lewo [\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-z/\delta _{ \mathrm {pióro} }},\end{wyrównane}}}
gdzie
δ pen to głębokość penetracji.
Głębokość skóry
Głębokość skóry
mi
( z , t )
=
mi
- z
/
δ
s k ja n
Re
[
mi
0
mi
ja ( k z - ω t )
]
,
ja ( z )
=
ja
0
mi
- 2 z
/
δ
s k ja n
,
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {E} (z, t) & = e ^ {- z / \ delta _ {\ operatorname {skóra}}} \ operatorname {Re} \! \ lewo [\ mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm { skóra} }},\end{wyrównane}}}
gdzie
δ skóra jest głębokością skóry.
Fizycznie głębokość penetracji to odległość, jaką może pokonać fala, zanim jej intensywność zmniejszy się o czynnik 1/ e ≈ 0,37 . Głębokość skóry to odległość, jaką może pokonać fala, zanim jej amplituda zmniejszy się o ten sam współczynnik.
Współczynnik absorpcji jest powiązany z głębokością penetracji i głębokością skóry przez
α = 1
/
δ
p mi n
= 2
/
δ
s k ja n
.
{\ Displaystyle \ alfa = 1/\ delta _ {\ operatorname {pióro}} = 2/\ delta _ {\ operatorname {skóra}}.}
Zespolona kątowa liczba falowa i stała propagacji
Złożona kątowa liczba falowa
Innym sposobem uwzględnienia tłumienia jest użycie złożonej kątowej liczby falowej
mi
( z , t ) = Re
[
mi
0
ja
E
(
k _
z - ω t )
]
,
{\ Displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ lewo [\ mathbf { } _{0}e^{i({\podkreślenie {k}}z-\omega t)}\right]\!,}
gdzie
k jest zespoloną kątową liczbą falową.
Wtedy intensywność fali spełnia:
ja ( z ) ∝
|
mi
0
mi
ja (
k _
z - ω t )
|
2
=
|
E
0
|
2
mi
- 2 Im (
k _
) z
,
{\ Displaystyle I (z) \ propto \ lewo | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i ({\ podkreślenie {k}} z- \ omega t )}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\podkreślenie {k}})z},}
tj
ja ( z ) =
ja
- 2 Im (
k _
) z
mi
0
.
{\ Displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ operatorname {im} ({\ podkreślenie {k}}) z}.}
Dlatego porównując to z podejściem opartym na współczynniku absorpcji,
Re (
k _
)
= k ,
Im (
k _
)
= α
/
2.
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {Re} ({\ podkreślenie {k}}) & = k, \\\ nazwa_operatora {Im} ({\podkreślenie {k}})&=\alpha /2.\end{wyrównane}}}
Zgodnie z powyższym dwuznacznością , niektórzy autorzy używają złożonej definicji koniugatu :
Re (
k _
)
= k ,
Im (
k _
)
= - α
/
2.
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {Re} ({\ podkreślenie {k}}) & = k, \\ \operatorname {im} ({\podkreślenie {k}})&=-\alpha /2.\end{wyrównane}}}
Stała propagacji
Ściśle pokrewne podejście, szczególnie powszechne w teorii linii przesyłowych , wykorzystuje stałą propagacji
mi
( z , t ) = Re
[
mi
0
-
_
z + ja ω t
γ
]
,
{\ Displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ lewo [\ mathbf {E} {0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\!,}
gdzie
γ jest stałą propagacji.
Wtedy intensywność fali spełnia:
ja ( z ) ∝
|
mi
0
mi
- γ z + ja ω t
|
2
=
|
E
0
|
2
mi
- 2 Re ( γ ) z
,
{\ Displaystyle I (z) \ propto \ lewo | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {- \ gamma z + i \ omega t} \ prawo | ^ { 2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},}
tj
ja ( z ) =
ja
- 2 Re ( γ ) z
mi
0
.
{\ Displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ nazwa operatora {Re} (\ gamma) z}.}
Porównując te dwa równania, stała propagacji i zespolona kątowa liczba falowa są powiązane przez:
γ = ja
k _
∗
,
{\ Displaystyle \ gamma = i {\ podkreślenie {k}} ^ {*},}
gdzie * oznacza złożoną koniugację.
Re ( γ ) = Im (
k _
) = α
/
2.
{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (\ gamma) = \ operatorname {Im} ({\ podkreślenie {k}}) = \ alfa / 2. }
Wielkość ta jest również nazywana
stałą tłumienia , czasami oznaczaną jako
α .
ja ( γ ) = Re (
k _
) = k .
{\ Displaystyle \ nazwa operatora {jestem} (\ gamma) = \ nazwa operatora {Re} ({\ podkreślenie {k}}) = k.}
Wielkość ta jest również nazywana
stałą fazową , czasami oznaczaną jako
β .
Niestety notacja nie zawsze jest spójna. Na przykład
zamienia część
stałą
γ , która rzeczywistą i urojoną.
Złożony współczynnik załamania światła
Przypomnijmy, że w ośrodkach nietłumiących współczynnik załamania światła i kątowa liczba falowa są powiązane przez:
n =
do
v
=
do
k
ω
,
{\ Displaystyle n = {\ Frac {\ operatorname {c}} {v}} = {\ Frac {\ operatorname {c} k} {\ omega}}}
Gdzie
n jest współczynnikiem załamania światła ośrodka;
c to prędkość światła w próżni;
v to prędkość światła w ośrodku.
Złożony współczynnik załamania światła można zatem zdefiniować za pomocą złożonej kątowej liczby falowej określonej powyżej:
n _
=
do
k _
ω
.
{\ Displaystyle {\ podkreślenie {n}} = {\ Frac {\ operatorname {c} {\ podkreślenie {k}}} {\ omega}}.}
gdzie
n jest współczynnikiem załamania światła ośrodka.
Innymi słowy, do zaspokojenia wymagana jest fala
mi
( z , t ) = Re
[
mi
0
mi
ja ω (
n _
z
/
do
- t )
]
.
{\ Displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ nazwa operatora {Re} \! \ lewo [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i \ omega ({\ podkreślenie {n}} z / \ argumentacja {c} -t)}\right]\!.}
Wtedy intensywność fali spełnia:
ja ( z ) ∝
|
mi
0
mi
ja ω (
n _
z
/
do
- t )
|
2
=
|
E
0
|
2
mi
- 2 ω Im (
n _
) z
/
do
,
{\ Displaystyle I (z) \ propto \ lewo | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i \ omega ({\ podkreślenie {n}} z / \ operatorname {c} -t)} \ prawo | ^ {2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\podkreślenie {n}})z/\mathrm {c} },}
tj
ja ( z ) =
ja
- 2 ω Im (
n _
) z
/
do
mi
0
.
{\ Displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ omega \ nazwa operatora {im} ({\ podkreślenie {n}}) z / \ operatorname {c}}.}
W porównaniu z poprzednią sekcją mamy
Re (
n _
) =
do
k
ω
.
{\ Displaystyle \ operatorname {Re} ({\ podkreślenie {n}}) = {\ Frac {\ operatorname {c} k} {\ omega}}.}
Ta wielkość jest często (niejednoznacznie) nazywana po prostu
współczynnikiem załamania światła .
ja (
n _
) =
do
α
2 ω
=
λ
0
α
4 π
.
{\ Displaystyle \ operatorname {Im} ({\ podkreślenie {n}}) = {\ Frac {\ operatorname {c} \ alfa} {2 \ omega}} = {\ Frac {\ lambda _ {0} \ alfa} {4\pi}}.}
Ta wielkość nazywana jest
współczynnikiem ekstynkcji i oznaczana
κ .
Zgodnie z niejasnością odnotowaną powyżej , niektórzy autorzy stosują złożoną definicję koniugatu, w której (nadal dodatni) współczynnik ekstynkcji jest minus część urojona
n _
{\ displaystyle {\ podkreślenie {n}}}
Złożona przenikalność elektryczna
W ośrodkach nietłumiących przenikalność elektryczna i współczynnik załamania są powiązane przez:
n =
do
μ ε
(SI)
, n =
μ ε
(cgs)
,
{\ Displaystyle n = \ operatorname {c} {\ sqrt {\ mu \ varepsilon}} \ quad {\ tekst {(SI)}} \ qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon}}\quad {\text{(cgs)}},}
Gdzie
W ośrodkach tłumiących stosuje się tę samą zależność, ale przepuszczalność może być liczbą zespoloną, zwaną zespoloną przenikalnością elektryczną
n _
=
do
μ
ε _
(SI)
,
n _
=
μ
ε _
(cgs)
,
{\ Displaystyle {\ podkreślenie {n}} = \ operatorname {c} {\ sqrt {\ mu {\ podkreślenie {\ varepsilon} }}} \ quad {\ tekst {(SI)}}, \ qquad {\ podkreślenie {n}} = {\ sqrt {\ mu {\ podkreślenie {\ varepsilon }}}} \ quad {\ tekst {(cgs) }},}
gdzie
ε jest zespoloną przenikalnością elektryczną ośrodka.
Podniesienie obu stron do kwadratu i wykorzystanie wyników z poprzedniej sekcji daje:
Re (
ε _
)
=
do
2
ε
0
ω
2
μ
/
μ
0
(
k
2
-
α
2
4
)
(SI)
,
Re (
ε _
)
=
do
2
ω
2
μ
(
k
2
-
α
2
4
)
(cgs)
,
Im (
ε _
)
=
do
2
ε
0
ω
2
μ
/
μ
0
k α
(SI)
,
Im (
ε _
)
=
do
2
ω
2
μ
k α
(cgs)
.
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {Re} ({\ podkreślenie {\ varepsilon}}) & = {\ Frac {\ operatorname {c} ^ {2} \ varepsilon _ {0}} {\ omega ^ {2}\mu /\mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{( SI)}},\quad &\operatorname {Re} ({\podkreślenie {\varepsilon}})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu}} \!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},\\\operatorname {Im} ({ \underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}k\ alpha \quad {\text{(SI)}},&\operatorname {Im} ({\podkreślenie {\varepsilon}})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{ 2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.\end{wyrównane}}}
Przewodność AC
Innym sposobem uwzględnienia tłumienia jest przewodnictwo elektryczne, jak następuje.
Jednym z równań rządzących propagacją fal elektromagnetycznych jest prawo Maxwella-Ampere'a :
∇ ×
H
=
jot
fa
+
re
re
re
t
(SI)
, ∇ ×
H.
=
4 π
do
jot
fa
+
1
do
re re
t
re
(
cgs)
,
{\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {H} = \ mathbf {J_{f}} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \ mathbf {H} = {\frac {4\pi}}{\mathrm {c}}}\mathbf {J_{f}} +{\frac {1}{\mathrm {c}}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}
gdzie
jest
_
polem
przemieszczenia .
Podłączanie prawa Ohma i definicji (rzeczywistej) przenikalności
∇ ×
H.
= σ
mi
+ ε
re
mi
re
t
(SI)
, ∇ ×
H.
=
4 π σ
do
mi
+
ε
do
re
mi
re
t
(cgs)
,
{\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {H} = \ sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \ razy \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma}}{\mathrm {c}}}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon}}{\mathrm {c}}}{\frac { \mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}
gdzie
σ jest (rzeczywistą, ale zależną od częstotliwości) przewodnością elektryczną, zwaną
przewodnością AC .
Przy sinusoidalnej zależności czasowej od wszystkich wielkości, tj
H.
= Re
[
H.
0
mi
- ja ω t
]
,
mi
= Re
[
mi
0
mi
- ja ω t
]
,
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {H} & = \ operatorname {Re} \! \ lewo [ \mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\\\mathbf {E} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{ 0}e^{-i\omega t}\right]\!,\end{wyrównane}}}
wynik to
∇ ×
H.
0
= - ja ω
mi
0
(
ε + ja
σ ω
)
(SI)
, ∇ ×
H.
0
=
- ja ω
do
mi
0
(
ε + ja
4 π σ
ω
)
(cgs)
.
{\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {H} _ {0} = -i \ omega \ mathbf {E} _ {0} \! \ lewo (\ varepsilon + i {\ Frac {\ sigma}} {\ omega} }\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega}}{\mathrm {c} }}\ mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma}}{\omega}}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}
Gdyby prąd
elektryczną
nie
.
ε _
= ε + ja
σ ω
(SI)
,
ε _
= ε + ja
4 π σ
ω
(cgs)
.
{\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ varepsilon}} = \ varepsilon + i {\ Frac {\ sigma}} {\ omega}} \ quad {\ tekst {(SI)}}, \ qquad {\ podkreślenie {\ varepsilon}} =\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma}}}}\quad {\text{(cgs)}}.}
W porównaniu z poprzednią sekcją przewodność AC jest zadowalająca
σ =
k α
ω μ
(SI)
, σ =
k α
do
2
4 π ω μ
(cgs)
.
{\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {k \ alfa} {\ omega \ mu}} \ quad {\ tekst {(SI)}}, \ qquad \ sigma = {\ Frac {k \ alfa \ operatorname {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.}
Notatki
![{\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c40ff4bb31c825e766c7046c56af5a43d36b64f)
![{\displaystyle \operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311050b2139761db1b858c2515f8b717ec26cd43)
![{\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6e4bb7078f903dc7f135817782daf532761b0d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen} })}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm {pen} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6da4531280edbc78e66bb17a73af87e5b8b60b0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {skin} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2889aee901a6c7180186af10fd27ece9f5e66574)
![{\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right]\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1fee6395df7607c070d9a312a969f580d762e4)
![{\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651d506115d819b9d0f4c21e95c84ef7d95e46a6)
![{\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right]\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58ac80d03f75a906586ce7e05f4acc74f0b8e96)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\\\mathbf {E} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efc96f1f456c35f68ab6e9f27ed73d60df73176)
