Stała propagacji

Stała propagacji sinusoidalnej fali elektromagnetycznej jest miarą zmiany, jakim ulega amplituda i faza fali rozchodzącej się w danym kierunku. Mierzoną wielkością może być napięcie , prąd w obwodzie lub wektor pola, taki jak natężenie pola elektrycznego lub gęstość strumienia . Sama stała propagacji mierzy zmianę na jednostkę długości , ale poza tym jest bezwymiarowy. W kontekście sieci dwuportowych i ich kaskad stała propagacji mierzy zmianę, jakiej podlega wielkość źródłowa podczas propagacji z jednego portu do drugiego.

Wartość stałej propagacji wyraża się logarytmicznie , prawie powszechnie, do podstawy e , a nie do bardziej typowej podstawy 10, która jest używana w telekomunikacji w innych sytuacjach. Zmierzoną wielkość, np. napięcie, wyraża się jako wskazówkę sinusoidalną . Faza sinusoidy zmienia się wraz z odległością, co powoduje, że stała propagacji jest liczbą zespoloną , a część urojona jest spowodowana zmianą fazy.

Alternatywne nazwy

Określenie „stała propagacji” jest nieco mylące, ponieważ zwykle zmienia się silnie wraz z ω . Jest to prawdopodobnie najczęściej używany termin, ale różni autorzy używają wielu alternatywnych nazw dla tej wielkości. Należą do nich parametr transmisji , funkcja transmisji , parametr propagacji , współczynnik propagacji i stała transmisji . Jeśli użyta zostanie liczba mnoga, sugeruje to, że α i β są wymieniane osobno, ale łącznie, jak w parametry transmisji , parametry propagacji itp. W teorii linii przesyłowej α i β zalicza się do „współczynników wtórnych”, przy czym termin „ wtórny ” jest używany w przeciwieństwie do współczynników linii pierwotnej . Współczynniki pierwotne to właściwości fizyczne linii, a mianowicie R, C, L i G, z których można wyprowadzić współczynniki wtórne, korzystając z równania telegrafisty . Należy pamiętać, że w dziedzinie linii przesyłowych termin współczynnik transmisji ma inne znaczenie pomimo podobieństwa nazwy: jest towarzyszem współczynnika odbicia .

Definicja

Stała propagacji, symbol $γ$ , dla danego układu jest określona przez stosunek zespolonej amplitudy u źródła fali do zespolonej amplitudy w pewnej odległości $x$ , tak że:

{\ Displaystyle {\ Frac {A_ {0}} {A_ {x}}} = e ^ {\ gamma x}}

Ponieważ stała propagacji jest wielkością zespoloną, możemy napisać:

{\ Displaystyle \ gamma = \ alfa + i \ beta \}

Gdzie

Część rzeczywista $α nazywana jest$ stałą tłumienia
Część urojona $β nazywana jest$ stałą fazową
$j$ częściej $jest$ używane w obwodach elektrycznych.

To, że $β$ rzeczywiście reprezentuje fazę, można zobaczyć ze wzoru Eulera :

{\ Displaystyle e ^ {i \ theta} = \ cos {\ teta} + ja \ grzech {\ teta} \}

która jest sinusoidą, która zmienia się w fazie, gdy $θ$ zmienia się, ale nie zmienia się w amplitudzie, ponieważ

{\ Displaystyle \ lewo | e ^ {i \ theta} \ prawo | = {\ sqrt {\ cos ^ {2} {\ teta} + \ grzech ^ {2} {\theta}\;}}=1}

Powód użycia podstawy $e$ jest teraz również jasny. Urojoną stałą fazową $iβ$ można dodać bezpośrednio do stałej tłumienia $α$ w celu utworzenia pojedynczej liczby zespolonej, którą można obsłużyć w jednej operacji matematycznej, pod warunkiem, że mają tę samą podstawę. Kąty mierzone w radianach wymagają podstawy $e$ , więc tłumienie jest również o podstawie $e$ .

Stałą propagacji dla linii przewodzących można obliczyć ze współczynników linii pierwotnej za pomocą zależności

{\ Displaystyle \ gamma = {\ sqrt {ZY \ }}}

Gdzie

{\ Displaystyle Z = R + i \ \ omega L \,}

impedancja szeregowa linii na jednostkę długości i

{\ displaystyle Y = G + i \ \omega C\ ,}

dopuszczalność bocznika linii na jednostkę długości.

Fala płaska

Współczynnik propagacji fali płaskiej przemieszczającej się w ośrodku liniowym w kierunku $x$ jest określony przez

{\ Displaystyle P = e ^ {- \ gamma x}}

Gdzie

${\ Textstyle \ gamma = \ alfa + i \ \ beta = {\ sqrt {i \ \ omega \ \ mu \ (\ sigma + i \ \ omega \varepsilon )\ }}\ }$
${\ displaystyle x =}$ odległość przebyta w kierunku $x$
${\ displaystyle \ alfa = \}$ stała tłumienia w jednostkach neperów / metr
$fazowa$ jednostkach radianów / metr
częstotliwość w radianach na sekundę. ${\ displaystyle \ omega = \}$
przewodność ośrodka. ${\ displaystyle \ sigma = \}$
${\ Displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon '-i \ \ varepsilon ''\ }$ = złożona przenikalność ośrodka
${\ Displaystyle \ mu = \ mu '-i \ \ mu '' \;}$ = złożona przepuszczalność ośrodka
${\ Displaystyle ja \ równoważnik {\ sqrt {-1 \}}}$

Konwencja znaków została wybrana ze względu na spójność z propagacją w mediach stratnych. Jeżeli stała tłumienia jest dodatnia, wówczas amplituda fali maleje wraz z jej propagacją w $x$ .

Długość fali , prędkość fazowa i głębokość skóry mają proste zależności ze składowymi stałej propagacji:

{\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {2 \ pi} {\ beta}} \ qquad v_ {p} = {\ Frac {\ omega } {\ beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alfa }}}

Stała tłumienia

W telekomunikacji termin stała tłumienia , zwana także parametrem tłumienia lub współczynnikiem tłumienia , oznacza tłumienie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w ośrodku na jednostkę odległości od źródła. Jest to rzeczywista część stałej propagacji, mierzona w neperach na metr. Neper wynosi około 8,7 dB . Stałą tłumienia można określić poprzez stosunek amplitudy

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {A_ {0}} {A_ {x}}} \ prawo | = e ^ {\ alfa x}}

Stałą propagacji na jednostkę długości definiuje się jako logarytm naturalny stosunku prądu lub napięcia końca wysyłającego do końcowego prądu lub napięcia odbierającego.

Linie przewodzące

Stałą tłumienia dla linii przewodzących można obliczyć na podstawie współczynników linii pierwotnej, jak pokazano powyżej. Dla linii spełniającej warunek bez zniekształceń , z przewodnością G w izolatorze, stałą tłumienia wyraża się wzorem

{\ Displaystyle \ alfa = {\ sqrt {RG}} \, \!}

jednakże jest mało prawdopodobne, aby rzeczywista linia spełniała ten warunek bez dodania cewek obciążających , a ponadto istnieją pewne efekty zależne od częstotliwości działające na „stałe” pierwotne, które powodują zależność strat od częstotliwości. Istnieją dwa główne składniki tych strat, utrata metalu i strata dielektryczna.

Straty w większości linii przesyłowych są zdominowane przez straty w metalu, które powodują zależność częstotliwości ze względu na skończoną przewodność metali oraz efekt naskórkowania wewnątrz przewodnika. Efekt naskórkowości powoduje, że R wzdłuż przewodnika jest w przybliżeniu zależne od częstotliwości zgodnie z

{\ Displaystyle R \ propto {\ sqrt {\ omega}}}

Straty w dielektryku zależą od tangensa strat (tg δ ) materiału podzielonego przez długość fali sygnału. Zatem są one wprost proporcjonalne do częstotliwości.

{\ Displaystyle \ alfa _ {d} = {{\ pi} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r}}} \ ponad {\ lambda}} {\ tan \ delta} }

Światłowód

Stała tłumienia dla danego trybu propagacji w światłowodzie jest częścią rzeczywistą osiowej stałej propagacji.

Stała fazowa

W teorii elektromagnetycznej stała fazowa , zwana także stałą zmiany fazy , parametrem lub współczynnikiem , jest urojoną składową stałej propagacji fali płaskiej. Reprezentuje zmianę fazy na jednostkę długości wzdłuż ścieżki przebytej przez falę w dowolnym momencie i jest równa rzeczywistej części kątowej liczby falowej fali. Jest reprezentowany przez symbol β i jest mierzony w radianach na jednostkę długości.

Z definicji (kątowej) liczby falowej dla fal TEM w mediach bezstratnych:

{\ Displaystyle k = {\ Frac {2 \ pi} {\ lambda}} = \ beta}

W przypadku linii przesyłowej warunek Heaviside'a z równania telegrafisty mówi nam, że liczba falowa musi być proporcjonalna do częstotliwości, aby transmisja fali była niezakłócona w dziedzinie czasu . Obejmuje to między innymi idealny przypadek linii bezstratnej. Powód tego stanu można dostrzec, biorąc pod uwagę, że użyteczny sygnał składa się z wielu różnych długości fal w dziedzinie częstotliwości. Aby nie było zniekształceń przebiegu , wszystkie te fale muszą przemieszczać się z tą samą prędkością, aby dotarły do drugiego końca linii w tym samym czasie jako grupa . Ponieważ prędkość fazowa fali jest dana przez

{\ Displaystyle v_ {p} = {\ Frac {\ lambda} {T}} = {\ Frac {f} {\ tylda {\ nu}}} = { \frac {\omega }{\beta}},}

udowodniono, że β musi być proporcjonalne do ω . Jeśli chodzi o pierwotne współczynniki linii, z równania telegrafisty dla linii bez zniekształceń wynika warunek

{\ Displaystyle \ beta = \ omega {\ sqrt {LC}},}

gdzie L i C są odpowiednio indukcyjnością i pojemnością na jednostkę długości linii. Można jednak oczekiwać, że praktyczne linie spełnią ten warunek jedynie w przybliżeniu w ograniczonym paśmie częstotliwości.

$jest$ $falowej$ fazowa nie zawsze równa liczbie . Ogólnie rzecz biorąc, następująca zależność

{\ displaystyle \ beta = k}

jest odporny na falę TEM (poprzeczną falę elektromagnetyczną), która przemieszcza się w wolnej przestrzeni lub na urządzenia TEM, takie jak kabel koncentryczny i linie przesyłowe z dwoma równoległymi przewodami . Niemniej jednak nie jest ona ważna w przypadku TE (poprzecznej fali elektrycznej) i fali TM (poprzecznej fali magnetycznej). Na przykład w pustym falowodzie , w którym fala TEM nie może istnieć, ale fale TE i TM mogą się rozprzestrzeniać,

{\ Displaystyle k = {\ Frac {\ omega } {c}}}

{\ Displaystyle \ beta = k {\ sqrt {1- {\ Frac {\ omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}

Tutaj $_$ odcięcia . _ W falowodzie prostokątnym częstotliwość odcięcia wynosi

{\ Displaystyle \ omega _ {c} = c {\ sqrt {\ lewo ({\ Frac {n \ pi} {a}} \

gdzie $są numerami trybów$ $}$ boków prostokąta i $odpowiednio$ . W przypadku trybów TE $displaystyle m, n \ geq 0}$ ${\ displaystyle m,n\geq 1}$ $ale$ jest , podczas gdy w trybach TM .

Prędkość fazowa jest równa

{\ Displaystyle v_ {p} = {\ Frac {\ omega} {\ beta}} = {\ Frac {c} {\ sqrt {1- { \frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}

Stała fazowa jest również ważnym pojęciem w mechanice kwantowej , ponieważ pęd kwantu jest do niej wprost proporcjonalny, tj. ${\ displaystyle p}$

{\ Displaystyle p = \ hbar \ beta}

gdzie $ħ$ nazywa się zredukowaną stałą Plancka (wymawiane „h-bar”). Jest równa stałej Plancka podzielonej przez $2 π$ .

Filtry i sieci dwuportowe

Termin stała propagacji lub funkcja propagacji odnosi się do filtrów i innych sieci dwuportowych używanych do przetwarzania sygnału . Jednakże w takich przypadkach współczynniki tłumienia i fazowe są wyrażane w neperach i radianach na odcinek sieci , a nie na jednostkę długości. Niektórzy autorzy rozróżniają miary na jednostkę długości (dla których używana jest „stała”) i miary na przekrój (dla których używana jest „funkcja”).

Stała propagacji jest koncepcją użyteczną w projektowaniu filtrów, które niezmiennie wykorzystują topologię sekcji kaskadowych . W topologii kaskadowej można po prostu dodać stałą propagacji, stałą tłumienia i stałą fazową poszczególnych sekcji, aby znaleźć całkowitą stałą propagacji itp.

Sieci kaskadowe

Trzy sieci o dowolnych stałych propagacji i impedancjach połączone kaskadowo. Terminy Z _i reprezentują impedancję obrazu i zakłada się, że połączenia występują pomiędzy dopasowanymi impedancjami obrazu.

Stosunek napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego dla każdej sieci jest określony przez

{\ Displaystyle {\ Frac {V_ {1}} {V_ {2}}} = {\ sqrt {\ Frac {Z_ {I1}} Z_ {I2 }}}} e ^ {\ gamma _ {1}}}

{\ Displaystyle {\ Frac {V_ {2}} V_ {3}}} = { \sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}

{\ Displaystyle {\ Frac {V_ {3}} {V_ {4}}} = {\ sqrt {\ Frac {Z_ {I3}} Z_ {I4}}}} e ^ {\ gamma _ {3}}}

Terminy są terminami skalowania impedancji, a ich $na$ obrazu .

Całkowity stosunek napięcia jest podany przez

\ Displaystyle {\ Frac {V_ {1}} {V_ { 4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}} {V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3 }}}

Zatem dla n sekcji kaskadowych, z których wszystkie mają dopasowane impedancje zwrócone ku sobie, całkowita stała propagacji jest dana wzorem

{\ Displaystyle \ gamma _ {\ operatorname {razem}} = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} + \ gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}

Zobacz też

Pojęcie głębokości penetracji jest jednym z wielu sposobów opisu absorpcji fal elektromagnetycznych. Informacje o pozostałych i ich wzajemnych powiązaniach można znaleźć w artykule: Matematyczne opisy nieprzezroczystości .

Szybkość propagacji

Notatki

Ten artykuł zawiera materiały należące do domeny publicznej z normy federalnej 1037C . Administracja Usług Ogólnych . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 22.01.2022 r. .
Matthaei, Young, Jones Filtry mikrofalowe, sieci dopasowujące impedancję i struktury sprzęgające McGraw-Hill 1964.

Linki zewnętrzne

„Stała propagacji” . Encyklopedia mikrofalowa . 2011. Zarchiwizowane od oryginału (online) w dniu 14 lipca 2014 r . Źródło 2 lutego 2011 r .
Paschotta, dr Rüdiger (2011). „Stała propagacji” (online) . Encyklopedia fizyki i technologii laserowej . Źródło 2 lutego 2011 r .
Janezic, Michael D.; Jeffrey A. Jargon (luty 1999). „Złożone wyznaczanie przenikalności na podstawie pomiarów stałych propagacji” (PDF) . Litery IEEE dotyczące mikrofal i fal kierowanych . 9 (2): 76–78. doi : 10.1109/75.755052 . Źródło 2 lutego 2011 r . Dostępne jest bezpłatne pobieranie plików PDF. Dostępna jest zaktualizowana wersja z dnia 6 sierpnia 2002 r.