Stałe linii podstawowej

Kabel telefoniczny zawierający wiele skrętek

Stałe linii pierwotnej to parametry opisujące charakterystykę przewodzących linii transmisyjnych, takich jak pary drutów miedzianych , pod względem fizycznych właściwości elektrycznych linii. Stałe linii pierwotnej odnoszą się tylko do linii transmisyjnych i należy je zestawić ze stałymi linii wtórnej , które można z nich wyprowadzić i które mają bardziej ogólne zastosowanie. Stałe linii drugorzędowej można wykorzystać na przykład do porównania charakterystyki falowodu z linią miedzianą, podczas gdy stałe pierwotne nie mają znaczenia dla falowodu.

odpowiednio symbolami R , L , C i G. Stałe są wyliczane w jednostkach długości. Reprezentacja obwodu tych elementów wymaga modelu elementów rozproszonych , w związku z czym do analizy obwodu należy użyć rachunku różniczkowego . Analiza daje układ dwóch równoczesnych liniowych równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu które można łączyć, aby uzyskać wtórne stałe impedancji charakterystycznej i stałej propagacji .

Szereg przypadków specjalnych ma szczególnie proste rozwiązania i ważne zastosowania praktyczne. Kabel o niskiej stratności wymaga uwzględnienia w analizie tylko L i C , co jest przydatne w przypadku krótkich długości kabla. Zastosowania o niskiej częstotliwości, takie jak skrętki telefoniczne, są zdominowane wyłącznie przez R i C. Zastosowania o wysokiej częstotliwości, takie jak kabel koncentryczny RF , są zdominowane przez L i C. Linie załadowane aby zapobiec zniekształceniom, potrzebne są wszystkie cztery elementy w analizie, ale mają proste, eleganckie rozwiązanie.

Stałe

Istnieją cztery podstawowe stałe liniowe, ale w niektórych okolicznościach niektóre z nich są na tyle małe, że można je zignorować, a analizę można uprościć. Te cztery oraz ich symbole i jednostki są następujące:

Nazwa	Symbol	Jednostki	Symbol jednostki
rezystancja pętli	R	omów na metr	Ω/m
indukcyjność pętli	Ł	henrów za metr	H/m
pojemność izolatora	C	farady na metr	F/m
przewodność izolatora	G	siemensów na metr	S/m

R i L są elementami szeregowymi z linią (ponieważ są właściwościami przewodnika), a C i G są elementami bocznikującymi linię (ponieważ są właściwościami materiału dielektrycznego między przewodnikami). G reprezentuje prąd upływu przez dielektryk iw większości kabli jest bardzo mały. Słowo pętla jest używane, aby podkreślić, że należy wziąć pod uwagę rezystancję i indukcyjność obu przewodów. Na przykład, jeśli linia składa się z dwóch identycznych przewodów o rezystancji 25 mΩ/m każdy, pętla rezystancja jest dwukrotnie większa i wynosi 50 mΩ/m. Ponieważ wartości stałych są dość małe, producenci często podają je w przeliczeniu na kilometr, a nie na metr; w anglojęzycznym świecie można również użyć „na milę”.

Słowo „stały” może być mylące. Oznacza to, że są to stałe materialne; ale mogą się różnić w zależności od częstotliwości. W szczególności R duży wpływ ma efekt skóry . Co więcej, chociaż G praktycznie nie ma wpływu na częstotliwość audio , może powodować zauważalne straty przy wysokich częstotliwościach w przypadku wielu materiałów dielektrycznych stosowanych w kablach z powodu stycznej o dużej stratności . Unikanie strat powodowanych przez G jest powodem, dla którego wiele kabli jest zaprojektowanych do użytku w UHF są izolowane powietrzem lub pianką (co czyni je praktycznie izolowanymi powietrzem). Rzeczywiste znaczenie stałej w tym kontekście polega na tym, że parametr jest stały wraz z odległością . Oznacza to, że zakłada się, że linia jest jednorodna wzdłużnie. Ten warunek jest prawdziwy dla zdecydowanej większości używanych obecnie linii przesyłowych.

Typowe wartości dla niektórych popularnych kabli

Przeznaczenie	Forma kabla	Aplikacja	R	L †	G	C	Z0
			Ω/km	μH/km	nS/km	nF/km	Ω
CAT5	Zakręcona para	Transmisja danych	176	490	<2	49	100
CAT5e	Zakręcona para	Transmisja danych	176		<2		100
CW1308	Zakręcona para	Telefonia	98		<20
RG59	Współosiowy	Wideo	36	430		69	75
RG59	Współosiowy (dielektryk piankowy)	Wideo	17	303		54	75
RG58	Współosiowy	Częstotliwość radiowa	48	253	<0,01	101	50
Niska strata	Współosiowy (dielektryk piankowy)	Zasilanie nadajnika radiowego	2,86	188		75	50
DIN VDE 0816	Gwiazdkowy quad	Telefonia ( linie miejskie )	31,8		<0,1	35

† Producenci często pomijają wartość indukcyjności w swoich kartach katalogowych. Niektóre z tych wartości są szacowane na podstawie wartości pojemności i impedancji charakterystycznej przez ${\ displaystyle \ scriptstyle {Z_ {0}} ^ {2} = L/C}$ .

Reprezentacja obwodu

Rys. 1. Reprezentacja obwodu zastępczego linii transmisyjnej z wykorzystaniem elementów rozproszonych . δ L , δR , δC i δG należy odczytywać odpowiednio jako L δ x , R δ x , C δ x i G δ x

Stałe linii nie mogą być po prostu reprezentowane jako skupione elementy w obwodzie; muszą być opisane jako elementy rozproszone . Na przykład „kawałki” pojemności znajdują się pomiędzy „kawałkami” rezystancji. Niezależnie od tego, na ile kawałków R i C są podzielone, zawsze można argumentować, że należy je dalej rozdzielić, aby właściwie reprezentować obwód, a po każdym podziale liczbę oczek w obwodzie wzrasta. Pokazano to schematycznie na rysunku 1. Aby zapewnić prawdziwą reprezentację obwodu, elementy muszą być nieskończenie małe, tak aby każdy element był rozłożony wzdłuż linii. Nieskończenie małe elementy w nieskończenie małej odległości $przez$ ;

${\ Displaystyle dL = \ lim _ {\ delta x \ do 0} (L \ delta x) = Ldx}$ 

${\ Displaystyle dR = \ lim _ {\ delta x \ do 0} (R \ delta x) = Rdx}$ 

$} re sol$ 

$Displaystyle dG =\lim _{\delta x\to 0}(G\delta x)=Gdx}$ 

Rys. 2. Reprezentacja linii transmisyjnej z wykorzystaniem elementów uogólnionej impedancji rozproszonej i admitancji.

Do celów analizy wygodnie jest zwinąć te elementy w ogólną impedancję szeregową , Z i dopuszczenie bocznika , Y takie, że;

${\ Displaystyle dZ = (R + i \ omega L) dx = Zdx \,}$ i

${\ Displaystyle dY = (G + i \ omega C) dx = Ydx \,.}$

Analiza tej sieci (rysunek 2) da dodatkowe stałe linii: stałą propagacji , (której rzeczywista i urojona część to stała tłumienia , ${\ displaystyle \ scriptstyle \ alpha}$ , ${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma$ } i stała zmiany fazy , $}$ ) i impedancja charakterystyczna , ${\ Displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}$$i$ ogólnie, będą miały rzeczywiste $.$ części , co daje w sumie cztery stałe drugorzędne do wyprowadzenia z czterech podstawowych stałych. Termin stała jest jeszcze bardziej mylący w przypadku stałych wtórnych, ponieważ zwykle zmieniają się one dość silnie z częstotliwością, nawet w idealnej sytuacji, w której stałe pierwotne nie. $,$ ponieważ reaktancje w i ${\ Displaystyle \ scriptstyle 1 / (\ omega C)}$ ) wprowadzić zależność od ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ omega}$ . Możliwe $}$$\ scriptstyle \$ wartości stałych podstawowych, które powodują, że i są niezależne od (warunek Heaviside ) $alpha$ displaystyle ale nawet w tym przypadku nadal istnieje ${\ displaystyle \ scriptstyle \ beta}$ co jest wprost proporcjonalne do ${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}$ . Podobnie jak w przypadku stałych pierwotnych, znaczenie słowa „stała” polega na tym, że stałe drugorzędne nie zmieniają się wraz z odległością wzdłuż linii, a nie na tym, że są niezależne od częstotliwości.

Impedancja charakterystyczna

₀ Rys. 3. Schemat zastępczy linii transmisyjnej do obliczenia Z ze stałych linii pierwotnej

Charakterystyczna impedancja linii transmisyjnej $.$ definiowana jako impedancja patrząca na nieskończenie długą linię Taka linia nigdy nie zwróci odbicia, ponieważ padająca fala nigdy nie dotrze do końca, aby zostać odbitą. Rozważając skończoną długość linii, pozostałą część linii można zastąpić ${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$ jako jego równoważny obwód. Dzieje się tak, ponieważ pozostała część linii jest nadal nieskończenie długa, a zatem równoważna oryginalnej linii. $i$ przez sieć L składającą się z jednego jednego $z$ ; reszta jest podana przez ${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$ . Daje to sieć pokazaną na rycinie 3, którą można przeanalizować dla ${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$ używając zwykłych twierdzeń analizy sieci ,

${\ Displaystyle Z_ {0} = \ delta Z + {\ Frac {Z_ {0}} {1 + Z_ {0} \ delta Y}}}$

który ponownie organizuje,

${\ Displaystyle {Z_ {0}} ^ {2} -Z_ {0} \ delta Z = {\ Frac {\ delta Z} {\ delta Y}}}$

Biorąc granice obu stron

${\ Displaystyle \ lim _ {\ delta x \ do 0} ({Z_ {0}} ^ {2} -Z_ {0} \delta Z)={Z_{0}}^{2}={\frac {dZ}{dY}}}$

a ponieważ przyjęto, że linia jest jednorodna wzdłużnie,

${\ Displaystyle {Z_ {0}} ^ {2} = {\ Frac {Z} {Y}}}$

Stała propagacji

Rys. 4. Każdy nieskończenie mały odcinek linii transmisyjnej powoduje nieskończenie mały spadek napięcia linii podczas propagacji wzdłuż linii. Całkowanie tych kropel umożliwia znalezienie stałej propagacji.

Stosunek napięcia wejściowego linii do napięcia na odległość dalej w dół linii (to znaczy po jednym odcinku równoważnego obwodu) jest określony przez $obliczenie$ dzielnika napięcia Pozostała część linii po prawej stronie, podobnie jak w przypadku obliczania impedancji charakterystycznej, jest zastępowana przez Z $\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {V_ {\ operatorname {i}}} {V_ {x1}}} = {\ Frac {\ delta Z + {\ Frac {Z_ {0}/\ delta Y} {Z_ {0} + 1/\delta Y}}}{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}=1+{\frac {\delta Z}{Z_{0 }}}+\delta Z\delta Y}$

Każda nieskończenie mała sekcja pomnoży spadek napięcia przez ten sam współczynnik. Po sekcjach stosunek napięcia będzie wynosił ${\ displaystyle \ scriptstyle n}$

${\ Displaystyle {\ Frac {V _ {\ operatorname {i}}} {V_ {xn}}} = \ lewo (1 + {\ frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{n}}$

W pewnej odległości wzdłuż linii liczba sekcji wynosi $\ Displaystyle \$$scriptstyle x/\ delta x}$ tak, że x {

${\ Displaystyle {\ Frac {V_ {\ operatorname {i}}} {V_ {xn}}} = \ lewo (1+ {\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

W granicy jako ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ delta x \ do 0}$ ,

${\ Displaystyle {\ Frac {V_ {\ operatorname {i}}} {V_{x}}}=\lim _{\delta x\do 0}{\frac {V_{\mathrm {i}}}{V_{xn}}}=\lim _{\delta x\do 0 }\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

Termin drugiego rzędu zniknie w granicy, więc możemy pisać bez utraty dokładności, ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ delta Z \ delta Y}$

${\ Displaystyle {\ Frac {V _ {\ operatorname {i}}} {V_ {x}}} = \ lim _ {\ delta x \to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

i porównując z tożsamością matematyczną,

${\ Displaystyle e ^ {x} \ równoważnik \ lim _ {p \ do \ infty} (1 + 1 / p) ^ {px}}$

plony,

${\ Displaystyle V _ {\ operatorname {i}} = V_ {x} e ^ {{\ Frac {Z} {Z_ {0}}} x}}$

Z definicji stałej propagacji ,

${\ Displaystyle V _ {\ operatorname {i}} = V_ {x} e ^ {\ gamma x} \, \!}$

Stąd,

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {Z} {Z_ {0}}} = {\ sqrt {ZY}}}$

Przypadki specjalne

Idealna linia transmisyjna

Idealna linia transmisyjna nie będzie miała strat, co oznacza, że ​​elementy rezystancyjne są zerowe. Powoduje to również czysto rzeczywistą (rezystancyjną) impedancję charakterystyczną. Idealnej linii nie można zrealizować w praktyce, ale jest to przydatne przybliżenie w wielu okolicznościach. Jest to szczególnie prawdziwe, na przykład, gdy krótkie odcinki linii są używane jako elementy obwodu, takie jak odgałęzienia . Krótka linia ma bardzo małe straty i można to zignorować i traktować jako linię idealną. Stałe wtórne w tych okolicznościach to;

${\ Displaystyle \ gamma = i \ omega {\ sqrt {LC}}}$

${\ Displaystyle \ alfa = 0 \,}$

${\ Displaystyle \ beta = \ omega {\ sqrt {LC}}}$

${\ Displaystyle Z_ {0} = {\ sqrt {\ Frac {L} {C}}}}$

Zakręcona para

Zazwyczaj skrętka dwużyłowa stosowana do częstotliwości audio lub niskich szybkości transmisji danych ma stałe linii zdominowane przez R i C . Straty dielektryczne są zwykle pomijalne przy tych częstotliwościach, a G jest bliskie zeru. Jest również tak, że przy wystarczająco niskiej częstotliwości, $zignorować$ oznacza, ​​L również W tych okolicznościach stałe drugorzędne stają się,

${\ Displaystyle \ gamma \ około {\ sqrt {i \ omega CR}}}$

${\ Displaystyle \ alfa \ około {\ sqrt {\ Frac {\ omega CR} {2 }}}}$

$\ Displaystyle \ beta \ około {\ sqrt {\ Frac {\ omega CR} {2}}}}$

${\ Displaystyle Z_ {0} \ około {\ sqrt {\ Frac {R} {i \ omega C}}} = {\ sqrt {\ Frac {R} {2 \ omega C}}} -i {\ sqrt { \frac {R}{2\omega C}}}}$

Tłumienie tego typu kabla wzrasta wraz z częstotliwością, powodując zniekształcenie przebiegów. Nie $częstotliwością$ oczywiste, zmienność wraz z powoduje również zniekształcenie typu zwanego dyspersją . Aby uniknąć rozproszenia, wymaga się, aby $scriptstyle \ omega}$ wprost proporcjonalny do $\$ . Jednak w rzeczywistości jest $wyników$ proporcjonalne do i dyspersji. ${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$ również zmienia się w zależności od częstotliwości i jest również częściowo reaktywny; obie te cechy będą przyczyną odbić od rezystancyjnego zakończenia linii. To kolejny niepożądany efekt. Nominalna impedancja podana dla tego typu kabla jest w tym przypadku bardzo nominalna i obowiązuje tylko dla jednej częstotliwości punktowej, zwykle podawanej przy 800 Hz lub 1 kHz.

Kabel koncentryczny

Kabel działający z wystarczająco wysoką częstotliwością ( częstotliwość radiowa na średnich falach lub wysokie szybkości transmisji danych) spełni warunki i ${\ Displaystyle \ scriptstyle R \ ll \ omega L}$ i ${\ Displaystyle \ scriptstyle G \ ll \omega C}$ . W końcu musi tak być, ponieważ częstotliwość jest zwiększana dla każdego kabla. W tych warunkach R i G można zignorować (z wyjątkiem celów obliczania tłumienia kabla), a stałe drugorzędne stają się;

${\ Displaystyle \ gamma \ około ja \ omega {\ sqrt {LC}}}$

${\ styl wyświetlania \alpha \około {\frac {LG+RC}{2{\sqrt {LC}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{0}G+{\frac {R}{ Z_{0}}}\right)\około {\frac {R}{2Z_{0}}}}$

${\ Displaystyle \ beta \ około \ omega {\ sqrt {LC}}}$

${\ Displaystyle Z_ {0} \ około {\ sqrt {\ Frac {L} {C}}}}$

Załadowana linia

Linie obciążone to linie zaprojektowane z celowo zwiększoną indukcyjnością. Odbywa się to poprzez dodanie żelaza lub innego metalu magnetycznego do kabla lub dodanie cewek. $,$ że linia spełnia warunek Heaviside'a , który eliminuje zniekształcenia spowodowane tłumieniem i dyspersją zależną od częstotliwości oraz zapewnia, że ​​jest stały i rezystancyjny. Stałe wtórne są tutaj powiązane ze stałymi pierwotnymi przez;

${\ Displaystyle \ gamma = {\ sqrt {RG}} + i \ omega {\ sqrt {LC}}} α =$

$Displaystyle \ alfa = {\ sqrt {RG} }}$

${\ Displaystyle \ beta = \ omega {\ sqrt {LC}}}$

${\ Displaystyle Z_ {0} = {\ sqrt {\ Frac {L} {C} }} = {\ sqrt {\ frac {R} {G}}}}$

Prędkość

Prędkość propagacji jest dana przez,

${\ displaystyle v = \ lambda f.}$

Od,

${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ i ${\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$

Następnie,

${\ Displaystyle v = {\ Frac {\ omega} {\ beta}}.}$

W przypadkach, w których β można przyjąć jako,

${\ Displaystyle \ beta = \ omega {\ sqrt {LC}}}$

prędkość propagacji jest dana przez,

${\ displaystyle v = {1 \ ponad {\ sqrt {LC}}}.}$

Im mniejsza pojemność, tym większa prędkość. W przypadku kabla z dielektrykiem powietrznym, który jest zbliżony do kabla o małych stratach, prędkość propagacji jest bardzo bliska c , czyli prędkości światła w próżni .

Notatki

•   FR Connor, transmisja fali , Edward Arnold Ltd., 1972 ISBN 0-7131-3278-7 .
•   John Bird, Teoria i technologia obwodów elektrycznych , Newnes, 2007 ISBN 0-7506-8139-X .
•   Ian Hickman, Analog Electronics , Newnes, 1999 ISBN 0-7506-4416-8 .
•   Fred Porges, Projektowanie instalacji elektrycznych w budynkach , Taylor & Francis, 1989 ISBN 0-419-14590-7 .