Metoda propagacji wiązki

Metoda propagacji wiązki ( BPM ) jest aproksymowaną techniką symulowania propagacji światła w wolnozmiennych światłowodach . Zasadniczo jest to to samo, co tak zwana równania parabolicznego (PE) w akustyce podwodnej . Zarówno BPM, jak i PE zostały po raz pierwszy wprowadzone w latach 70. Kiedy fala rozchodzi się wzdłuż falowodu na dużą odległość (większą w porównaniu z długością fali), rygorystyczna symulacja numeryczna jest trudna. BPM opiera się na przybliżonych równaniach różniczkowych, które są również nazywane modelami jednokierunkowymi. Te jednokierunkowe modele obejmują tylko pochodną pierwszego rzędu w zmiennej z (dla osi falowodu) i można je rozwiązać jako problem wartości „początkowej”. Problem wartości „początkowej” nie dotyczy czasu, dotyczy raczej zmiennej przestrzennej z.

Oryginalne BPM i PE zostały wyprowadzone z powoli zmieniającej się aproksymacji obwiedni i są to tak zwane modele jednokierunkowe przyosiowe. Od tego czasu wprowadzono szereg ulepszonych modeli jednokierunkowych. Pochodzą one z modelu jednokierunkowego z udziałem operatora pierwiastkowego. Uzyskuje się je poprzez zastosowanie racjonalnych przybliżeń do operatora pierwiastka kwadratowego. Po uzyskaniu modelu jednokierunkowego należy go jeszcze rozwiązać, dyskretyzując zmienną z. Możliwe jest jednak połączenie tych dwóch kroków (racjonalne przybliżenie do operatora pierwiastka kwadratowego i dyskretyzacja z) w jeden krok. Mianowicie, można bezpośrednio znaleźć racjonalne przybliżenia do tzw. propagatora jednokierunkowego (wykładniczego operatora pierwiastka kwadratowego). Racjonalne przybliżenia nie są trywialne. Standardowe diagonalne aproksymacje Padé mają problemy z tak zwanymi modami zanikającymi. Te zanikające mody powinny szybko zanikać w z, ale diagonalne aproksymacje Padé będą nieprawidłowo propagować je jako mody propagujące wzdłuż falowodu. Obecnie dostępne są zmodyfikowane racjonalne aproksymacje, które mogą tłumić mody zanikające. Dokładność BPM można jeszcze poprawić, jeśli użyjesz jednokierunkowego modelu oszczędzania energii lub jednokierunkowego modelu jednokierunkowego.

Zasady

BPM jest ogólnie formułowane jako rozwiązanie równania Helmholtza w przypadku harmonicznej czasu,

${\ Displaystyle (\ nabla ^ {2} + k_ {0} ^ {2} n ^ {2}) \ psi = 0}$

z polem zapisanym jako,

${\ Displaystyle E (x, y, z, t) = \ psi (x, y) \ exp (- j\omega t)}$ .

Teraz przestrzenna zależność tego pola jest zapisywana według dowolnej polaryzacji TE lub TM

${\ Displaystyle \ psi (x, y) = A (x, y) \ exp (+ jk_ {o} \ nu y)}$ ,

z kopertą

$Displaystyle A (x, y)}$ po wolno zmieniającym się przybliżeniu

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} ( A(x,y))}{\częściowo y^{2}}}=0}$

Teraz rozwiązanie po zastąpieniu równaniem Helmholtza następuje,

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ częściowe ^{2}}{\częściowe x^{2}}}+k_{0}^{2}(n^{2}-\nu ^{2})\right]A(x,y)=\ pm 2jk_{0}\nu {\frac {\częściowe A_{k}(x,y)}{\częściowe y}}}$

Aby obliczyć pole we wszystkich punktach przestrzeni przez cały czas, wystarczy obliczyć funkcję dla całej przestrzeni, a następnie jesteśmy w stanie zrekonstruować ${\ Displaystyle A (x, y)}$${\ Displaystyle \ psi (x, y)}$ . Ponieważ rozwiązanie dotyczy równania Helmholtza z harmoniczną czasu, musimy je obliczyć tylko dla jednego okresu czasu. Możemy wizualizować pola wzdłuż kierunku propagacji lub tryby falowodu w przekroju poprzecznym.

Metody numeryczne

Do numerycznego rozwiązania dyskretyzowanego równania głównego dostępne są zarówno metody dziedziny przestrzennej , jak i metody dziedziny częstotliwości (widmowej) . Po dyskretyzacji w siatkę (przy użyciu różnych różnic scentralizowanych , metody Cranka Nicolsona, FFT-BPM itp.) i uporządkowaniu wartości pola w sposób przyczynowy, ewolucja pola jest obliczana poprzez iterację wzdłuż kierunku propagacji. Metoda domeny przestrzennej oblicza pole w następnym kroku (w kierunku propagacji) poprzez rozwiązanie równania liniowego, podczas gdy metody domeny widmowej wykorzystują potężne algorytmy DFT do przodu/odwrotności. Metody domeny widmowej mają tę zaletę, że są stabilne nawet w obecności nieliniowości (z powodu współczynnika załamania światła lub właściwości ośrodka), podczas gdy metody domeny przestrzennej mogą stać się numerycznie niestabilne.

Aplikacje

BPM to szybka i łatwa metoda rozwiązywania pól w zintegrowanych urządzeniach optycznych. Zwykle jest używany tylko do rozwiązywania problemów dotyczących intensywności i modów w ukształtowanych (wygiętych, zwężających się, zakończonych) strukturach falowodów, w przeciwieństwie do problemów z rozpraszaniem. Struktury te zwykle składają się z izotropowych materiałów optycznych, ale BPM został również rozszerzony, aby można go było zastosować do symulacji propagacji światła w ogólnych materiałach anizotropowych , takich jak ciekłe kryształy . Pozwala to analizować np. rotację polaryzacji światła w materiałach anizotropowych, przestrajalność sprzęgacza kierunkowego opartego na ciekłych kryształach czy dyfrakcję światła w pikselach LCD.

Ograniczenia BPM

Metoda propagacji wiązki opiera się na wolnozmiennym przybliżeniu obwiedni i jest niedokładna w przypadku modelowania dyskretnie lub szybko zmieniających się struktur. Podstawowe implementacje są również niedokładne do modelowania struktur, w których światło rozchodzi się w dużym zakresie kątów oraz do urządzeń o wysokim kontraście współczynnika załamania światła, powszechnie spotykanych na przykład w fotonice krzemowej . Zaawansowane implementacje łagodzą jednak niektóre z tych ograniczeń, umożliwiając wykorzystanie BPM do dokładnego modelowania wielu z tych przypadków, w tym wielu krzemowych struktur fotonicznych.

Metodę BPM można wykorzystać do modelowania propagacji dwukierunkowej, ale odbicia muszą być realizowane iteracyjnie, co może prowadzić do problemów ze zbieżnością.

Zobacz też

• Elektromagnetyka obliczeniowa
• Metoda różnic skończonych w dziedzinie czasu
• Ekspansja trybu własnego
• Metoda elementów skończonych
• Równania Maxwella
• Metoda linii
• Światło
• Foton