Miara Jordana

W matematyce miara Peano-Jordan (znana również jako zawartość Jordana ) jest rozszerzeniem pojęcia rozmiaru ( długość , powierzchnia , objętość ) na kształty bardziej skomplikowane niż na przykład trójkąt , dysk lub równoległościan .

Okazuje się, że aby zestaw miał miarę Jordana, powinien być grzeczny w pewnym restrykcyjnym sensie. Z tego powodu obecnie bardziej powszechna jest praca z miarą Lebesgue'a , która jest rozszerzeniem miary Jordana na większą klasę zbiorów. Historycznie rzecz biorąc, miara jordańska pojawiła się jako pierwsza, pod koniec XIX wieku. Z powodów historycznych termin miara Jordana jest obecnie dobrze ugruntowany dla tej funkcji zbioru , pomimo faktu, że nie jest to prawdziwa miara w swojej współczesnej definicji, ponieważ zbiory mierzalne przez Jordana nie tworzą σ-algebra . Na przykład zestawy singletonowe mają miarę Jordana równą 0, $mathbb {R}}}$$\ Displaystyle \ {x \} _ {x \ in$ \ podczas gdy $.$ ich związek Z tego powodu niektórzy autorzy wolą używać terminu Jordan content .

Miara Peano-Jordan została nazwana na cześć jej twórców, francuskiego matematyka Camille'a Jordana i włoskiego matematyka Giuseppe Peano .

Miara Jordana „zbiorów prostych”

Prosty zestaw jest z definicji połączeniem (prawdopodobnie nakładających się) prostokątów.

Prosty zestaw z góry rozłożony jako suma niezachodzących na siebie prostokątów.

Rozważmy przestrzeń euklidesową ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ Miara Jordana jest najpierw zdefiniowana na iloczynach kartezjańskich ograniczonych półotwartych przedziałów

$${\ Displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}} \ razy [a_ {2} ,b_{2})\razy \cdots \razy [a_{n},b_{n})}$$

$otwarte$ po prawej ze wszystkimi punktami $i$ skończonymi rzeczywistymi (przedziały półotwarte to wybór techniczny; jak patrz poniżej, w razie potrzeby można użyć przedziałów zamkniętych lub otwartych). Taki zestaw będzie nazywany $prostokątem$ prostu lub po prostokątem . Miara Jordana takiego prostokąta jest zdefiniowana jako iloczyn długości przedziałów:

$${\ Displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) \ cdots (b_ {n} -a_ {n}).}$$

Następnie rozważymy zbiory proste , zwane czasem poliprostokątami , które są skończonymi sumami prostokątów,

$${\ Displaystyle S = C_ {1} \ kubek C_ {2} \ kubek \ cdots \ kubek C_ {k}}$$

dla dowolnego ${\ Displaystyle k \ geq 1.}$

Nie można zdefiniować miary Jordana $.$ po prostu sumy miar poszczególnych prostokątów, ponieważ taka reprezentacja nie jest wyjątkowa i prostokąty mogą się w znacznym $stopniu$ .

Na szczęście każdy taki prosty zestaw można przepisać jako połączenie innej skończonej rodziny prostokątów, prostokątów, które tym razem są wzajemnie $S} )}$$S$ ) { jako suma miar rozłącznych prostokątów.

$skończonej$ , że ta definicja miary Jordana $.$ niezależna od reprezentacji jako sumy rozłącznych prostokątów To właśnie na etapie „przepisywania” stosuje się założenie, że prostokąty składają się z półotwartych przedziałów.

Rozszerzenie do bardziej skomplikowanych zestawów

Zbiór (reprezentowany na rysunku przez obszar wewnątrz niebieskiej krzywej) jest mierzalny według Jordana wtedy i tylko wtedy, gdy można go dobrze przybliżyć zarówno od wewnątrz, jak i od zewnątrz za pomocą prostych zbiorów (ich granice zaznaczono odpowiednio ciemnozielonym i ciemnoróżowym) .

Zauważ, że zbiór, który jest iloczynem przedziałów domkniętych,

$${\ Displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ razy [a_ {2}, b_ {2} }]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]}$$

nie jest zbiorem prostym, podobnie jak piłka . Tak więc, jak dotąd, zbiór mierzalnych zbiorów Jordana jest nadal bardzo ograniczony. Kluczowym krokiem jest zatem zdefiniowanie zbioru ograniczonego tak, aby był mierzalny według Jordana , jeśli jest „dobrze przybliżony” prostymi zbiorami, dokładnie w taki sam sposób, w jaki funkcja jest całkowalna Riemanna , jeśli jest dobrze aproksymowana przez funkcje stałe częściowe.

Formalnie dla zbioru ograniczonego $zdefiniuj$ wewnętrzną Jordana jako

$${\ Displaystyle m_ {*} (B) = \ sup _ {S \ subseteq B} m (S)}$$

a jego zewnętrzna miara Jordanu jako

$${\ Displaystyle m ^ {*} (B) = \ inf _ {S \ supseteq B} m (S)}$$

gdzie infimum i supremum są przejmowane przez zbiory proste $, jeśli$$, że$ zbiór jest $równa$ zbiorem Jordana miara się zewnętrznej miary. Wspólna miarą $wartość$ tych dwóch miar jest wtedy nazywana po prostu . Miara Jordana to ustawiona funkcja który wysyła mierzalne zbiory Jordana do ich miary Jordana.

Okazuje się, że wszystkie prostokąty (otwarte lub domknięte), a także wszystkie kule, simpleksy itp. są mierzalne w Jordanie. Ponadto, jeśli weźmie się pod uwagę dwie funkcje ciągłe , zbiór punktów między wykresami tych funkcji jest mierzalny w Jordanie, o ile ten zbiór jest ograniczony, a wspólna dziedzina tych dwóch funkcji jest mierzalna w Jordanie. Każdy skończony związek i przecięcie mierzalnych zbiorów Jordana jest mierzalny według Jordana, podobnie jak różnica zbioru dowolnych dwóch mierzalnych zbiorów Jordana. Kompaktowy zestaw niekoniecznie jest mierzalny w Jordanie. Na przykład zestaw grubego Cantora nie jest. Jego wewnętrzna miara Jordana znika, ponieważ jego dopełnienie jest gęste ; jednakże jej zewnętrzna miara Jordana nie znika, ponieważ nie może być mniejsza niż (w rzeczywistości jest równa) jej miara Lebesgue'a. Również ograniczony zbiór otwarty niekoniecznie jest mierzalny według Jordana. Na przykład uzupełnienie grubego zbioru Cantora (w przedziale) nie jest. Zbiór ograniczony jest mierzalny w Jordanie wtedy i tylko wtedy, gdy jego funkcja wskaźnika jest całkowalna w sensie Riemanna , a wartość całki jest miarą Jordana. [1]

Równoważnie, dla zbioru ograniczonego wewnętrzna miara Jordana $displaystyle$ miarą Lebesgue'a topologicznego wnętrza , $a zewnętrzna miara Jordana$$B}$ miarą Lebesgue'a zamknięcia B . Z tego wynika, że ​​zbiór ograniczony jest mierzalny według Jordana wtedy i tylko wtedy, gdy jego granica topologiczna ma miarę Lebesgue'a zero. (Lub równoważnie, jeśli granica ma miarę Jordana zero; równoważność zachodzi ze względu na zwartość granicy).

Miara Lebesgue'a

Ta ostatnia właściwość znacznie ogranicza typy zbiorów, które są mierzalne według Jordana. Na przykład zbiór liczb wymiernych zawarty w przedziale [0,1] nie jest wtedy mierzalny według Jordana, ponieważ jego granicą jest [0,1], która nie jest miarą Jordana zero. Intuicyjnie jednak zbiór liczb wymiernych jest zbiorem „małym”, ponieważ jest przeliczalny i powinien mieć „rozmiar” zero. To rzeczywiście prawda, ale tylko wtedy, gdy zastąpimy miarę Jordana miarą Lebesgue'a . Miara Lebesgue'a zbioru jest taka sama jak jego miara Jordana, o ile ten zbiór ma miarę Jordana. Jednak miara Lebesgue'a jest definiowana dla znacznie szerszej klasy zbiorów, takich jak zbiór liczb wymiernych w przedziale wspomnianym wcześniej, a także dla zbiorów, które mogą być nieograniczone lub fraktale . Ponadto miara Lebesgue'a, w przeciwieństwie do miary Jordana, jest miarą prawdziwą , to znaczy każda policzalna suma mierzalnych zbiorów Lebesgue'a jest mierzalna według Lebesgue'a, podczas gdy policzalne sumy mierzalnych zbiorów Jordana nie muszą być mierzalne według Jordana.

•   Emmanuele DiBenedetto (2002). Prawdziwa analiza . Bazylea, Szwajcaria: Birkäuser. ISBN 0-8176-4231-5 .
•   Richarda Couranta; Fritza Johna (1999). Wprowadzenie do rachunku różniczkowego i analizy, tom II / 1: rozdziały 1–4 (klasyka matematyki) . Berlin: Springer. ISBN 3-540-66569-2 .

Linki zewnętrzne

• Derwent, Jan. „Miara Jordanii” . MathWorld .
• Terekhin, AP (2001) [1994], „Miara Jordanii” , Encyklopedia matematyki , EMS Press