Mnemoniki w trygonometrii

W trygonometrii często używa się mnemotechniki , aby pomóc zapamiętać tożsamości trygonometryczne i relacje między różnymi funkcjami trygonometrycznymi .

SOH-CAH-TOA

Mnemonik obrazu, który pomaga zapamiętać stosunki boków trójkąta prostokątnego

Współczynniki sinus , cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym można zapamiętać, przedstawiając je jako ciągi liter, na przykład SOH-CAH-TOA w języku angielskim:

angent sinus = przeciwprostokątna ÷ przeciwprostokątna

÷ cosinus = przyprostokątna ÷ przeciwprostokątna

T = przeciwprostokątna przyprostokątna _ _

Jednym ze sposobów zapamiętania liter jest wymówienie ich fonetycznie (tj. / ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə , podobnie jak Krakatoa ).

Zwroty

Inną metodą jest rozwinięcie liter w zdanie, na przykład „Niektóre stare konie żują jabłka szczęśliwie przez całą starość”, „Jakiś stary hipis przyłapał kolejnego hipisa na kwasie” lub „Studiowanie naszej pracy domowej zawsze może pomóc w uzyskaniu osiągnięcia”. Kolejność może być zmieniona, jak w „Tommy na statku, którego złapał śledź” (styczna, sinus, cosinus) lub „Pułkownik starej armii i jego syn często czkają” (styczna, cosinus, sinus) lub „Come And Have Niektóre pomarańcze pomagają przezwyciężyć amnezję” (cosinus, sinus, tangens). Społeczności w kręgach chińskich mogą zapamiętać to jako TOA-CAH-SOH, co oznacza również „kobietę o dużych stopach” ( chiński : 大腳嫂 ; Pe̍h-ōe-jī : tōa-kha-só ) w języku Hokkien .

Alternatywnym sposobem zapamiętania liter Sin, Cos i Tan jest zapamiętanie nonsensownych sylab Oh, Ah, Oh-Ah (ie / oʊ ə ˈ oʊ . ə / ) dla O / H , A / H, O/A . Dłuższe mnemoniki tych listów to „Oscar trzyma Angie” i „Oscar miał kupę jabłek”.

Wszyscy uczniowie biorą rachunek

Znaki funkcji trygonometrycznych w każdym kwadrancie.

Wszyscy uczniowie biorą rachunek różniczkowy to mnemonik oznaczający znak każdej funkcji trygonometrycznej w każdej ćwiartce płaszczyzny. Litery ASTC oznaczają, które z funkcji trygonometrycznych są dodatnie, zaczynając od prawego górnego 1. kwadrantu i przesuwając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara przez ćwiartki od 2 do 4.

• Kwadrant I (kąty od 0 do 90 stopni lub od 0 do π/2 radianów): Wszystkie funkcje trygonometryczne w tym kwadrancie są dodatnie.
• Kwadrant II (kąty od 90 do 180 stopni lub π/2 do π radianów): Funkcje sinus i cosecans są dodatnie w tym kwadrancie.
• Kwadrant III (kąty od 180 do 270 stopni lub od π do 3π/2 radianów): Funkcje styczne i cotangensa są dodatnie w tym kwadrancie.
• Kwadrant IV (kąty od 270 do 360 stopni lub 3π/2 do 2π radianów): funkcje cosinus i sieczne są dodatnie w tym kwadrancie.

Inne mnemoniki obejmują:

• Wszystkie stacje do centrali _ _
• Wszystkie Głupie Tomki _ _ _
• Dodaj cukier do kawy _ _ _ _
• All Science T eachers (są ) C razy
• Klasa Smart T rig _ _ _

Inne łatwe do zapamiętania mnemoniki to prawa ACTS i CAST . Mają one tę wadę, że nie przechodzą kolejno od ćwiartek 1 do 4 i nie wzmacniają konwencji numeracji ćwiartek.

• CAST nadal idzie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale zaczyna się w ćwiartce 4, przechodząc przez ćwiartki 4, 1, 2, a następnie 3.
• AKTY nadal zaczynają się w ćwiartce 1, ale przebiegają zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przechodząc przez ćwiartki 1, 4, 3, a następnie 2.

Sinusy i cosinusy kątów specjalnych

$z$ 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° i 90 ° są zgodne ze wzorem n 0, 1, ..., 4 dla sinusa i n = 4, 3, ..., 0 dla cosinusa odpowiednio:

${\ Displaystyle \ theta}$	${\ Displaystyle \ sin \ teta}$	${\ Displaystyle \ sałata \ teta}$	${\ Displaystyle \ dębnik \ teta = \ sin \ teta {\ duży /} \ cos \ teta}$
0° = 0 radianów	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {niebieski}}}} {2}} = \; \; 0}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {czerwony} {4}}}} {2}} = \; \; 1}$	${\ Displaystyle \; \; 0 \; \; {\ Duży /} \; \; 1 \; \; = \; \; 0}$
30° = π / 6 radianów	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {turkusowy}}}}} {2}} = \; \, {\ Frac {1} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {pomarańczowy} {3}}}} {2}}}$	${\ Displaystyle \; \ {\ Frac {1} {2}} \; {\ Duży /}{\ Frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ Frac {1}{\sqrt {3}}}}$
45° = π / 4 radiany	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {zielony}}}} {2}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {zielony}}}} {2}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ Duży /}{ \ Frac {1} {\ sqrt {2}}} = \; \; 1}$
60° = π / 3 radiany	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {pomarańczowy} {3}}}} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {turkusowy}} {1}}}} {2}} = \; {\ Frac {1} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ Duży /} \; {\ Frac {1} {2}} \; \, = {\ sqrt { 3}}}$
90° = π / 2 radiany	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {czerwony} {4}}}} {2}} = \; \, 1}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {\ mathbf {\ kolor {niebieski}}}} {2}} = \; \, 0}$	${\ Displaystyle \; \; 1 \; \; {\ Duży /} \; \; 0 \; \; =}$ undefined

Wykres sześciokątny

Mnemoniki tożsamości trygonometrycznych

Inny mnemonik pozwala na szybkie odczytanie wszystkich podstawowych tożsamości. Wykres heksagonalny można skonstruować przy odrobinie zastanowienia:

1. Narysuj trzy trójkąty skierowane w dół, stykające się w jednym punkcie. To przypomina koniczynę schronu przeciwatomowego .
2. Wpisz 1 pośrodku, gdzie stykają się trzy trójkąty
3. Zapisz funkcje bez „co” na trzech zewnętrznych wierzchołkach po lewej stronie (od góry do dołu: sinus , styczna , sieczna )
4. Zapisz kofunkcje na odpowiednich trzech prawych wierzchołkach zewnętrznych ( cosinus , co tangens, cosecans )

Zaczynając od dowolnego wierzchołka powstałego sześciokąta:

• Wierzchołek początkowy jest równy jeden nad przeciwległym wierzchołkiem. Na przykład ${\ Displaystyle \ sin A = {\ Frac {1} {\ csc A}}}$
• Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, początkowy wierzchołek jest równy następnemu wierzchołkowi podzielonemu przez następny wierzchołek. Na przykład ${\ Frac {\ cos A} {\ łóżeczko A}} = {\ Frac {\ tan A} {\sec A}}}$
• Róg początkowy jest równy iloczynowi dwóch najbliższych sąsiadów. Na przykład ${\ Displaystyle \ sin A = \ cos A \ cdot \ tan A}$
• Suma kwadratów dwóch elementów na górze trójkąta równa się kwadratowi elementu na dole. Oto tożsamości trygonometryczne Pitagorasa :

${\ Displaystyle \ grzech ^ {2} A + \ sałata ^ {2} A = 1 \ }$

$\ łóżko polowe ^ {2} A = \ csc ^ {2} A \ }$

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} A + 1 = \ s ^ {2} A \}$

Oprócz ostatniego punktora, w tej tabeli podsumowano konkretne wartości dla każdej tożsamości:

Funkcja uruchamiania	... równa się 1 / przeciwieństwo	... równa się pierwszy / drugi zgodnie z ruchem wskazówek zegara	... równa się pierwszy / drugi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara / przeciwnie do ruchu wskazówek zegara	... równa się iloczynowi dwóch najbliższych sąsiadów
${\ Displaystyle \ dębnik A}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ łóżeczko A}}}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {\ sin A} {\ cos A}}}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {\ sec A} {\ csc A}}}$	${\ Displaystyle = \ grzech A \ cdot \ sek A}$
${\ Displaystyle \ grzech A}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ csc A}}}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {\ cos A} {\ łóżeczko A}}$	$\ Displaystyle = {\ Frac {\ tan A} {\ sec A}}}$	${\ Displaystyle = \ sałata A \ cdot \ tan A}$
${\ Displaystyle \ sałata A}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ s A}}}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {\ łóżeczko A} {\ csc A}}}$	$\ Displaystyle = {\ Frac {\ sin A} {\ tan A}}}$	${\ Displaystyle = \ grzech A \ cdot \ łóżko polowe A}$
${\ Displaystyle \ łóżeczko A}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ tan A}}}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {\ csc A} {\ sec A}}}$	$\ Displaystyle = {\ Frac {\ cos A} {\ sin A}}}$	${\ Displaystyle = \ sałata A \ cdot \ csc A}$
${\ Displaystyle \ csc A}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ sin A}}}$	$\ Displaystyle = {\ Frac {\ sec A} {\ tan A}}}$	$\ Displaystyle = {\ Frac {\ łóżeczko A} {\ cos A}}}$	${\ Displaystyle = \ łóżeczko A \ cdot \ s A}$
${\ Displaystyle \ sec A}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ sałata A}}}$	${\ Displaystyle = {\ Frac {\ tan A} {\ sin A}}}$	$}$	${\ Displaystyle = \ csc A \ cdot \ tan A}$

Zobacz też

• Lista tożsamości trygonometrycznych