Model Deal-Grove

Model Deal-Grove matematycznie opisuje wzrost warstwy tlenku na powierzchni materiału. W szczególności służy do przewidywania i interpretacji utleniania termicznego krzemu w produkcji urządzeń półprzewodnikowych . Model został po raz pierwszy opublikowany w 1965 roku przez Bruce'a Deala i Andrew Grove'a z Fairchild Semiconductor , bazując na pracy Mohameda M. Atalla nad pasywacją powierzchni krzemu przez utlenianie termiczne w Bell Labs pod koniec lat pięćdziesiątych. Służyło to jako krok w rozwoju CMOS i produkcji układów scalonych .

Założenia fizyczne

Model zakłada, że ​​reakcja utleniania zachodzi na granicy między warstwą tlenku a materiałem podłoża, a nie między tlenkiem a otaczającym gazem . W związku z tym uwzględnia trzy zjawiska, którym podlegają gatunki utleniające, w następującej kolejności:

1. Dyfunduje z większości otaczającego gazu na powierzchnię .
2. Dyfunduje przez istniejącą warstwę tlenku do granicy faz tlenek-podłoże.
3. Reaguje z podłożem.

Model zakłada, że ​​każdy z tych etapów przebiega z szybkością proporcjonalną do stężenia utleniacza. W pierwszym kroku oznacza to prawo Henry'ego ; w drugim prawo dyfuzji Ficka ; w trzecim reakcja pierwszego rzędu w odniesieniu do utleniacza. Zakłada również ustalony , tzn. nie występują efekty przejściowe.

Wyniki

Biorąc pod uwagę te założenia, strumień utleniacza przez każdą z trzech faz można wyrazić za pomocą stężeń, właściwości materiału i temperatury.

${\ Displaystyle J_ {gaz} = h_ {g} (C_ {g} -C_ {s})}$

$}} jot$

${ \displaystyle J_ {reagowanie} = k_ {i} C_ {i}}$

${\ Displaystyle J_ {gaz} = J_ {tlenek} = J_ {reagowanie}$ sobie, jot } można wyprowadzić następujące zależności:

${\ Displaystyle {\ Frac {C_ {i}} {C_ {g}}} = {\ Frac {1} {1+ k_{i}/h_{g}+{k_{i}x}/D_{ox}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {C_ {s}} {C_ {g}}} = {\ Frac {1 + {k_ {i} x} / D_ {ox}} {1 + k_ {i} /h_{g}+{k_{i}x}/D_{ox}}}}$

Zakładając wzrost kontrolowany przez dyfuzję, tj. Gdzie $Displaystyle$$\ displaystyle C_ {$ wzrostu i zastępując i do $C_ {s}}$ do do sol ${g}}$ z powyższych dwóch relacji na ${\ Displaystyle J_ {tlenek}}$ i $Displaystyle J_ {reagowanie}}$ odpowiednio równanie, otrzymuje się:

$Displaystyle J_ {tlenek} = J_ {reagowanie} = { \frac {k_{i}C_{g}}{1+k_{i}/h_{g}+{k_{i}x}/D_{ox}}}}$

Jeśli N jest stężeniem utleniacza w jednostkowej objętości tlenku, to szybkość wzrostu tlenku można zapisać w postaci równania różniczkowego. Rozwiązanie tego równania daje grubość tlenku w dowolnym czasie t .

$\ frac {J_{tlenek}}{N}}={\frac {k_{i}C_{g}/N}{1+k_{i}/h_{g}+{k_{i}x}/D_{ wół}}}}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + Ax = Bt + {x_ {i}} ^ {2} + Ax_ {i}}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + Ax = B (t + \ tau)}$

gdzie stałe i ${\ displaystyle$$}$ zawierają odpowiednio właściwości reakcji i warstwy tlenku, a $to$ warstwa tlenku, która była obecna na powierzchnia. Stałe te są podane jako:

${\ Displaystyle A = 2D_ {ox} ({\ Frac {1} {k_ {i}}} + {\ Frac {1} {h_ {g} }})}$

${\ Displaystyle B = {\ Frac {2D_ {ox} C_ {s}} {N}}}$

${\ Displaystyle \ tau = {\frac {x_{i}^{2}+Ax_{i}}{B}}}$

gdzie do $Displaystyle C_ {s} = HP_ {g}}$$\$ gdzie jest rozpuszczalności gazu z prawa Henry'ego i ${\ Displaystyle P_ {g}}$ ciśnienie cząstkowe gazu dyfuzyjnego.

Rozwiązanie równania kwadratowego dla x daje:

${\ Displaystyle x (t) = {\ Frac {-A + {\ sqrt {{A ^ {2}} + 4 (B )(t+\tau )}}}{2}}}$

Biorąc pod uwagę krótkie i długie granice czasowe powyższego równania, ujawniają się dwa główne tryby działania. Pierwszy tryb $mały$ w którym wzrost jest liniowy, występuje początkowo, . Drugi tryb daje kwadratowy wzrost i występuje, gdy tlenek gęstnieje wraz ze wzrostem czasu utleniania.

${\ Displaystyle t + \ tau \ ll {\ Frac {A ^ {2}} {4B}} \ Strzałka w prawo x (t) = {\ Frac {B} {A}} (t + \ tau)}$

${\ Displaystyle t + \ tau \ gg {\ Frac {A ^ {2}}{4B}}\strzałka w prawo x(t)={\sqrt {B(t+\tau )}}}$

Wielkości B i B/A są często nazywane kwadratowymi i liniowymi stałymi szybkości reakcji . Zależą wykładniczo od temperatury, jak poniżej:

$\ Displaystyle B = B_ {0} e ^ {- E_ {A} / kT}; \ quad B / A = (B / A) _ { 0}e^{-E_{A}/kT}}$

gdzie $jest$ energią i jest stałą w $.$ _ ${\ displaystyle E_ {A}}$ różni się od jednego równania do drugiego. Poniższa tabela zawiera wartości czterech parametrów krzemu monokrystalicznego w warunkach typowych dla przemysłu (niskie domieszkowanie , ciśnienie atmosferyczne ). Stała szybkości liniowej zależy od orientacji kryształu (zwykle wskazywanej przez wskaźniki Millera płaszczyzny kryształu zwróconej w stronę powierzchni). W tabeli podano wartości dla krzemu <100> i <111>.

Parametr	Ilość	mokro ( ${\ Displaystyle H_ {2} O}$ )	suchy ( ${\ Displaystyle O_ {2}}$ )
Stała szybkości liniowej	${\ Displaystyle (B / A) _ {0} \ \ lewo ({\ Frac {\ mu m} {hr}} \ prawej)}$	<100>: 9,7 × 10 7 <111>: 1,63 × 10 8	<100>: 3,71 × 10 6 <111>: 6,23 × 10 6
	$\ Displaystyle E_ {A}}$ ( eV )	2.05	2.00
Stała szybkości parabolicznej	${\ Displaystyle B_ {0} \ \ lewo ({\ Frac {(\ mu m) ^ {2}} {hr}} \ prawej)}$	386	772
	$\ Displaystyle E_ {A}}$ (eV)	0,78	1.23

Ważność dla krzemu

Model Deal-Grove działa bardzo dobrze w przypadku monokrystalicznego krzemu w większości warunków. $, że bardzo cienkie tlenki (mniej niż$ 25 nanometrów) rosną znacznie szybciej w niż przewiduje model. W nanostrukturach krzemowych (np. nanoprzewodach krzemowych ) po tym szybkim wzroście zazwyczaj następuje zmniejszenie kinetyki utleniania w procesie znanym jako utlenianie samoograniczające, co wymaga modyfikacji modelu Deala-Grove'a.

Jeśli tlenek rosnący na określonym etapie utleniania znacznie przekracza 25 nm, prosta regulacja odpowiada za nieprawidłową szybkość wzrostu. Model daje dokładne wyniki dla grubych tlenków, jeśli zamiast zakładać zerową grubość początkową (lub jakąkolwiek początkową grubość mniejszą niż 25 nm), założymy, że 25 nm tlenku istnieje przed rozpoczęciem utleniania. Jednak w przypadku tlenków bliskich lub cieńszych od tego progu należy zastosować bardziej wyrafinowane modele.

W latach 80. stało się oczywiste, że aktualizacja modelu Deal-Grove jest konieczna do modelowania wspomnianych cienkich tlenków (przypadki samoograniczające). Jednym z takich podejść, które dokładniej modeluje cienkie tlenki, jest model Massouda z 1985 roku [2]. Model Massouda jest analityczny i oparty na równoległych mechanizmach utleniania. Zmienia parametry modelu Deal-Grove, aby lepiej modelować początkowy wzrost tlenku z dodatkiem warunków zwiększania szybkości.

Model Deal-Grove zawodzi również w przypadku krzemu polikrystalicznego („polikrzemu”). Po pierwsze, przypadkowa orientacja ziaren kryształu utrudnia wybór wartości stałej szybkości liniowej. Po drugie, cząsteczki utleniaczy szybko dyfundują wzdłuż granic ziaren, tak że polikrzem utlenia się szybciej niż krzem monokrystaliczny.

domieszek napinają siatkę krzemową i ułatwiają atomom krzemu wiązanie się z napływającym tlenem. Efekt ten można w wielu przypadkach pominąć, ale silnie domieszkowany krzem utlenia się znacznie szybciej. Ciśnienie otaczającego gazu również wpływa na szybkość utleniania.

Bibliografia

• Massoud, HZ; JD Plummer (1985). „Termiczne utlenianie krzemu w suchym tlenie: Dokładne określenie kinetycznych stałych szybkości”. Dziennik Towarzystwa Elektrochemicznego . 132 (11): 2693-2700. doi : 10.1149/1.2113649 .
•   Jaeger, Richard C. (2002). „Termiczne utlenianie krzemu”. Wprowadzenie do wytwarzania mikroelektroniki (wyd. 2). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-201-44494-1 .
• Umowa, BE; AS Grove (grudzień 1965). „Ogólny związek dla termicznego utleniania krzemu”. Journal of Applied Physics . 36 (12): 3770–3778. Bibcode : 1965JAP....36.3770D . doi : 10.1063/1.1713945 .

Linki zewnętrzne

• Kalkulator online uwzględniający wpływ ciśnienia, domieszkowania i cienkiego tlenku