Model korekcji błędów

Model korekcji błędów ( ECM ) należy do kategorii modeli wielu szeregów czasowych najczęściej używanych do danych, w których zmienne bazowe mają długookresowy wspólny trend stochastyczny, znany również jako kointegracja . ECM to oparte na teorii podejście przydatne do szacowania zarówno krótko-, jak i długoterminowego wpływu jednego szeregu czasowego na inny. Termin korekcja błędów odnosi się do faktu, że odchylenie ostatniego okresu od równowagi długookresowej, błąd , wpływa na jego dynamikę w krótkim okresie. Zatem ECM bezpośrednio szacują szybkość, z jaką zmienna zależna powraca do równowagi po zmianie innych zmiennych.

Historia

Yule (1926) oraz Granger i Newbold (1974) jako pierwsi zwrócili uwagę na problem fałszywej korelacji i znaleźli rozwiązania, jak go rozwiązać w analizie szeregów czasowych. Biorąc pod uwagę dwa całkowicie niepowiązane, ale zintegrowane (niestacjonarne) szeregi czasowe, analiza regresji jednego względem drugiego będzie miała tendencję do tworzenia pozornie statystycznie istotnej zależności, a zatem badacz może błędnie sądzić, że znalazł dowód na prawdziwy związek między tymi zmiennymi. Zwykła metoda najmniejszych kwadratów nie będzie już spójna, a powszechnie stosowane statystyki testowe będą nieważne. W szczególności symulacje Monte Carlo pokazują, że uzyska się bardzo wysokie R kwadrat , bardzo wysoką indywidualną statystykę t i niską statystykę Durbina-Watsona . Technicznie rzecz biorąc, Phillips (1986) udowodnił, że oszacowania parametrów nie będą zbieżne pod względem prawdopodobieństwa , punkt przecięcia będzie się rozchodził, a nachylenie będzie miało rozkład niezdegenerowany wraz ze wzrostem wielkości próby. Jednak może istnieć wspólny trend stochastyczny dla obu szeregów, który jest naprawdę zainteresowany badacza, ponieważ odzwierciedla długookresową zależność między tymi zmiennymi.

Ze względu na stochastyczny charakter trendu nie jest możliwe rozbicie szeregów scalonych na trend deterministyczny (przewidywalny) i szereg stacjonarny zawierający odchylenia od trendu. Nawet w deterministycznie zniechęconych błądzeniach losowych w końcu pojawią się fałszywe korelacje. Zatem detrending nie rozwiązuje problemu oszacowania.

Aby nadal korzystać z podejścia Boxa-Jenkinsa , można by rozróżnić szeregi, a następnie oszacować modele, takie jak ARIMA , biorąc pod uwagę, że wiele powszechnie stosowanych szeregów czasowych (np. w ekonomii) wydaje się być stacjonarnymi w pierwszych różnicach. Prognozy z takiego modelu nadal będą odzwierciedlać występujące w danych cykle i sezonowość. Jednak wszelkie informacje o korektach długoterminowych, które mogą zawierać dane w poziomach, są pomijane, a prognozy długoterminowe będą niewiarygodne.

To skłoniło Sargana (1964) do opracowania metodologii ECM, która zachowuje informacje o poziomie.

Oszacowanie

W literaturze znanych jest kilka metod szacowania udoskonalonego modelu dynamicznego, jak opisano powyżej. Wśród nich jest dwuetapowe podejście Engle'a i Grangera, szacowanie ich ECM w jednym kroku oraz oparte na wektorach VECM przy użyciu metody Johansena .

Podejście dwuetapowe Engle'a i Grangera

Pierwszym krokiem tej metody jest wstępne przetestowanie poszczególnych szeregów czasowych, z których się korzysta, aby potwierdzić, że są one w pierwszej kolejności niestacjonarne . Można to zrobić za pomocą standardowego testowania pierwiastka jednostkowego DF i testu ADF (w celu rozwiązania problemu błędów skorelowanych szeregowo). Weźmy przypadek dwóch różnych serii $y_$ y ${t}}$ . Jeśli oba są I(0), standardowa analiza regresji będzie ważna. Jeśli są one całkowane innego rzędu, np. jedno jest I(1), a drugie I(0), trzeba przekształcić model.

Jeśli oba są zintegrowane w tym samym porządku (zwykle I(1)), możemy oszacować model ECM postaci

{\ Displaystyle A (L) \, \ Delta y_ {t} = \ gamma + B (L) \, \ Delta x_ {t} + \ alfa (y_ {t-1} - \ beta _ {0} - \ beta _{1}x_{t-1})+\nu _{t}.}

Jeśli obie zmienne są zintegrowane i ten ECM istnieje, są one kointegrowane przez twierdzenie o reprezentacji Engle-Grangera.

Drugim krokiem jest zatem oszacowanie modelu przy użyciu zwykłych najmniejszych kwadratów : ${\ Displaystyle y_ {t} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} x_ {t }+\varepsilon _{t}}$ Jeśli regresja nie jest fałszywa, jak określono na podstawie kryteriów testowych opisanych powyżej, metoda zwykłych najmniejszych kwadratów będzie nie tylko ważna, ale w rzeczywistości będzie bardzo spójna (Stock, 1987). Wtedy przewidywane reszty ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ varepsilon _ {t}}} = y_ {t} - \ beta _ {0} - \ beta _ {1 }x_{t}}$ z tej regresji są zapisywane i używane w regresji zmiennych różnicowych plus opóźniony termin błędu

{\ Displaystyle A (L) \, \ Delta y_ {t} = \ gamma + B (L) \, \ Delta x_ {t} + \ alfa {\ kapelusz {\ varepsilon}} _ {t-1} + \ orzech}.}

$Następnie$ można przetestować kointegrację przy użyciu standardowej t na . Chociaż podejście to jest łatwe do zastosowania, istnieje jednak wiele problemów:

Zastosowane w pierwszym etapie testy jednowymiarowego pierwiastka jednostkowego mają niską moc statystyczną
Wybór zmiennej zależnej w pierwszym etapie wpływa na wyniki testu, tj. potrzebujemy słabej egzogeniczności dla wyznaczonej przez przyczynowość Grangera ${\ displaystyle x_ {t}}$
Potencjalnie można mieć mały błąd próbki
Test kointegracji na $standardowego$ ma rozkładu
Trafności parametrów długookresowych w pierwszym etapie regresji, w którym uzyskuje się reszty, nie można zweryfikować, ponieważ rozkład estymatora OLS wektora kointegrującego jest wysoce skomplikowany i nienormalny
Można zbadać co najwyżej jedną relację kointegrującą. ^{[ potrzebne źródło ]}

VECM

Opisane powyżej podejście Engle-Granger ma wiele słabości. Mianowicie ogranicza się tylko do jednego równania z jedną zmienną wyznaczoną jako zmienna zależna, wyjaśnioną przez inną zmienną, która jest słabo egzogeniczna dla interesujących nas parametrów. Polega również na wstępnym testowaniu szeregów czasowych, aby dowiedzieć się, czy zmienne to I(0), czy I(1). Te słabości można rozwiązać, stosując procedurę Johansena. Jej zaletą jest brak konieczności wstępnego testowania, możliwość istnienia wielu zależności kointegrujących, traktowanie wszystkich zmiennych jako endogenicznych oraz możliwość testowania parametrów długookresowych. Powstały model jest znany jako model wektorowej korekcji błędów (VECM), ponieważ dodaje funkcje korekcji błędów do modelu wieloczynnikowego znanego jako autoregresja wektorowa (VAR). Procedura jest wykonywana w następujący sposób:

Krok 1: oszacuj nieograniczoną VAR obejmującą potencjalnie niestacjonarne zmienne
Krok 2: Sprawdź kointegrację za pomocą testu Johansena
Krok 3: Utwórz i przeanalizuj VECM.

Przykład ECM

Ideę kointegracji można przedstawić w prostym kontekście makroekonomicznym. Załóżmy, że konsumpcja $i$ $są makroekonomicznymi szeregami czasowymi$ do które są powiązane w dłuższej perspektywie (patrz dochodu stałego ). W szczególności niech średnia skłonność do konsumpcji wyniesie 90%, czyli na dłuższą metę do ${\ displaystyle C_ {t} = 0,9Y_ {t}$ . Z punktu widzenia ekonometrysty ta długookresowa zależność (inaczej kointegracja) istnieje, jeśli błędy z regresji do $}$ $\ Displaystyle C_ {t} = \ beta Y_ {t} + \ varepsilon _ {t$ $_ Załóżmy również,$ są $szeregami$ stacjonarnymi , i niestacjonarne ${\ Displaystyle \ Delta C_ {t} = 0,5 \, \ Delta Y_ {t}}$ jeśli nagle zmienia się o $Displaystyle$ $\ Delta Y_ {t}}$ , to zmienia się o $}}$ , czyli krańcowa skłonność do konsumpcji wynosi 50%. Nasze ostateczne założenie jest takie, że różnica między konsumpcją bieżącą a konsumpcją równowagi zmniejsza się w każdym okresie o 20%.

${\ Displaystyle \ Delta C_ {t} = 0,5 \, \ Delta Y_ {t} -0,2 (C_ {t-1} -0,9 Y_{t-1})+\varepsilon _{t}}$ $_$ zmianę _ . Pierwszy $,$ krótkoterminowy wpływ zmiany na $między$ człon wyjaśnia długookresową grawitację w kierunku relacji zmiennymi, a trzeci składnik odzwierciedla przypadkowe wstrząsy, które system otrzymuje (np. wstrząsy zaufania konsumentów, które mają wpływ na konsumpcję). Aby zobaczyć, jak działa model, rozważ dwa rodzaje wstrząsów: trwałe i przejściowe (tymczasowe). Dla uproszczenia niech będzie zero dla wszystkich t. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {t}}$ Załóżmy, że w okresie t - 1 system jest w równowadze, tj. do $\ Displaystyle C_ {t-1} = 0,9Y_ {t-1}}$ . Załóżmy, że w okresie t dochód do dyspozycji $10$ , a następnie powraca do poprzedniego poziomu. Następnie $t)$ wzrasta o 5 (połowa z 10), ale po drugim okresie i zbiega się do poziomu początkowego do $\ displaystyle C_ {t}}$ . W przeciwieństwie do tego, jeśli szok dla $}$ trwały, to ${$ zbiega się do wartości przekraczającej początkową. do $\$ o 9.

Ta struktura jest wspólna dla wszystkich modeli ECM. W praktyce ekonometrycy często najpierw szacują zależność kointegracji (równanie w poziomach), a następnie wstawiają ją do głównego modelu (równanie w różnicach).

Dalsza lektura

Dolado, Juan J.; Gonzalo, Jezus; Marmol, Francesc (2001). „Kointegracja”. W Baltagi, Badi H. (red.). Towarzysz ekonometrii teoretycznej . Oksford: Blackwell. s. 634 –654. doi : 10.1002/9780470996249.ch31 . ISBN 0-631-21254-X .
Enders, Walter (2010). Stosowane ekonometryczne szeregi czasowe (wyd. Trzecie). Nowy Jork: John Wiley & Sons. s. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7 .
Lütkepohl, Helmut (2006). Nowe wprowadzenie do analizy wielu szeregów czasowych . Berlin: Springer. s. 237 –352. ISBN 978-3-540-26239-8 .
Marcin, Vance; Hurn, Stan; Harris, David (2013). Modelowanie ekonometryczne z szeregami czasowymi . Nowy Jork: Cambridge University Press. s. 662–711. ISBN 978-0-521-13981-6 .