Model parametryczny

Ten artykuł jest o statystykach. Aby zapoznać się z matematyczną i komputerową reprezentacją obiektów, zobacz Modelowanie bryłowe .

W statystyce model parametryczny , rodzina parametryczna lub model skończenie wymiarowy to szczególna klasa modeli statystycznych . W szczególności model parametryczny to rodzina rozkładów prawdopodobieństwa , która ma skończoną liczbę parametrów.

Definicja

Model statystyczny to zbiór rozkładów prawdopodobieństwa w pewnej przestrzeni próbnej . Zakładamy, że zbiór 𝒫 jest indeksowany przez jakiś zbiór Θ . Zbiór Θ nazywany jest zestawem parametrów lub częściej przestrzenią parametrów . Dla każdego θ ∈ Θ niech P _θ oznacza odpowiedniego członka zbioru; więc P _θ jest skumulowaną funkcją dystrybucji . Wtedy model statystyczny można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ duży \ {} P _ {\ teta} \ {\ duży |} \ \ teta \ w \ Theta {\ duży \}}.}$

Model jest modelem parametrycznym , jeśli Θ ⊆ ℝ ^k dla pewnej dodatniej liczby całkowitej k .

Gdy model składa się z absolutnie ciągłych rozkładów, jest często określany za pomocą odpowiednich funkcji gęstości prawdopodobieństwa :

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ duży \ {} f_ {\ teta} \ {\ duży |} \ \ teta \ w \ Theta {\ duży \}}.}$

Przykłady

• Rodzina rozkładów Poissona jest parametryzowana przez pojedynczą liczbę λ > 0 :

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ duży \ {} \ p _ {\ lambda} (j) = {\ tfrac {\ lambda ^ {j}} {j!}} e ^ {- \ lambda} ,\ j=0,1,2,3,\kropki \ {\Duży |}\;\;\lambda >0\ {\Duży \}},}$

gdzie p _λ jest funkcją masy prawdopodobieństwa . Ta rodzina jest rodziną wykładniczą .

• Normalna rodzina jest sparametryzowana przez θ = ( μ , σ ) , gdzie μ ∈ ℝ jest parametrem lokalizacji, a σ > 0 jest parametrem skali:

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ duży \ {} \ f _ {\ theta} (x) = {\ tfrac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma}} \ exp \ left(-{\tfrac {(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Duży |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma > 0\ {\Duży \}}.}$

Ta sparametryzowana rodzina jest zarówno rodziną wykładniczą , jak i rodziną w skali lokalizacji .

• ma Model parametr _ _ _ _ _ translacji Weibulla trójwymiarowy _

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ duży \ {} \ f _ {\ theta} (x) = {\ tfrac {\ beta} {\ lambda}} \ lewo ({\ tfrac {x- \ mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda } }{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Duży |}\;\;\lambda >0,\ ,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

• Model dwumianowy jest sparametryzowany przez θ = ( n , p ) , gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą, a p jest prawdopodobieństwem (tj. p ≥ 0 i p ≤ 1 ):

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ duży \ {} \ p _ {\ theta} (k) = {\ tfrac {n!} {k! (nk)!}} \ p ^ {k} (1-p)^{nk},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Duży |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\, p\geq 0\land p\leq 1{\Duży \}}.}$

Ten przykład ilustruje definicję modelu z pewnymi parametrami dyskretnymi.

Uwagi ogólne

Model parametryczny nazywamy identyfikowalnym , jeśli odwzorowanie θ ↦ P _θ jest odwracalne, tj. nie ma dwóch różnych wartości parametrów θ ₁ i θ ₂ takich, że P _{θ 1} = P _{θ 2} .

Porównania z innymi klasami modeli

Modele parametryczne przeciwstawia się modelom semi-parametrycznym , semi-nieparametrycznym i nieparametrycznym , z których wszystkie składają się z nieskończonego zestawu „parametrów” do opisu. Rozróżnienie między tymi czterema klasami jest następujące:

• w modelu „ parametrycznym ” wszystkie parametry znajdują się w skończenie wymiarowych przestrzeniach parametrów;
• model jest „ nieparametryczny ”, jeśli wszystkie parametry znajdują się w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach parametrów;
• „ półparametryczny ” zawiera interesujące parametry skończonych wymiarów i uciążliwe parametry nieskończenie wymiarowe ;
• „ pół-nieparametryczny ” ma zarówno skończone, jak i nieskończenie wymiarowe nieznane parametry będące przedmiotem zainteresowania.

Niektórzy statystycy uważają, że pojęcia „parametryczny”, „nieparametryczny” i „półparametryczny” są niejednoznaczne. Można również zauważyć , że zbiór wszystkich miar prawdopodobieństwa ma liczność continuum , a zatem możliwe jest sparametryzowanie dowolnego modelu pojedynczą liczbą w przedziale (0,1). Tej trudności można uniknąć, biorąc pod uwagę tylko „gładkie” modele parametryczne.

Zobacz też

• Rodzina parametryczna
• Statystyka parametryczna
• Model statystyczny
• Specyfikacja modelu statystycznego

Bibliografia

• Bickel, Peter J .; Doksum, Kjell A. (2001), Statystyka matematyczna: podstawowe i wybrane zagadnienia , tom. 1 (drugie (zaktualizowany druk 2007) red.), Prentice-Hall
• Bickel, Peter J .; Klaassen, Chris AJ; Ritov, Ya'acov; Wellner, Jon A. (1998), Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models , Springer
• Davison, AC (2003), Modele statystyczne , Cambridge University Press
• Le Cam, Lucien ; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics: Niektóre podstawowe pojęcia (wyd. 2), Springer
• Lehmann, Erich L .; Casella, George (1998), Theory of Point Estimation (wyd. 2), Springer
• Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008), Statystyczna teoria decyzji: szacowanie, testowanie i selekcja , Springer
•   Pfanzagl, Johann; z pomocą R. Hambökera (1994), Parametric Statistical Theory , Walter de Gruyter , MR 1291393