Modelowanie behawioralne

Podejście behawioralne do teorii systemów i teorii sterowania zostało zapoczątkowane pod koniec lat 70. XX wieku przez JC Willemsa w wyniku rozwiązania niespójności występujących w klasycznych podejściach opartych na reprezentacji przestrzeni stanów, funkcji przejścia i splotów. Podejście to jest również motywowane celem uzyskania ogólnych ram dla analizy systemu i sterowania, które respektują podstawową fizykę .

Głównym obiektem w ustawieniu behawioralnym jest zachowanie – zbiór wszystkich sygnałów zgodnych z systemem. Ważną cechą podejścia behawioralnego jest to, że nie rozróżnia ono priorytetu między zmiennymi wejściowymi i wyjściowymi. Oprócz ścisłego postawienia teorii systemów i kontroli, podejście behawioralne ujednoliciło istniejące podejścia i przyniosło nowe wyniki w zakresie sterowalności systemów nD , sterowania poprzez wzajemne połączenia i identyfikacji systemów.

Układ dynamiczny jako zbiór sygnałów

W ustawieniu behawioralnym system dynamiczny jest potrójny

{\ Displaystyle \ Sigma = (\ mathbb {T}, \ mathbb {W}, {\ mathcal {B}})}

Gdzie

${\ Displaystyle \ mathbb {T} \ subseteq \ mathbb {R}}$ to „zestaw czasu” - czas, w którym ewoluuje system,
$mathbb {W}}$ „przestrzeń sygnałowa” - zbiór, w którym zmienne, których ewolucja w czasie jest modelowana, przyjmują swoje wartości i W {\ displaystyle \
${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ mathbb {W} ^ {\ mathbb {T}}}$ „zachowanie” - zestaw sygnałów zgodnych z prawami systemu

(

{\ Displaystyle \ mathbb {W} ^ {\ mathbb {T}}}

oznacza zbiór wszystkich sygnałów, tj. funkcje od

{\ displaystyle \ mathbb {T}}

do

{\ displaystyle \ mathbb {W} } }

).

${\ Displaystyle w \ in {\ mathcal {B}}}$ oznacza, że ${\ displaystyle w}$ jest trajektorią układu, podczas gdy ${\ Displaystyle w \ notin {\ mathcal {B}}} oznacza$ $,$ że prawa systemu zabraniają zaistnienia Przed modelowaniem zjawiska każdy sygnał w $gdy$ $za możliwy, podczas$ po modelowaniu tylko wyniki $}}$ pozostają możliwościami.

Przypadki specjalne:

${\ Displaystyle \ mathbb {T} = \ mathbb {R}}$ - systemy czasu ciągłego
${\ Displaystyle \ mathbb {T} = \ mathbb {Z}}$ - systemy czasu dyskretnego
${\ Displaystyle \ mathbb {W} = \ mathbb {R} ^ {q}}$ - większość systemów fizycznych
$zbiór$ - dyskretne systemy zdarzeń

Liniowe układy różniczkowe niezmienne w czasie

Właściwości systemu są definiowane w kategoriach zachowania. Mówi się, że system ${\ Displaystyle \ Sigma = (\ mathbb {T}, \ mathbb {W}, {\ mathcal {B}})}$

„liniowy”, jeśli jest $przestrzenią$ wektorową i jest liniową podprzestrzenią ${T} }}$ $mathbb$ ${W} ^ {$ ,
„niezmienny w czasie”, jeśli zestaw czasu składa się z liczb rzeczywistych lub naturalnych oraz

{\ Displaystyle \ sigma ^ {t} {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {B}}}

dla wszystkich

{\ Displaystyle t \ w \ mathbb {T}}

,

gdzie ${\ Displaystyle \ sigma ^ {t}}$ oznacza przesunięcie, zdefiniowane przez ${\ displaystyle t}$

{\ Displaystyle \ sigma ^ {t} (f) (t '): = f (t' + t)}

.

W tych definicjach liniowość artykułuje prawo superpozycji , podczas gdy niezmienność w czasie wyraża, że przesunięcie w czasie legalnej trajektorii jest z kolei legalną trajektorią.

$}})}$ ${\ Displaystyle \ Sigma = (\ mathbb {R}, \ mathbb {R} ^ {q}, {\ mathcal$ { $R$ , którego zachowanie jest zbiorem rozwiązań układu liniowych równań różniczkowych zwyczajnych o stałym współczynniku $w = 0$ $\ Displaystyle R (d / dt$ ) , gdzie jest $macierzą$ o rzeczywistych współczynnikach. Współczynniki $parametrami$ modelu. Aby zdefiniować odpowiednie zachowanie, musimy określić $,$ kiedy ${\ Displaystyle R (d / dt) w = 0}$ . Dla ułatwienia ekspozycji rozważa się często nieskończone rozwiązania różniczkowalne. Istnieją inne możliwości, takie jak przyjmowanie rozwiązań dystrybucyjnych lub rozwiązań w ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ rm {lokalny}} (\ mathbb {R}, \mathbb {R} ^{q})}$ i równaniami różniczkowymi zwyczajnymi interpretowanymi w sensie rozkładów. Zdefiniowane zachowanie to

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {w \ w {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R} ^ {q}) ~ | ~ R ( d/dt)w(t)=0{\text{dla wszystkich}}t\in \mathbb {R} \}.}

Ten szczególny sposób reprezentacji systemu nazywany jest „reprezentacją jądra” odpowiedniego systemu dynamicznego. Istnieje wiele innych użytecznych reprezentacji tego samego zachowania, w tym funkcja przenoszenia, przestrzeń stanów i splot.

Aby zapoznać się z dostępnymi źródłami dotyczącymi podejścia behawioralnego, zobacz .

Obserwowalność zmiennych latentnych

Kluczowym pytaniem podejścia behawioralnego jest to, czy można wydedukować wielkość w1, mając obserwowaną wielkość w2 i model . Jeśli w1 można wydedukować, mając w2 i model, mówi się, że w2 jest obserwowalny . Jeśli chodzi o modelowanie matematyczne, wielkość lub zmienna, która ma zostać wydedukowana, jest często określana jako zmienna ukryta , a zmienna obserwowana jest zmienną manifestowaną. Taki system nazywa się wtedy systemem obserwowalnym (zmiennym ukrytym).

Dodatkowe źródła

Paolo Rapisarda i Jan C.Willems, 2006. Najnowsze osiągnięcia w teorii systemów behawioralnych , 24–28 lipca 2006, MTNS 2006, Kioto, Japonia
JC Willemsa. Terminale i porty. Magazyn IEEE Circuits and Systems, tom 10, wydanie 4, strony 8–16, grudzień 2010 r.
JC Willemsa i HL Trentelmana. O kwadratowych formach różniczkowych. SIAM Journal on Control and Optimization, tom 36, strony 1702-1749, 1998
JC Willemsa. Paradygmaty i zagadki w teorii układów dynamicznych. IEEE Transactions on Automatic Control Tom 36, strony 259-294, 1991
JC Willemsa. Modele dynamiki. Dynamics Reported, tom 2, strony 171-269, 1989