Moment czynnikowy
W teorii prawdopodobieństwa moment silni jest wielkością matematyczną zdefiniowaną jako wartość oczekiwana lub średnia opadającej silni zmiennej losowej . Momenty czynnikowe są przydatne do badania nieujemnych zmiennych losowych o wartościach całkowitych i powstają przy użyciu funkcji generujących prawdopodobieństwo do wyprowadzenia momentów dyskretnych zmiennych losowych.
Momenty czynnikowe służą jako narzędzia analityczne w matematycznej dziedzinie kombinatoryki, która jest badaniem dyskretnych struktur matematycznych.
Definicja
Dla liczby naturalnej r r -ty moment czynnikowy rozkładu prawdopodobieństwa na liczbach rzeczywistych lub zespolonych, czyli innymi słowy zmiennej losowej X o takim rozkładzie prawdopodobieństwa, wynosi
![\operatorname {E}{\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\operatorname {E}{\bigl [}X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1){\bigr ]},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21967b6d8a0c514ce6ac058c019090f9cdb62d85)
gdzie E jest oczekiwaniem ( operatorem ) i
jest silnią opadającą , która daje początek nazwie, chociaż notacja ( x ) r różni się w zależności od dziedziny matematyki. Oczywiście definicja wymaga, aby oczekiwanie było sensowne, co ma miejsce, gdy ( X ) r ≥ 0 lub E[|( X ) r |] < ∞ .
Jeśli X to liczba sukcesów w n próbach, a p r to prawdopodobieństwo, że dowolne r z n prób zakończy się sukcesem, to
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)p_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73701a3d1cada458997259cea762753c6b642b4b)
Przykłady
Rozkład Poissona
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ , to momenty silni X są
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374202307218b986ee526e682ba9546e658bed0f)
które są proste w formie w porównaniu z momentami , które dotyczą liczb Stirlinga drugiego rodzaju .
Rozkład dwumianowy
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z prawdopodobieństwem sukcesu p ∈ [0,1] i liczbą prób n , to momenty silni X są
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}p^{r}r!=(n)_{r}p^{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be2aedfa8f00f15f8dbc79b80ae3c1c6231bb7e)
gdzie zgodnie z konwencją, i { jako zero r n .
Rozkład hipergeometryczny
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny z wielkością populacji N , liczba stanów sukcesu K ∈ {0,..., N } w populacji i rysuje n ∈ {0,..., N }, to silnia momenty X są
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {{\binom {K}{r}}{\binom {n}{r}}r!}{\binom {N}{r}}}={\frac {(K)_{r}(n)_{r}}{(N)_{r}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914cdf854b02df007e95e783f8292bbf475a6c43)
Rozkład beta-dwumianowy
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład beta-dwumianowy z parametrami α > 0 , β > 0 i liczbą prób n , to momenty silni X wynoszą
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )r!}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8898e6be4868e804d4bd5b9919e8ea587048424b)
Obliczanie momentów
R - ty surowy moment zmiennej losowej X można wyrazić w kategoriach jej momentów silni za pomocą wzoru
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}\left\{{r \atop j}\right\}\operatorname {E} [(X)_{j}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d003974698d34d00dc97563c22d33aaaea482c6)
gdzie nawiasy klamrowe oznaczają liczby Stirlinga drugiego rodzaju .