Mutacja (algebra)

W teorii algebr nad ciałem mutacja jest konstrukcją nowej operacji binarnej związanej z mnożeniem algebry. W szczególnych przypadkach wynikową algebrę można nazwać homotopem lub izotopem oryginału .

Definicje

Niech A będzie algebrą nad ciałem F z mnożeniem (nie zakłada się, że jest asocjacyjne ) oznaczonym przez zestawienie. Dla elementu a z A , zdefiniuj lewą algebrę z mnożeniem ${\ Displaystyle A (a)}$

{\ Displaystyle x * y = (xa) y. \,}

Podobnie zdefiniuj lewą mutację ( za , b ) ${\ Displaystyle A (a, b)$

{\ Displaystyle x * y = (xa) y- (yb) x. \,}

Prawy homotop i mutacja są definiowane analogicznie. Ponieważ prawa ( p , q ) mutacja A jest lewą (− q , − p ) mutacją algebry przeciwnej do A , wystarczy zbadać lewe mutacje.

Jeśli A jest algebrą jednostkową , a a jest odwracalna, oznaczamy izotop przez a .

Nieruchomości

Jeśli A jest asocjacyjne, to tak samo jest z każdym homotopem A i każda mutacja A jest Lie-dopuszczalna .
Jeśli A jest alternatywne , to tak samo jest z każdym homotopem A i każda mutacja A jest dopuszczalna przez Malceva .
Każdy izotop algebry Hurwitza jest izomorficzny z oryginałem.
Homotop algebry Bernsteina przez element o niezerowej wadze jest znowu algebrą Bernsteina.

Algebry Jordana

Algebra Jordana jest algebrą przemienną spełniającą tożsamość Jordana ${\ Displaystyle (xy) (xx) = x (y (xx))}$ . Produkt potrójny Jordana jest zdefiniowany przez

{\ Displaystyle \ {a, b, c \} = (ab) c + (cb) a- (ac) b. \,}

Dla y w A mutacja lub homotop A ^y jest zdefiniowany jako przestrzeń wektorowa A z mnożeniem

{\ Displaystyle a \ circ b = \ {a, y, b \}. \,}

a jeśli y jest odwracalne, nazywa się to izotopem . Homotop algebry Jordana jest ponownie algebrą Jordana: izotop definiuje relację równoważności. Jeśli y jest jądrowy , to izotop przez y jest izomorficzny z oryginałem.

Elduque, Alberto; Myung, Hyo Chyl (1994). Mutacje algebr alternatywnych . Matematyka i jej zastosowania . Tom. 278. Springer-Verlag . ISBN 0792327357 .
Jacobson, Nathan (1996). Skończenie-wymiarowe algebry dzielenia na polach . Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2 . Zbl 0874.16002 .
Koecher, Max (1999) [1962]. Krieg, Alojzy; Walcher, Sebastian (red.). Uwagi z Minnesoty na temat algebr Jordana i ich zastosowań . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 1710 (przedruk wyd.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-66360-6 . Zbl 1072.17513 .
McCrimmon, Kevin (2004). Przedsmak algebr Jordana . Uniwersytekst. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/b97489 . ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 .
Okubo, Susumo (1995). Wprowadzenie do Octonion i innych algebr niezwiązanych w fizyce . Seria wykładów Montroll Memorial z fizyki matematycznej. Berlin, Nowy Jork: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47215-6 . MR 1356224 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2012-11-16 . Źródło 2014-02-04 .