Mutacja (algebra Jordana)

W matematyce , mutacja , zwana także homotopem , jednostkowej algebry Jordana jest nową algebrą Jordana zdefiniowaną przez dany element algebry Jordana. Mutacja ma jednostkę wtedy i tylko wtedy, gdy dany element jest odwracalny, w takim przypadku mutacja nazywana jest mutacją właściwą lub izotopem . Mutacje zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Maxa Koechera w jego algebraicznym podejściu Jordana do hermitowskich przestrzeni symetrycznych i ograniczonych domen symetrycznych typu rurowego. Ich właściwości funkcyjne pozwalają na jawną konstrukcję odpowiedniej hermitowskiej przestrzeni symetrycznej typu zwartego jako kompaktyfikacji skończenie wymiarowej zespolonej półprostej algebry Jordana. Grupa automorfizmu zwartości staje się podgrupą zespoloną , złożonością jej podgrupy maksymalnie zwartej . Obie grupy działają przejściowo na zagęszczenie. Teoria została rozszerzona na wszystkie hermitowskie przestrzenie symetryczne przy użyciu teorii par Jordana lub systemów potrójnych Jordana . Koecher uzyskał wyniki w bardziej ogólnym przypadku bezpośrednio z przypadku algebry Jordana, wykorzystując fakt, że wymagane są tylko pary Jordana związane z automorfizmami algebr Jordana z drugiego okresu.

Definicje

Niech A będzie jednostkową algebrą Jordana na ciele k o charakterystyce ≠ 2. Dla a w A zdefiniuj operator mnożenia Jordana na A przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {L (a) b = ab}}

i reprezentacja kwadratowa Q ( a ) wg

{\ Displaystyle Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}). \,}

To satysfakcjonuje

{\ Displaystyle Q (1) = ja. \,}

fundamentalna tożsamość

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)}}

tożsamość komutacji lub homotopii

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) =R(a,b)Q(a)=2Q(a)b,a),}}

Gdzie

{\ Displaystyle R (a, b) c = 2Q (a, c) b, \, \, \, Q (x, y) = {\ Frac {1} {2}} (Q (x + y) - Q(x)-Q(y)).}

W szczególności, jeśli a lub b jest wtedy odwracalne

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (a, b) = 2Q (a) Q (a ^ {-1}, b) = 2 Q (a, b ^ {- 1}) Q (b).}}

Wynika z tego, że A z operacjami Q i R oraz elementem tożsamości definiuje kwadratową algebrę Jordana , gdzie kwadratowa algebra Jordana składa się z przestrzeni wektorowej A z wyróżnionym elementem 1 i kwadratowego odwzorowania A na endomorfizmy A , a ↦ Q ( a ), spełniając warunki:

$Q (1) = id$
$Q (Q (za) b) = Q (za) Q (b) Q (a)$ („fundamentalna tożsamość”)
$Q (a) R (b, za) = R (a, b) Q (a)$ („tożsamość komutacji lub homotopii”), gdzie $R (a, b) c = (Q (a + c) - Q (a) - Q (do)) b$

Produkt potrójny Jordana jest zdefiniowany przez

cb) a- (ac )B,\,}

aby

{\ Displaystyle Q (a) b = \ {a, b, a \}, \, \, \, Q (a, c) b = \ {a, b, c \}, \, \, \, R (a,b)c=\{a,b,c\}.\,}

Są też formuły

{\ Displaystyle Q (a, b) = L (a) L (b) + L (b) L (a) -L (ab), \, \, \, R (a, b) = [L (a ),L(b)]+L(ab).\,}

Dla y w A mutacja A ^y jest zdefiniowana do przestrzeni wektorowej A z mnożeniem

{\ Displaystyle a \ circ b = \ {a, y, b \}. \,}

Jeśli Q ( y ) jest odwracalna, to wzajemne nazywa się właściwą mutacją lub izotopem .

Kwadratowe algebry Jordana

Niech A będzie kwadratową algebrą Jordana na ciele k o charakterystyce ≠ 2. Idąc za Jacobsonem (1969) , liniowa struktura algebry Jordana może być powiązana z A tak, że jeśli L ( a ) jest mnożeniem Jordana, to dana jest struktura kwadratowa przez Q ( za ) = 2 L ( za ) ² - L ( za ² ).

Po pierwsze aksjomat Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) można wzmocnić do

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a).}}

Rzeczywiście, zastosowane do c , dają pierwsze dwa wyrazy

{\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (a) Q (b, c) a = 2Q (Q (a) c, a) b.}}

Przełączanie b i c następnie daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) c = 2Q (Q (a) b, a) c.}}

Teraz pozwól

{\ Displaystyle \ Displaystyle {L (a) = {\ Frac {1} {2}} R (a, 1).}}

Zastąpienie b przez a i a przez 1 w powyższej tożsamości daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (a, 1) = R (1, a) = 2Q (a, 1).}}

W szczególności

{\ Displaystyle \ Displaystyle {L (a) = Q (a, 1), \, \, \, L (1) = Q (1,1) = I.}}

Produkt Jordan jest podawany przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a \ circ b = L (a) b = {\ Frac {1 }{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}}

aby

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a \ circ b = b \ circ a.}}

Powyższy wzór pokazuje, że 1 jest tożsamością. Definiując 2 przez a ∘ a = Q ( ^a ) 1, jedynym pozostałym warunkiem do zweryfikowania jest tożsamość Jordana

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (a), L (a ^ {2})] = 0.}}

W fundamentalnej tożsamości

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a), }}

Zastąp a przez a + t 1, ustaw b = 1 i porównaj współczynniki t ² po obu stronach:

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) = 2 Q (a, 1) ^ {2} -Q (a ^ {2}, 1) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}) .}}

Ustawienie b = 1 w drugim aksjomacie daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) L (a) = L (a) Q (a),}}

a zatem L ( a ) musi dojeżdżać z L ( a ² ).

Odwrotności

Niech A będzie jednostkową algebrą Jordana nad ciałem k o charakterystyce ≠ 2. Mówimy, że element a w algebrze Jordana A jest odwracalny , jeśli istnieje element b taki, że ab = 1 i a ² b = a .

Nieruchomości.

$a jest odwracalne$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element $b$ taki, że $Q (a) b = ai$ $Q (a) b2 = 1$ . W tym przypadku $ab = 1$ i $a 2 b = a$ .

Jeśli $ab = 1$ i $za 2 b = za$ , to $Q (za) b = 2 za (ab) - (za 2) b = za$ . Tożsamość Jordana $[L (x), L (x 2)] = 0$ można spolaryzować, zastępując $x$ przez $x + ty$ i przyjmując współczynnik $t$ . To daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (x ^ {2}), L (y)] +2[L(xy),L(x)]=0.}}

Biorąc $x = a$ lub $b$ i $y = b$ lub $a$ pokazujemy, że $L(a2 dojeżdża do pracy z$ $) (b2) dojeżdża$ L $(b) i$ L do pracy z $L (a)$ . Stąd $(b 2) (za 2) = 1$ . Stosowanie $L (b)$ daje $b 2 za = b$ . Stąd $Q (za) b 2 = 1$ . I odwrotnie, jeśli $Q (a) b = a$ i $Q (a) b 2 = 1$ , to druga relacja daje $Q (a) Q (b) 2 Q (a) = ja$ . Tak więc zarówno $Q (a)$ i $Q (b)$ są odwracalne. Pierwszy daje $Q (a) Q (b) Q (a) = Q (a)$ tak, że $Q (a)$ i $Q (b)$ są swoimi odwrotnościami. Ponieważ $L (b)$ dojeżdża z $Q (b)$ dojeżdża ze swoją odwrotnością $Q (a)$ . Podobnie $L (a)$ dojeżdża do pracy z $Q (b)$ . Więc $(za 2) b = L (b) za 2 = Q (za) b = a$ i $ab = L (b) Q (za) b = Q (za) Q (b) 1= 1$ .

$a$ jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy $Q (a)$ definiuje bijekcję na $A$ . W takim przypadku $za -1 = Q (za) -1 za$ . W tym przypadku $Q (za) -1 = Q (za -1)$ .

Rzeczywiście, jeśli $a$ jest odwracalne, to z powyższego wynika, że $Q (a)$ jest odwracalne z odwrotnością $Q (b)$ . Dowolna odwrotność b spełnia $Q (a) b = a$ , więc $b = Q (a) -1 za$ . I odwrotnie, jeśli $Q (a)$ jest odwracalne, niech $b = Q (a) -1 za$ . Wtedy $Q (za) b = za$ . Podstawowa tożsamość implikuje zatem, że $Q Q (a) b2 = Q (a) Q (b)1=1$ $(b) i$ Q $(a) są$ swoimi odwrotnościami, tak że .

Jeśli odwrotność istnieje, jest wyjątkowa. Jeśli $a jest odwracalne, jego$ $-1 odwrotność$ jest oznaczona przez .

Wynika to ze wzoru $a -1 = Q (a) -1 a$ .

$a$ jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy 1 leży w obrazie $Q (a)$ .

Załóżmy, że $Q (a) c =1$ . Wtedy przez fundamentalną tożsamość $Q (a)$ jest odwracalna, więc $a$ jest odwracalna.

$Q (a) b jest odwracalne$ $wtedy$ i tylko wtedy , gdy aib są odwracalne, w którym to przypadku $(Q (a) b) -1 = Q (a -1) b .$ $-1$

Jest to bezpośrednią konsekwencją fundamentalnej tożsamości i faktu, że $STS$ jest odwracalny, jeśli i tylko $S$ i $T$ są odwracalne.

Jeśli $a$ jest odwracalne, to $Q (a) L (a -1) = L (a)$ .

W tożsamości komutacji $Q (za) R (b, za) = Q ( Q (za) b, za)$ , ustaw $b = do 2$ gdzie $c = za -1$ . Wtedy $Q(za) b = 1$ i $Q (1, za) = L (za)$ . Ponieważ $L (a)$ dojeżdża z $L (do 2)$ , $R (b, za) = L (do) = L (za -1)$ .

$a jest odwracalne wtedy i tylko wtedy$ , gdy istnieje element $b$ taki, że $ab = 1$ i $[L (a), L (b)] = 0$ ( $aib „$ $dojeżdżać$ ”). W tym przypadku $b = za -1$ .

Jeśli $L (a)$ i $L (b)$ dojeżdżają do pracy, to $ba = 1$ implikuje $b (a 2) = a$ . Odwrotnie załóżmy, że $a$ jest odwracalne z odwrotnością $b$ . Wtedy $ab = 1$ . Morevoer $L (b)$ dojeżdża z $Q (b)$ i stąd jego odwrotność $Q (a)$ . Więc to dojeżdża z $L (a) = Q (a) L (b)$ .

Kiedy $A$ jest skończonym wymiarem nad $k$ , element $a$ jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalny w $k [a]$ , w którym to przypadku $a -1$ leży w $k [a]$ .

Algebra $k [a]$ jest przemienna i asocjacyjna, więc jeśli $b$ jest odwrotnością, to $ab = 1$ i $a 2 b = a$ . I odwrotnie, $Q (a)$ pozostawia $k [a]$ niezmiennikiem. Więc jeśli jest bijektywna na $A,$ to jest tam bijektywna. Zatem $a -1 = Q (a) -1 a$ leży w $k [za]$ .

Elementarne właściwości właściwych mutacji

Mutacja $A y$ jest jednostkowa wtedy i tylko wtedy, gdy $y$ jest odwracalna, w którym to przypadku jednostka jest dana przez $y -1$ .

Mutacja $A y$ jest jednostkową algebrą Jordana, jeśli $y$ jest odwracalne

Kwadratowa reprezentacja $Ay =$ jest dana przez $Q y (x) Q (x) Q (y)$ .

W rzeczywistości mnożenie w algebrze A ^y jest dane przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a \ circ b = \ {a, y, b \},}}

więc z definicji jest przemienna. Wynika, że

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a \ circ b = L_ {y} (a) b,}}

z

{\ Displaystyle \ Displaystyle {L_ {y} (a) = [L (a), L (y)] + L (ay).}}

Jeśli e spełnia $a \circ e = a$ , to biorąc a = 1 daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {ye = 1.}}

Biorąc a = e daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {e (ya) = y (ea)}}

tak, że L ( y ) i L ( e ) dojeżdżają. Stąd y jest odwracalne i e = y ⁻¹ .

Teraz dla zbioru odwracalnego y

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q_ {y} (a) = Q (a) Q (y), \, \, \, R_ {y} (a, b) = R (a, Q (y) b). }}

Następnie

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q_ {y} (e) = Q_ {y} (y ^ {-1}) = Q (y ^ {-1}) Q (y) = ja.}}

Ponadto,

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q_ {y} (a) Q_ {y} (b) Q_ {y} (a) = Q (a) Q (y) Q (b) Q (y) Q (a) Q ( y)=Q(a)Q(Q(y)b)Q(a)Q(y)=Q(a)Q(y)b)Q(y)=Q_{y}(Q_{y} (a)b).}}

Wreszcie

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (y) R (c, Q (y) d)Q(y)^{-1}=R(Q(y)c,d),}}

od

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (y) R (c, Q (y) d) x = 2 Q (y) Q (c, x) Q (y) d = 2 Q (Q (y) c, Q (y) x)d=R(Q(y)c,d)Q(y)x.}}

Stąd

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q_ {y} (a) R_ {y} (b, a) = Q (a) Q (y) R (b, Q (y) a) = Q (y ^ {-1} )Q(Q(y)a)R(b,Q(y)a)=Q(y)^{-1}R(Q(y)a,b)Q(Q(y)a)=R_{ y}(a,b)Q_{y}(a).}}

Zatem $(A, Q y, y -1)$ jest jednostkową kwadratową algebrą Jordana. Odpowiada zatem liniowej algebrze Jordana z powiązanym operatorem mnożenia Jordana M ( a ) określonym przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {M (a) b = {\ Frac {1} {2}} R_ {y} (a, e) b = {\ Frac {1} {2}} R (a, Q (y )e)b={\frac {1}{2}}R(a,y)b=\{a,y,b\}=L_{y}(a)b.}}

Pokazuje to, że operatory $L y (a)$ spełniają tożsamość Jordana tak, że właściwa mutacja lub izotop $A y$ jest jednolitą algebrą Jordana. Zgodność z kwadratowymi algebrami Jordana pokazuje, że jej kwadratowa reprezentacja jest dana przez $Q y$ .

Mutacje niejednostkowe

Definicja mutacji dotyczy również elementów nieodwracalnych y . Jeśli A jest skończonym wymiarem nad R lub C , elementy odwracalne a w A są gęste, ponieważ odwracalność jest równoważna warunkowi, że det Q ( a ) ≠ 0. Zatem z ciągłości tożsamość Jordana dla właściwych mutacji implikuje tożsamość Jordana dla dowolnych mutacji. Ogólnie tożsamość Jordana można wywnioskować z twierdzenia Macdonalda dla algebr Jordana, ponieważ obejmuje ono tylko dwa elementy algebry Jordana. Alternatywnie, tożsamość Jordana można wywnioskować, zdając sobie sprawę z mutacji wewnątrz jednostkowej algebry kwadratowej.

Dla a w A zdefiniuj strukturę kwadratową na A ₁ = A ⊕ k by

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Q_ {1} (a \ oplus \ alfa 1) (b \ oplus \ beta 1) = \ alfa ^ {2} \ beta 1 \ oplus [\ alfa ^ {2} a + \ alfa ^ { 2}b+2\alpha \beta a+\alpha \{a,y,b\}+\beta Q(a)y+Q(a)Q(y)b].}}$

Można wtedy zweryfikować, że $(A 1, Q 1, 1)$ jest jednostkową kwadratową algebrą Jordana. Jednostkowa algebra Jordana ^, której odpowiada, ma ^Ay jako ideał, tak że w szczególności Ay spełnia tożsamość Jordana. Tożsamości dla jednostkowej kwadratowej algebry Jordana wynikają z następujących właściwości zgodności kwadratowego odwzorowania $Q y (a) = Q (a) Q (y)$ a mapa kwadratury $S y (a) = Q (a) y$ :

$R y (za, za) = L y (S y (za)).$
$[Q y (za), L y (za)] = 0.$
$Q y (za) Sy y (za) = Sy y (Sy y (za)).$
$Q y \circ S y = S y \circ Q y .$
$Q y (za) Q y (b) S y (za) = S y (Q y (za) b).$
$Q y (Q y (za) b) = Q y (za) Q y (b) Q y (za)$ .

tożsamość Hua

Niech A będzie jednostkową algebrą Jordana. Jeśli a , b i a – b są odwracalne, to tożsamość Hua zachodzi :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {-1} = (ab) ^ {-1} + (aQ (a) b ^ {-1}) ^ {-1} = (ab) ^ {-1} + Q (a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}.}}$

W szczególności, jeśli x i 1 – x są odwracalne, to tak samo jest 1 – x ⁻¹ z

{\ Displaystyle \ Displaystyle {(1-x) ^ {- 1} + (1-x ^ {- 1}) ^ {- 1}=1.}}

Aby udowodnić tożsamość dla x , ustaw $y = (1 - x) -1$ . Wtedy $L (y) = Q (1 - x) -1 L (1 - x)$ . Zatem $L (y)$ komutuje z $L (x)$ i $Q (x)$ . Ponieważ $Q (y) = Q (1 - x) -1$ , to również dojeżdża z $L (x)$ i $Q (x)$ . Ponieważ $L (x -1) = Q (x) -1 L (x)$ , $L (y)$ również dojeżdża z $L (x -1)$ i $Q (x -1)$ .

Wynika z tego, że $(x -1 - 1) xy = (1 - x) y = 1$ . Co więcej, $y - 1 = xy ,$ ponieważ $(1 - x) y = 1$ . Więc $L (xy)$ dojeżdża z $L (x)$ i stąd $L (x -1 - 1)$ . Zatem $1 - x -1$ ma odwrotność $1 - y$ .

Niech teraz $A a$ będzie mutacją A zdefiniowaną przez a . Elementem tożsamości $A a$ jest $a -1$ . Co więcej, element odwracalny c w A jest również odwracalny w $A a$ z odwrotnością $Q (a) -1 c -1$ .

Niech $x = Q (za) -1 b$ w $ZA za$ . Jest odwracalny w A , podobnie jak $a -1 - Q (a) -1 b = Q (a) -1 (a - b)$ . Tak więc przez szczególny przypadek tożsamości Hua dla x w $A a$

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {-1} = Q (a) ^ {-1} (a ^ {-1} -Q (a) ^ {-1} b) ^ {-1} + Q (a )^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}=(ab)^{-1}+(aQ(a)b^{-1})^{ -1}.}}

operatora Bergmana

Jeśli A jest jednostkową algebrą Jordana, operator Bergmana jest zdefiniowany dla a , b w A przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) = IR (a, b) + Q (a) Q (b).}}

Jeśli a jest odwracalne, to

{\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) = Q (a) Q (a ^ {-1} -b);}}

natomiast jeśli b jest odwracalne, to

{\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) = Q (ab ^ {-1}) Q (b).}}

W rzeczywistości, jeśli a jest odwracalne

Q (za) Q (za -1 - b) = Q (za) [Q (za -1 - 2 Q (za -1, b) + Q (b)] = ja - 2 Q (za) Q (za -1, b) + Q (za) Q (b) = ja - R (za, b) + Q (za) Q (b)

i podobnie, jeśli b jest odwracalne.

Mówiąc bardziej ogólnie, operator Bergmana spełnia wersję tożsamości komutacji lub homotopii:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) Q (a) = Q (a)B(b,a)=Q(aQ(a)b)}}$

oraz wersja podstawowej tożsamości:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (B (a, b) c) = B (a, b) Q (c) B (b, a).}}$

Istnieje również trzecia, bardziej techniczna tożsamość:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (B (a, b) c, aQ (a) b) = B (a, b) (2Q (a, c) -R (c, b) Q (a)) = ( 2Q(a,c)-Q(a)R(b,c))B(b,a).}}$

Quasi-odwracalność

Niech A będzie skończenie wymiarową algebrą Jordana jednostkową nad ciałem k o charakterystyce ≠ 2. Dla pary $(a, b)$ z $a$ i $a -1 - b$ odwracalnymi zdefiniuj

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {b} = (a ^ {-1} -b) ^ {-1}.}}$

W tym przypadku operator Bergmana $B (a, b) = Q (a) Q (a -1 - b)$ definiuje operator odwracalny na A i

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {b} = B (a, b) ^ {- 1} (aQ (a) b).}}$

W rzeczywistości

{\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) ^ {- 1} (aQ (a) b) = Q (a ^ {b}) Q (a ^ {-1}) (aQ (a) b) = Q(a^{b})(a^{b})^{-1}=a^{b}.}}

Co więcej, z definicji $a -1 - b - c$ jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy $(a b) -1 - c$ jest odwracalne. W tym wypadku

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {b + c} = (a ^ {b}) ^ {c}.}}$

Rzeczywiście,

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {b + c} = ((a ^ {-1} -b) -c) ^ {-1} = ((a ^ {b}) ^ {-1} -c) ^{-1}=(a^{b})^{c}.}}

Założenie, że $a$ będzie odwracalne, można odrzucić, ponieważ $a b$ można zdefiniować tylko zakładając, że operator Bergmana $B (a, b)$ jest odwracalny. Mówimy wtedy, że para $(a, b)$ jest quasi-odwracalna . W takim przypadku $a b$ jest określone wzorem

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {b} = B (a, b) ^ {- 1} (aQ (a) b).}}

Jeśli $B (a, b)$ jest odwracalne, to $B (a, b) c = 1$ dla pewnego $c$ . Podstawowa tożsamość implikuje, że $B (a, b) Q (c) B (b, a) = ja$ . Tak więc przez skończoną wymiarowość $B (b, a)$ jest odwracalne. Zatem $(a, b)$ jest odwracalny wtedy i tylko wtedy , gdy $(b, a)$ jest odwracalny iw tym przypadku

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {b} = a + Q (a) b ^ {a}.}}$

W rzeczywistości

b (za, b)(za + Q (za) b za) = za - 2 R (za, b) za + Q (za) Q (b) za + Q (za) (b - Q (b) za) = za - Q (za) b,

więc wzór następuje przez zastosowanie $B (a, b) -1$ po obu stronach.

Jak poprzednio $(a, b + c)$ jest quasi-odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy $(a b, c)$ jest quasi-odwracalne; iw takim razie

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {b + c} = (a ^ {b}) ^ {c}.}}

Jeśli k = R lub C , wynikałoby to z ciągłości ze szczególnego przypadku, w którym $a$ i $a -1 - b$ byłyby odwracalne. Ogólnie rzecz biorąc, dowód wymaga czterech tożsamości operatora Bergmana:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) Q (a ^ {b}) = Q (a^{b})B(b,a)=Q(a)}}$

$c) + Q (a) R (b, c) = Q (a ^ {b}, c) B (b ,a)+R(c,b)Q(a)=Q(a,c)}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) R (a ^ {b },c)=R(a,c)-2Q(a)Q(b,c)}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) B (a ^ {b}, c) = B (a, b +c)}}$

Faktycznie zastosowanie $Q$ do tożsamości $B (a, b) a b = a - Q (a) b$ daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a, b) Q (a ^ {b}) B (b, a) = B (a, b) Q (a) = Q (a) B (b, a).} }

Pierwsza tożsamość następuje przez anulowanie $B (a, b)$ i $B (b, a)$ . Druga tożsamość następuje przez podobne anulowanie w

b (za, b) Q (za b, do) b (b, za) = Q (b (za, b) za b, b (za, b) do) = Q (za - Q (za) b, B (a, b) do) = b (za, b) (Q (za, do) - R (do, b) Q (za)) = (Q (za, do) - Q (za) R (b, do)) b (b, a)

.

Trzecia tożsamość następuje po zastosowaniu drugiej tożsamości do elementu d , a następnie zamianie ról c i d . Czwarty następuje, ponieważ

b (za, b) b (za b, do) = b (za, b) (ja - R (za b, do) + Q (za b) Q (do)) = ja - R (za, b + c) + Q (za) Q (b + do) = b (za, b + do)

.

W rzeczywistości $(a, b)$ jest quasi-odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest quasi-odwracalny w mutacji $A b$ . Ponieważ ta mutacja niekoniecznie musi być jednolita, oznacza to, że gdy tożsamość jest sprzężona $1 - a$ staje się odwracalna w $A b \oplus k 1$ . Warunek ten można wyrazić w następujący sposób bez wspominania o mutacji lub homotopie:

$(a, b)$ jest quasi-odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element $c$ taki, że $B (a, b) c = a - Q (a) b$ i $B (a, b) Q (c) b = Q (a) b$ . W $c = ab tym$ przypadku .

W rzeczywistości, jeśli $(a, b)$ jest quasi-odwracalne, to $c = a b$ z definicji spełnia pierwszą tożsamość. Drugi wynika, ponieważ $B (a, b) Q (a b) = Q (a)$ . Odwrotnie, warunki stwierdzają, że w $A b \oplus k 1$ warunki implikują, że $1 + c$ jest odwrotnością $1 - za$ . Z drugiej strony $( 1 - za) \circ x = b (za, b) x$ dla $x$ w $A b$ . Stąd $B (a, b)$ jest odwracalny.

Relacja równoważności

Niech A będzie skończenie wymiarową jednostkową algebrą Jordana nad ciałem k o charakterystyce ≠ 2. Mówimy, że dwie pary $(a i, b i)$ z odwracalnym $a i są$ równoważne, jeśli $(a 1) -1 - b 1 + b 2$ jest odwracalna i $za 2 = (za 1) b 1 - b 2$ .

Jest to relacja równoważności, ponieważ jeśli $a$ jest odwracalne, $0 a = a$ , to para $(a, b)$ jest sobie równoważna. Jest symetryczny, ponieważ z definicji $za 1 = (za 2) b 2 - b 1$ . Jest przechodni. Załóżmy bowiem, że $(a 3, b 3)$ jest trzecią parą z $(a 2) -1 - b 2 + b 3$ odwracalny i $za 3 = (za 2) b 2 - b 3$ . Z góry

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a_ {1} ^{-1}-b_{1}+b_{3}=(a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{2})-b_{2}+b_{3}=a_{ 2}^{-1}-b_{2}+b_{3}}}

jest odwracalny i

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a_ {3} = a_ {2} ^ {b_ {2} -b_ {3}} = (a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {2}}) ^ {b_ { 2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}}

Jeśli chodzi o quasi-odwracalność, definicję tę można rozszerzyć na przypadek, w którym zakłada się, że $a$ i $a -1 - b$ nie są odwracalne.

dwie pary $(a ja, b ja)$ są równoważne, jeśli $(a 1, b 1 - b 2)$ jest quasi-odwracalne i $a 2 = (za 1) b 1 - b 2$ . Gdy k = R lub C , fakt, że ta bardziej ogólna definicja daje również relację równoważności, można wywnioskować z przypadku odwracalnego na podstawie ciągłości. Dla ogólnego k można to również zweryfikować bezpośrednio:

Relacja jest zwrotna, ponieważ $(a, 0)$ jest quasi-odwracalna i $0 a = a$ .
Relacja jest symetryczna, ponieważ $za 1 = (za 2) b 2 - b 1$ .
Relacja jest przechodnia. Załóżmy bowiem, że $(za 3, b 3)$ jest trzecią parą z $(za 2, b 2 - b 3)$ quasi-odwracalnymi i $za 3 = (za 2) b 2 - b 3$ . W tym przypadku

{\ Displaystyle \ Displaystyle {B (a_ {1}, b_ { 1}-b_{3})=B(a_{1},b_{1}-b_{2})B(a_{2},b_{2}-b_{3}),}}

więc

(a 1, b 1 - b 3)

jest quasi-odwracalny z

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a_ {3} = a_ {2} ^ {b_ {2} -b_ {3}} = (a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {2}}) ^ {b_ { 2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}}

Klasa równoważności $(a, b)$ jest oznaczona przez $(a : b)$ .

Grupy strukturalne

Niech $A$ będzie skończenie wymiarową zespoloną półprostą jednostkową algebrą Jordana. Jeśli $T$ jest operatorem na $A$ , niech $T t$ będzie jego transpozycją względem postaci śladu. Zatem $L (za) t = L (za)$ , $Q (za) t = Q (za)$ , $R (za, b) t = R (b, za)$ i $b (za, b) t = b (b, za)$ . Grupa struktur A składa się z g w $GL(A)$ takich, że

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (ga) = g Q (a) g ^ {t}.}}

Tworzą grupę $Γ(A)$ . Grupa automorfizmów Aut A składa się z odwracalnych zespolonych operatorów liniowych g takich, że L ( ga ) = gL ( a ) g ⁻¹ i g1 = 1. Ponieważ automorfizm g zachowuje postać śladową, g ⁻¹ = g ^t .

Grupa struktur jest domknięta przyjmując transpozycje g ↦ g ^t i przylegające g ↦ g *.
Grupa struktur zawiera grupę automorfizmów. Grupę automorfizmów można zidentyfikować ze stabilizatorem 1 w grupie struktur.
Jeśli a jest odwracalne, Q ( a ) należy do grupy struktur.
Jeśli g jest w grupie struktur i a jest odwracalne, ga jest również odwracalne z ( ga ) ⁻¹ = ( g ^t ) ⁻¹ a ⁻¹ .
Grupa strukturalna Γ( A ) działa przechodnio na zbiór odwracalnych elementów w A .
Każde g w Γ( A ) ma postać g = h Q ( a ) z h automorfizmem i odwracalnością .

Złożona algebra Jordana A jest złożonością rzeczywistej euklidesowej algebry Jordana E , dla której forma śladowa definiuje iloczyn wewnętrzny. Istnieje powiązana inwolucja $a \mapsto a *$ na $A$ , która daje początek złożonemu iloczynowi wewnętrznemu na $A$ . Unitarna grupa strukturalna Γ _u ( A ) jest podgrupą Γ ( A ) składającą się z operatorów unitarnych, tak że $Γ u (A) = Γ (A) \cap U(ZA)$ . Składnik identyczności $Γ u (A)$ jest oznaczony przez $K$ . Jest spójną zamkniętą podgrupą $U(A)$ .

Stabilizatorem 1 w Γ _u ( A ) jest Aut E .
Każde g w Γ _u ( A ) ma postać g = h Q ( u ) gdzie h w Aut E i u odwracalne w A przy u * = u ⁻¹ .
Γ( A ) jest złożonością Γ _u ( A ).
Zbiór S elementów odwracalnych u w A takich, że u * = u ⁻¹ można scharakteryzować równoważnie albo jako te u , dla których L ( u ) jest operatorem normalnym z uu * = 1, albo jako te u postaci exp ia dla niektóre w E. _ _ W szczególności S jest spójny.
Składnik tożsamości Γ _u ( A ) działa przechodnio na S
Biorąc pod uwagę układ Jordana ( e _i ) i v w A , istnieje operator u w składniku identyczności Γ _u ( A ) taki, że uv = Σ α _i e _i gdzie α _i ≥ 0. Jeśli v jest odwracalne, to α _ja > 0.

Grupa strukturalna Γ( A ) działa naturalnie na X . Dla g w Γ( A ), ustaw

{\ Displaystyle \ Displaystyle {g (a, b) = (ga, (g ^ {t}) ^ {- 1} b).}}

Wtedy $(x, y)$ jest quasi-odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy $(gx,(g t) -1 y)$ jest quasi-odwracalny i

{\ Displaystyle \ Displaystyle {g (x ^ {y}) = (gx) ^ {(g ^ {t}) ^ {-1} y}.}}

W rzeczywistości relacje kowariancji dla g z Q i odwrotnością implikują to

{\ Displaystyle \ Displaystyle {gB (x, y) g ^ {- 1} = B (gx, (g ^ {t})^{-1}y)}}

jeśli x jest odwracalny i tak wszędzie przez gęstość. To z kolei implikuje relację dla quasi-odwrotności. Jeśli a jest odwracalne, to Q ( a ) leży w Γ( A ), a jeśli ( a , b ) jest quasi-odwracalne, to B ( a , b ) leży w Γ ( A ). Zatem oba typy operatorów działają na X .

$, że jest to$ $() zamknięta$ podgrupa ZA . Ponieważ $. Q (ea) = e2L (a) , operatory$ odpowiednia zespolona algebra Liego zawiera $L (a)$ Komutatory $[L (a), L (b)]$ obejmują zespoloną algebrę Liego wyprowadzeń $A$ . Operatory $R (za, b) = [L (za), L (b)] + L (ab)$ obejmują ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ i spełniają $R (za, b) t = R (b, za)$ i $[R (za, b), R (do, re)] = R (R (za, b) do, re) - R (do, R (b, za) re)$ .

Własności geometryczne przestrzeni ilorazowej

Niech A będzie skończenie wymiarową zespoloną jednostkową algebrą Jordana, która jest półprosta , tzn. postać śladu Tr L ( ab ) jest niezdegenerowana. Niech $X$ będzie ilorazem $A \times A$ przez relację równoważności. Niech $X b$ będzie podzbiorem X klas $(a : b)$ . Mapa $φ b : X b \to A$ , $(a : b) \mapsto a$ jest iniekcyjne. Podzbiór $U$ od $X$ jest zdefiniowany jako otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $U \cap X b$ jest otwarty dla wszystkich $b$ .

X jest złożoną rozmaitością .

Mapy przejścia atlasu z wykresami $φ b$ są podane przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi _ {cb} = \ varphi _ {c} \ circ \ varphi _ {b} ^ {-1}: \ varphi _ {b} (X_ {b} \ cap X_ {c} )\rightarrow \varphi _{c}(X_{b}\cap X_{c}).}}

i od tego czasu są iniekcyjne i holomorficzne

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi _ {cb} (a) = a ^ {bc}}}

z pochodną

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi _ {cb} ^ {\ pierwsza} (a) = B (a, bc) ^ {- 1}.}}

To definiuje strukturę złożonej rozmaitości na X , ponieważ $φ dc \circ φ cb = φ db$ na $φ b (X b \cap X c \cap X d)$ .

Mając skończony zbiór punktów $one zawarte ( ai : bi) w$ X $,$ są $Xb we$ wspólnym .

Rzeczywiście, wszystkie funkcje wielomianowe $p ja (b) = det B (a ja, b ja - b)$ są nietrywialne, ponieważ $p ja (b ja) = 1$ . Zatem istnieje b $takie$ $(a i, b i)$ że $: pi (b) \neq 0$ dla wszystkich i , co jest właśnie kryterium dla leżeć $w Xb$ .

X jest zwarty.

Loos (1977) używa operatorów Bergmana do skonstruowania wyraźnego biholomorfizmu między X a zamkniętą gładką podrozmaitością algebraiczną złożonej przestrzeni rzutowej . Oznacza to w szczególności, że $X$ jest zwarty. Istnieje bardziej bezpośredni dowód zwartości przy użyciu grup symetrii.

Biorąc pod uwagę układ Jordana ( e _i ) w E , dla każdego a w A istnieje k w U = Γ _u ( A ) takie, że $a = k (Σ α i e i)$ gdzie $α i \geq 0$ (i $α i > 0$ , jeśli a jest odwracalne). W rzeczywistości, jeśli ( a , b ) jest w X wtedy jest to równoważne k ( c , d ) z c i d w jednostkowej podalgebrze Jordana $A e = \oplus C e i$ , która jest złożonością $E e = \oplus R e i$ . Niech $Z$ będzie rozmaitością zespoloną zbudowaną dla $A e$ . Ponieważ $Ae jest$ bezpośrednią sumą kopii C , Z ₀₀ jest po prostu iloczynem sfer Riemanna, po jednej dla każdego $e i$ . W szczególności jest zwarty. Istnieje naturalna mapa Z w X , która jest ciągła. Niech Y będzie obrazem Z . Jest zwarty i dlatego pokrywa się z domknięciem Y = A _e ⊂ A = X . Zbiór U ⋅ Y jest obrazem ciągłym zbioru zwartego U × Y . Jest więc zwarty. Z drugiej strony, ₀₀ U ⋅ Y = X , więc zawiera gęsty podzbiór X i dlatego musi pokrywać się z X . Zatem X jest zwarty.

Powyższy argument pokazuje, że każde ( a , b ) w X jest równoważne k ( c , d ) z c i d w $A e$ oraz k w $Γ u (A)$ . Odwzorowanie Z na X jest w rzeczywistości osadzeniem. Jest to konsekwencją tego, że $Ae ($ $x, y) jest$ quasi-odwracalny w wtedy i tylko wtedy, gdy jest quasi-odwracalny w $A$ . Rzeczywiście $Ae,$ jeśli $B (x, y)$ jest iniekcyjne względem A , to jego ograniczenie do jest również iniekcyjne. I odwrotnie, dwa równania dla quasi-odwrotności w $A e$ implikują, że jest to również quasi-odwrotność w $A$ .

Transformacje Möbiusa

Niech $A$ będzie skończenie wymiarową zespoloną półprostą jednostkową algebrą Jordana. Grupa SL(2, C ) działa przez transformację Möbiusa na sferze Riemanna C ∪ {∞}, jednopunktowe zagęszczenie C . Jeśli g w SL(2, C ) jest dane przez macierz

{\ Displaystyle \ Displaystyle {g = {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa i \ beta \\\ gamma i \ delta \ koniec {pmatrix}}}}

Następnie

{\ Displaystyle \ Displaystyle {g (z) = (\ alfa z + \ beta) (\ gamma z + \ delta) ^ {-1}.}}

Istnieje uogólnienie tego działania SL(2, C ) na A i jego zagęszczenie X . Aby zdefiniować to działanie, zauważmy, że SL(2, C ) jest generowane przez trzy podgrupy dolnych i górnych macierzy unitarnokątnych oraz macierze diagonalne. Jest również generowany przez dolne (lub górne) macierze jednostkowe, macierze diagonalne i macierz

{\ Displaystyle \ Displaystyle {J = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ -1 i 0 \ koniec {pmatrix}}.}}

Macierz J odpowiada transformacji Möbiusa $j (z) = - z -1$ i można ją zapisać

{\ Displaystyle \ Displaystyle {J = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ -1 i 1 \ koniec {pmatrix}} {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ -1&1\end{pmacierz}}.}}

Mocowanie transformacji Möbiusa ∞ to tylko górne trójkątne macierze. Jeśli g nie ustala ∞, wysyła ∞ do skończonego punktu a . Ale wtedy g można złożyć z górną jednostką trójkątną, aby wysłać a do 0, a następnie z J , aby wysłać 0 do nieskończoności.

Dla elementu $a$ z $A$ działanie $g$ w SL(2, C ) jest określone tym samym wzorem

{\ Displaystyle \ Displaystyle {g (a) = (\ alfa a + \ beta 1) (\ gamma a + \ delta 1) ^ {- 1}.}}

To definiuje element $C [a]$ pod warunkiem, że $γ a + δ1$ jest odwracalny w $A$ . Działanie jest zatem zdefiniowane wszędzie na $A$ , jeśli g jest trójkątem górnym. Z drugiej strony działanie na X jest łatwe do zdefiniowania dla niższych macierzy trójkątnych.

Dla macierzy diagonalnych g z elementami diagonalnymi $α$ i $α -1$ , $g (a, b) = (α 2 a, α -2 b)$ jest dobrze zdefiniowanym działaniem holomorficznym na $A 2$ , które przechodzi do ilorazu X . Na $0 X = A$ zgadza się z działaniem Möbiusa.
Dla niższych macierzy jednostkowych, z parametrem pozadiagonalnym γ, zdefiniuj $g (a, b) = (a, b - γ1)$ . Ponownie jest to holomorficzne na $A 2$ i przechodzi do ilorazu X . Gdy $b = 0$ i $γ \neq 0$ ,

{\ Displaystyle \ Displaystyle {g (a: 0) = (a: - \ gamma )=(a^{-\gamma }:0)=(a(\gamma a+1)^{-1}:0)}} jeśli γ a + 1 jest odwracalne,

więc

jest to rozszerzenie

Möbiusa działanie.

Dla górnych macierzy trójkątnych jednostkowych, z parametrem poza przekątną β, działanie na $0 X = (A : 0)$ jest określone przez $g (a, 0) = (a + β1)$ . Loos (1977) wykazał, że definiuje to złożony jednoparametrowy przepływ na $A$ . Odpowiednie holomorficzne pole wektora zespolonego rozciągało się do $X$ , tak że działanie na zwartą rozmaitość zespoloną $X$ można było zdefiniować przez powiązany zespolony przepływ. Prostszą metodą jest zauważyć, że operator $J$ można realizować bezpośrednio, wykorzystując jego przeplatające się relacje z jednostkową grupą strukturalną.

W rzeczywistości na odwracalnych elementach w A operator $j (a) = - a -1$ spełnia $j (ga) = (g t) -1 j (a)$ . Aby zdefiniować biholomorfizm j na X taki, że $j \circ g = (g t) -1 \circ j$ , wystarczy je zdefiniować dla $(a : b)$ na jakiejś odpowiedniej orbicie Γ( A ) lub Γ _u ( A ). Z drugiej strony, jak wskazano powyżej, biorąc pod uwagę układ Jordana ( e _i ) w E , dla każdego a w A istnieje k w U = Γ _u ( A ) takie, że $a = k (Σ α i e i)$ gdzie $α ja \geq 0$ .

Obliczenie $j$ w asocjacyjnej algebrze przemiennej $Ae jest proste,$ ponieważ jest to iloczyn bezpośredni. Dla $c = Σ α i e ja i$ d $= Σ β ja mi ja,$ operator Bergmana na $A e$ ma wyznacznik $det B (c, d) = Π(1 - α i β ja) 2$ . W szczególności $det B (ok, d - λ) \neq 0$ dla pewnego λ ≠ 0. Zatem $(do, re)$ jest równoważne $(x, λ)$ . Niech $μ = -λ -1$ . Na $A$ , dla gęstego zbioru $a$ , para $(a,λ)$ jest równoważna $(b, 0)$ z b odwracalnym. Wtedy $(- b -1,0)$ jest równoważne $(μ - μ 2 a,μ)$ . Ponieważ $a \mapsto μ - μ 2 a$ jest holomorficzne, wynika z tego, że j ma unikalne ciągłe rozszerzenie do X takie, że $j \circ g = (g t) -1 \circ j$ dla $g$ w $Γ(A)$ , rozszerzenie jest holomorficzne i dla $λ \neq 0$ , $μ = -λ -1$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {j (a, \ lambda) = (\ mu - \ mu ^ {2} a, \ mu).}}$

Przekształcenia holomorficzne odpowiadające górnym macierzom jednostkowo-kątnym można zdefiniować na podstawie faktu, że są one koniugatami przez J dolnych macierzy jednostkowo-kątnych, dla których działanie jest już znane. Bezpośrednia konstrukcja algebraiczna jest podana w Dineen, Mackey & Mellon (1999) .

To działanie $SL(2, C)$ jest zgodne z inkluzjami. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli $e 1, ..., em jest$ układem Jordana, istnieje działanie $SL(2, C) m$ na A _e , które rozciąga się na A . Jeśli $c = Σ γ ja mi S$ ja $i (c)$ $b = Σ β ja mi ja$ , to i $T (b)$ podają działanie iloczynu dolnej i górnej jednostkowej macierzy trójkątnej. Jeśli $a = Σ α i e i$ jest odwracalne, odpowiedni iloczyn macierzy diagonalnych zachowuje się jak $W = Q (a)$ . W szczególności macierze diagonalne dają działanie $(C) m$ $Tm *$ i .

Grupa symetrii holomorficznej

Niech $A$ będzie skończenie wymiarową zespoloną półprostą jednostkową algebrą Jordana. Istnieje przechodnie holomorficzne działanie złożonej grupy macierzy $G$ na zwartą zespoloną rozmaitość $X$ . Koecher (1967) opisał $G$ analogicznie do $SL(2, C)$ pod względem generatorów i relacji. $G$ działa na odpowiedniej skończenie wymiarowej algebrze Liego holomorficznych pól wektorowych ograniczonych do $0 X = A$ , tak że $G$ jest realizowana jako zamknięta grupa macierzowa. Jest to złożoność zwartej grupy Liego bez środka, a więc półprostej grupy algebraicznej. Składnik tożsamości $H$ grupy zwartej działa przechodnio na $X$ , tak że $X$ można zidentyfikować jako hermitowską przestrzeń symetryczną typu zwartego.

Grupa G jest generowana przez trzy rodzaje transformacji holomorficznej na $X$ :

Operatory W odpowiadające elementom W w $Γ(A)$ dane przez $W (a, b) = (Wa, (W t) -1 b)$ . Zostały one już opisane powyżej. Na $0 X = A$ , są dane przez $a \mapsto Wa$ .
Operatory S _c zdefiniowane przez $S c (a, b) = (a, b + c)$ . Są to odpowiedniki niższych macierzy unitarangularnych i tworzą podgrupę izomorficzną z grupą addytywną $A$ , z zadaną parametryzacją. Ponownie działają one holomorficznie na $A 2$ i działanie przechodzi do ilorazu X . Na $A$ akcja jest dana przez $a \mapsto a c$ if $(a, c)$ jest quasi-odwracalny.
Transformacja $j$ odpowiadająca $J$ w $SL(2, C)$ . Został on skonstruowany powyżej jako część działania $PSL(2, C) = SL(2, C)/{\pmI$ } na $X$ . Na odwracalnych elementach w $A$ jest to określone przez $a \mapsto - a -1$ .

Operatory $W$ normalizują grupę operatorów $S c$ . Podobnie operator $j$ normalizuje grupę struktur, $j \circ W = (W t) -1 \circ j$ . Operatory $T c = j \circ S - c \circ j$ również tworzą grupę przekształceń holomorficznych izomorficznych z grupą addytywną $A$ . Uogólniają górną podgrupę unitrangular $SL(2, C)$ . Ta grupa jest znormalizowana przez operatory W grupy strukturalnej. Operator $T c$ działa na $A$ jako $a \mapsto a + c$ . Jeśli $c$ jest skalarem, operatory $S c$ i $T c$ pokrywają się z operatorami odpowiadającymi dolnym i górnym jednostkowym macierzom trójkątnym w $SL(2, C)$ . W związku z tym istnieje relacja $j = S 1 \circ T 1 \circ S 1$ i $PSL(2, C)$ jest podgrupą G . Loos (1977) definiuje operatory $T c$ w kategoriach przepływu związanego z holomorficznym polem wektorowym na $X$ , podczas gdy Dineen, Mackey i Mellon (1999) podają bezpośredni opis algebraiczny.

$G$ działa przechodnio na $X$ .

Rzeczywiście, $S b T a (0:0) = (za : b)$ .

Niech $G -1$ i $G +1$ będą zespolonymi grupami abelowymi utworzonymi odpowiednio przez symetrie $T c$ i $S c$ . Niech $0 G = Γ(ZA)$ .

${\ Displaystyle \ Displaystyle {G = G_ {0} G_ {+1} G_ {-1} G_ {+1} = G_ {0} G_ {-1} G_ {+1} G_ {-1}.}}$

Dwa wyrażenia dla $G$ są równoważne w następujący sposób przez koniugację przez $j$ .

W przypadku $odwracalności$ tożsamość Hua można przepisać

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) = T_ {a} \ circ j \ circ T_ {a ^ {-1}} \ circ j \ circ T_ {a} \ circ j.}}

Ponadto $j = S 1 \circ T 1 \circ S 1$ i $S do = j \circ T - do \circ jot$ .

Relacje konwariancji pokazują, że elementy $G$ należą do zbiorów $0 G G 1$ , $0 G G 1 jG 1$ , $0 G G 1 jG 1 jG 1$ , $0 G G 1 jG 1 jG 1 jG 1$ . ... Pierwsze wyrażenie dla $G$ następuje po ustaleniu, że w czwartym lub kolejnych zestawach nie pojawiają się żadne nowe elementy. W tym celu wystarczy to pokazać

0 jot \circ sol 1 \circ jot \circ sol 1 \circ jot \subseteq sol sol 1 \circ jot \circ sol 1 \circ jot \circ sol 1

.

Bo wtedy, jeśli występują trzy lub więcej wystąpień $j$ , liczbę można rekurencyjnie zredukować do dwóch. Biorąc pod uwagę $a, b$ w $A$ , wybierz $λ \neq 0$ tak, że $c = a - λ$ i $d = b - λ -1$ są odwracalne. Następnie

{\ Displaystyle \ Displaystyle {jT_ {a} jT_ {b} j = jT_ {c} T_ {\ lambda} jT_ { \lambda ^{-1}}T_{d}\circ j=\lambda ^{2}jT_{c}jT_{-\lambda }jT_{d}\ j=\lambda ^{2}T_{-c^ {-1}}jQ(c^{-1})T_{-c^{-1}-\lambda -d^{-1}}jQ(d^{-1})jT_{-d^{- 1}},}}

który leży w $0 G sol 1 \circ j \circ sol 1 \circ j \circ sol 1$ .

Stabilizatorem $(0:0)$ w $G$ jest $0 G G -1$ .

Wystarczy sprawdzić, że jeśli $S a T b (0:0) = (0:0)$ , to $b = 0$ . Jeśli tak $(b : 0) = (0: - za) = (0:0)$ , więc $b = 0$ .

Stosunki wymiany

$G$ jest generowany przez $G \pm 1$ .

W przypadku $odwracalności$ tożsamość Hua można przepisać

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) = T_ {a} \ circ j \ circ T_ {a ^ {-1}} \ circ j \ circ T_ {a} \ circ j.}}

Ponieważ $j = S 1 \circ T 1 \circ S 1$ , operatory $Q (a)$ należą do grupy generowanej przez $G \pm 1$ .

Dla par quasi-odwracalnych $(a, b)$ istnieją „stosunki wymiany”

$S b T za = T za b b (za, b) -1 S b za$ .

Ta tożsamość pokazuje, że $B (a, b)$ jest w grupie generowanej przez $G \pm 1$ . Biorąc odwrotności, jest to równoważne tożsamości $T a S b = S b a B (a, b) T a b$ .

Aby udowodnić relacje wymiany, wystarczy sprawdzić, czy są one ważne, gdy zastosujemy je do punktów gęstego zbioru punktów $(c : 0)$ w $X$ , dla którego $(a + c, b)$ jest quasi-odwracalne. Następnie sprowadza się do tożsamości:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(a + c) ^ {b} = a ^ {b} + B (a, b) ^ {- 1} c ^ {(b ^ {a})}.}}$

W rzeczywistości, jeśli $(a, b)$ jest quasi-odwracalny, to $(a + c, b)$ jest quasi-odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy $(c, b a)$ jest quasi-odwracalny. Wynika to z faktu, że $(x, y)$ jest quasi-odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy $(y, x)$ jest. Co więcej, powyższy wzór obowiązuje w tym przypadku.

Do dowodu potrzebne są jeszcze dwie tożsamości:

{\ Displaystyle \ Displaystyle {B (c + b, a) = B (c, a ^ {b}) B (b ,a)}}

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (a, b) = R (a ^ {b}, bQ (b) a) = R (aQ (a) b, b ^ {a}) }}

Pierwsza wynika z poprzedniej tożsamości poprzez zastosowanie transpozycji. Po drugie, ze względu na transpozycję, wystarczy udowodnić pierwszą równość. Ustawienie $c = b - Q (b) a$ w tożsamości $B (a, b) R (a b, c) = R (za, c) - Q (a) Q (b, c)$ plony

b (za, b) R (za b, b - Q (b) do) = b (za, b) R (za, b),

więc tożsamość wynika z anulowania $B (a, b)$ .

Aby udowodnić wzór, relacje $(a + c) b = B (a, c) -1 (a + c - Q (a + c) b)$ i $a b + B (a, b) -1 c (b za) = B (za + c, b) -1 (b (c, b a) (a - Q (a) b) + c - Q (c) b a)$ pokaż, że wystarczy udowodnić, że

za + do - Q (za + do) b = b (do, b za) (za - Q (za) b) + do - Q (do) b za .

Rzeczywiście, $b (do, b za) (za - Q (za) b) + do - Q (do) b za = za + do - Q (za) b + 2 R (do, b za) (za - Q (za) b) - P (do) [b za - Q (b za) (za - Q (za) b)]$ . Z drugiej strony $2 R (do, b za) (za - Q (za) b) = 2 R (do, za - Q (za) b) b za = R (za, b) do = 2 Q (za, do) b$ i $b za - Q (b za) (za - Q (za) b) = b za - Q (b) b (za, b) - 1 (za - Q (za) b) = b za - Q (b) za b = b$ . Więc $b (do, b za) (za - Q (za) b) + do - Q (do) b za = za + do - Q (za) b - 2 Q (za, do) b - Q (do) b = za + do - Q (za + do) b$ .

Teraz ustaw $0 Ω = G +1 G G -1$ . Wtedy relacje wymiany implikują, że $S b Ta leży$ w $Ω$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(a, b)$ jest quasi-odwracalny; i że $g$ leży w $Ω$ wtedy i tylko wtedy, gdy $g (0:0)$ jest w $X 0$ .

W rzeczywistości, jeśli $S b Ta leży$ w $Ω$ , to $(a, b)$ jest równoważne $(x, 0)$ , więc jest to para quasi-odwracalna; odwrotność wynika ze stosunków wymiany. Oczywiście $Ω(0:0) = G 1 (0:0) = X 0$ . Odwrotność wynika z $0 G = G -1 G 1 G G -1$ i kryterium dla $S b T a$ leżeć w $Ω$ .

Algebra kłamstw holomorficznych pól wektorowych

Zwarta rozmaitość zespolona $X$ jest modelowana na przestrzeni $A$ . Pochodne map przejść opisują wiązkę styczną przez holomorficzne funkcje przejścia $F bc : X b \cap X c \to GL(A)$ . Są one dane przez $F bc (a, b) = B (a, b - c)$ , więc grupa strukturalna odpowiedniej głównej wiązki włókien redukuje się do $Γ(A)$ , grupy strukturalnej $A$ . Odpowiednia holomorficzna wiązka wektorów z włóknem $A$ jest wiązką styczną złożonej rozmaitości $X$ . Jego holomorficzne sekcje to po prostu holomorficzne pola wektorowe na X . Można je określić bezpośrednio, korzystając z faktu, że muszą być niezmienne w ramach naturalnego działania sprzężonego znanych holomorficznych symetrii X ₀ . Tworzą skończoną, złożoną, półprostą algebrę Liego o skończonych wymiarach. Ograniczenie tych pól wektorowych do X można opisać wprost. Bezpośrednią konsekwencją tego opisu jest to, że algebra Liego jest trójstopniowa i że grupa holomorficznych symetrii X , opisana przez generatory i relacje w Koecher (1967) i Loos (1979) , jest złożoną liniową półprostą grupą algebraiczną, która pokrywa się z grupą biholomorfizmów X .

Algebry Liego trzech podgrup holomorficznych automorfizmów $X$ dają początek liniowym przestrzeniom holomorficznych pól wektorowych na $X$ , a zatem $0 X = A$ .

Grupa struktur $Γ (ZA)$ ma algebrę Liego $przez$ operatory $R (x, y)$ . Definiują one złożoną algebrę Liego liniowych pól wektorowych $a \mapsto R (x, y) a$ na $A$ .
Operatory translacji działają na $A$ jako $T c (a) = a + c$ . Odpowiednie podgrupy jednoparametrowe są określone przez $T tc$ i odpowiadają stałym polom wektorowym $a \mapsto c$ . Dają $one$ algebrę Liego abelowego na $A$
Operatory $S c$ zdefiniowane na $X$ przez $S do (za, b) = (za, b - do)$ . Odpowiednie jednoparametrowe grupy $S tc$ definiują kwadratowe pola wektorowe $a \mapsto Q (a) c$ na $A$ . Dają one algebrę Liego abelowego pól wektorowych na ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ $A.$ _

Pozwalać

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {-1} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ { 1}.}}

Następnie definiując formy dla ja ≠ -1, 0, 1 , $sol$ { ${ \$ $}$ g złożona algebra Liego z

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[{\ mathfrak {g}} _ {p}, {\ mathfrak {g}} _ {q}] \ subseteq {\ mathfrak {g}} _ {p + q}}.}

Daje to strukturę 3-stopniowej algebry Liego . Dla elementów $(za, T, b)$ w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ Lie jest określony przez sol

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[(a_ {1}, T_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, T_{2},b_{2})]=(T_{1}a_{2}-T_{2}a_{1},[T_{1},T_{2}]+R(a_{1}, b_{2})-R(a_{2},b_{1}),T_{2}^{t}b_{1}-T_{1}^{t}b_{2})}}

Grupa $PSL (2, do)$ przekształceń Möbiusa X normalizuje algebrę Liego ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Transformacja $j (z) = - z -1$ odpowiadająca elementowi grupy Weyla $J$ indukuje inwolucyjny automorfizm $σ$ określony przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ sigma (a, T, b) = (b, -T ^ {t}, a).}}

Bardziej ogólnie działanie transformacji Möbiusa

{\ Displaystyle \ Displaystyle {g = {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa i \ beta \\\ gamma i \ delta \ koniec {pmatrix}}}}

można jednoznacznie opisać. Pod względem generatorów macierze diagonalne działają jak

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa & 0 \\ 0 & \ alfa ^ {- 1}\end{pmacierz}}(a,T,b)=(\alpha ^{2}a,T,\alpha ^{-2}b),}}

górne macierze jednostkowe działają jak

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ rozpocząć {pmatrix} 1 & \beta \\0&1\end{pmatrix}}(a,T,b)=(a+\beta T(1)-\beta ^{2}b,T-\beta L(a),b),}}

a dolne macierze jednostkowe działają jak

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\\ gamma & 1 \ koniec {pmatrix}} (a, T, b) = (a, T- \ gamma L (b), b- \ gamma T ^ {t}(1)-\gamma ^{2}a).}}

Można to zapisać jednolicie w notacji macierzowej jako

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ rozpocząć {pmatrix} g (T) & g (a) \\ g (b) i g (T) ^ {t} \ koniec {pmatrix}} = g {\ rozpocząć {pmatrix} T & a \ \b&T^{t}\end{pmacierz}}g^{-1}.}}

W szczególności stopniowanie odpowiada działaniu diagonalnej podgrupy $SL(2, C)$ , nawet przy |α| = 1, więc kopia T .

Forma Zabijanie jest podana przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mathbf {B} ((a_ {1}, T_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, T_ {2}, b_ {2})) = (a_ { 1},b_{2})+(b_{1},a_{2})+\beta (T_{1},T_{2}),}}

gdzie $β(T 1, T 2)$ jest symetryczną postacią dwuliniową zdefiniowaną przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ beta ( R(a,b),R(c,d))=(R(a,b)c,d)=(R(c,d)a,b),}}

z postacią dwuliniową $(a, b)$ odpowiadającą postaci śladowej: $(a, b) = Tr L (ab)$ .

Mówiąc bardziej ogólnie, generatory grupy $G$ działają na zasadzie automorfizmów jako sol $\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {W (a, T, b) = (Wa, WTW ^ {- 1},(W^{t})^{-1}b),}}$
${\ Displaystyle \ Displaystyle {J (a, T, b) = (- b, - T ^ {t}, -a) ,}}$
${\ Displaystyle \ Displaystyle {T_ {x} (a, T, b )=(a+Tx-Q(x)b,TR(x,b),b),}}$
${\ Displaystyle \ Displaystyle {S_ {y} (a, T, b) = (a, TR (a, y), bT ^ {t} yQ (y) a).}}$

Forma zabijania nie jest zdegenerowana sol $\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Niedegeneracja formy Zabijania wynika bezpośrednio z formuły jawnej. Według kryterium Cartana $półprosty$ . W następnym podrozdziale grupa $G$ jest zrealizowana jako złożoność połączonej zwartej grupy Liego $H$ z trywialnym środkiem, a więc półprostym. Daje to bezpośredni sposób weryfikacji półprostoty. Grupa H działa również przechodnio na X .

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest algebrą Liego wszystkich holomorficznych pól wektorowych na $X$ .

Aby udowodnić, że wyczerpuje holomorficzne pola wektorowe na $X , zauważ$ $, że$ grupa T działa holomorficzne pola wektorowe. Ograniczenie takiego pola wektorowego do $0 X = A$ daje holomorficzne odwzorowanie A na A . Rozwinięcie szeregu potęgowego wokół 0 jest zbieżną sumą jednorodnych części stopnia $m \geq 0$ . Działanie $T$ skaluje część stopnia $m$ o $α 2 m - 2$ . Biorąc współczynniki Fouriera w odniesieniu do T , część stopnia m jest również holomorficznym polem wektorowym. Ponieważ koniugacja przez $J$ daje odwrotność $T$ , wynika z tego, że jedynymi możliwymi stopniami są 0, 1 i 2. Stopień 0 jest uwzględniany przez pola stałe. Ponieważ koniugacja przez $J$ zamienia stopień 0 i stopień 2, wynika z tego, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ pm 1}}$ uwzględnić wszystkie te holomorficzne pola wektorowe. Każde kolejne holomorficzne pole wektorowe musiałoby pojawić się w stopniu 1, a więc miałoby postać a $\mapsto Ma dla$ pewnego $M$ w $końcu A.$ Koniugacja przez J dałaby kolejną taką mapę N . Co więcej, $e tM (a,0,0)= (e tM a,0,0)$ . Ale wtedy

{\ Displaystyle \ Displaystyle {e ^ {tM} (0,0, b) = Je ^ {tN} J (0,0, b) = Je ^ {tN} (b, 0,0) = (0,0 ,e^{tN}b).}}

Ustaw $U t = e tM$ i $V t = mi tB$ . Następnie

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (U_ {t} a) b = U_ {t} Q (a) V_ {-t} b.}}

Wynika z tego, że $U t$ leży w $Γ (ZA)$ dla wszystkich $t$ , a zatem $M$ leży w ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ . Więc jest dokładnie przestrzenią holomorficznych pól wektorowych na X . sol $\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Kompaktowa forma rzeczywista

Działanie G na jest wierne. sol {\ displaystyle {\ mathfrak $g}}}$

Załóżmy, że $g = WT x S y T z$ działa trywialnie na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Wtedy $S y T z$ musi pozostawić podalgebrę $(0,0, A)$ niezmienną. Dlatego też musi $S y$ . To wymusza $y = 0$ , więc $g = WT x + z$ . Ale wtedy $T x+z$ musi opuścić podalgebrę $(A,0,0)$ niezmiennik, więc $x + z = 0$ i $g = W$ . Jeśli $W$ działa trywialnie, $W = I$ .

Grupę $G$ można zatem utożsamić z jej obrazem w GL ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Niech $A = E + iE$ będzie złożonością euklidesowej algebry Jordana $E$ . Dla $a = x + iy$ , ustaw $a * = x - iy$ . Forma śladu na $E$ definiuje złożony iloczyn wewnętrzny na $A$ , a zatem operację sprzężoną. Jednolita grupa strukturalna $Γ u (A)$ składa się z tych $g$ w $Γ (A)$ które są w $U (A)$ , tj. spełniają $gg *= g * g = I$ . Jest to zamknięta podgrupa U ( A ). Jego algebra Liego składa się z elementów połączonych skośnie w ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ . Zdefiniuj sprzężoną inwolucję liniową $θ$ na ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ theta (a, T, b) = (b ^ {*}, - T ^ {*}, a ^ {*}).}}

Jest to sprzężony automorfizm liniowy okresu 2 algebry Liego. Indukuje automorfizm $G$ , który na generatorach jest dany przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ teta (S_ {a}) = T_ {a ^ {*}}, \, \, \, \ teta (j) = j, \, \, \, \ teta (T_ {b })=S_{b^{*}},\,\,\,\theta (W)=(W^{*})^{-1}.}}

Niech $H$ będzie podgrupą punktu stałego $θ$ w $G$ . Niech będzie podalgebrą punktu stałego $θ$ w ${\ mathfrak {g}}$ $Displaystyle$ . Zdefiniuj formę seskwiliniową na ( $za , b ) = - B ( za , θ ( b ) } . sol {\ displaystyle {$ $mathfrak {g}}$ } To definiuje złożony iloczyn wewnętrzny na ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ co ogranicza się do rzeczywistego iloczynu wewnętrznego na ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ . Obie zachowane przez $H.$ Niech $K$ będzie składową tożsamościową $Γ u (A)$ . Leży w $H.$ Niech $K e = T m$ będzie ukośnym torusem związanym z układem Jordana w E . Działanie $SL(2, C) m$ jest zgodne z $θ$ , które wysyła jednomodułową macierz ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa & \ beta \\\ gamma i \ delta \ koniec {pmatrix}}}$ do ${\ Displaystyle { \begin{pmatrix}{\overline {\delta}}&-{\overline {\gamma}}\\-{\overline {\beta}}&{\overline {\alpha}}\end{pmatrix}}}$ . W szczególności daje to homomorfizm $SU(2) m$ w $H$ .

Teraz każdą macierz $M$ w $SU(2)$ można zapisać jako iloczyn

{\ Displaystyle \ Displaystyle {M = {\ rozpocząć {pmatrix} \ zeta _ {1} i 0 \\ 0 & \ zeta _ {1} ^ {-1} \ koniec {pmatrix}} {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta _{2}&0\\0&\zeta _{2}^{-1 }\end{pmacierz}}.}}

Współczynnik w środku daje kolejny torus maksymalny w $SU(2)$ otrzymany przez sprzężenie przez $J$ . Jeśli $a = Σ α i mi i$ gdzie |α _i | = 1, wtedy $Q (a)$ daje działanie torusa ukośnego $T = T m$ i odpowiada elementowi $K \subseteq H$ . Element $J$ leży w $SU(2) m$ , a jego obraz jest transformacją Möbiusa $j$ leży w $H.$ Zatem $S = j \circ T \circ j$ jest kolejnym torusem w $H$ i $T \circ S \circ T$ pokrywa się z obrazem $SU(2) m$ .

H działa przechodnie na X . Stabilizatorem $(0:0)$ jest $K$ . Ponadto $H = KSK$ , tak że $H$ jest połączoną zamkniętą podgrupą grupy unitarnej na ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Jego algebra Liego to ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ .

Ponieważ $Z = SU(2) m (0: (0:0)$ for the compact complex manifold corresponding to $A e$ , if follows that $Y = T S (0:0)$ , where $Y$ is the image of $Z$ . On the other hand, $X = KY$ , so that $X = KTS (0:0) = KS (0:0)$ . On the other hand, the stabilizer of $(0:0)$ in $H$ is $K$ , ponieważ podgrupa punktu stałego $0 G G -1$ pod $θ$ to $K$ . Stąd $H = KSK$ . W szczególności H jest zwarty i spójny, ponieważ zarówno K , jak i S są. Ponieważ $.$ to zamknięta podgrupa , jest to grupa Kłamstwa Zawiera K , a zatem jego algebra Liego zawiera operatory $(0, T,0)$ z $T * = - T$ . Zawiera obraz $SU(2) m$ , a więc elementy $(a, 0, a *)$ z $a$ w $A e$ . Ponieważ $ZA = KA mi$ i $(k t) -1 (za = (ka) * , wynika z tego$ $(* 0, a *)$ ) $,$ że algebra $H$ zawiera dla wszystkich $a$ w $A$ . Zawiera więc ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ .

Są równe, ponieważ wszystkie wyprowadzenia skośno-sprzężone $są$ . W rzeczywistości, ponieważ $H$ normalizuje $,$ a działanie przez koniugację jest wierne, mapa algebry Liego ${\ mathfrak {h}} _ {1}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {d}}}$ $jest$ wierny . w szczególności ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ma trywialne centrum. Aby pokazać, że równa się ${\ Displaystyle$ ${\ mathfrak {h}} _ {1}}$ , wystarczy pokazać, że $}} }$ pokrywa się z ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ . $.$ na są sprzężone skośnie dla iloczynu wewnętrznego podanego przez minus formę zabijania Weź niezmienny iloczyn wewnętrzny $podany$ przez $-Tr D 1 D 2$ . Ponieważ $displaystyle {\ mathfrak {d}}},$ pod $\$ tak samo jest z jego ortogonalnym dopełnieniem. Oba są ideałami w $.$ więc nawias Lie między nimi musi zniknąć Ale wtedy każde wyprowadzenie w dopełnieniu ortogonalnym miałoby nawias 0 Lie z $,$ musi wynosić zero. Stąd jest algebrą Liego $mathfrak {h}}}$ $\$ . (Wynika to również z liczby wymiarów, ponieważ $dim X = dim H - dim K$ .)

$G$ jest izomorficzne z zamkniętą podgrupą ogólnej grupy liniowej na ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Powyższe wzory na działanie $W$ i $S y$ pokazują, że obraz $0 sol sol -1$ jest zamknięty w GL ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Ponieważ $H$ działa przechodnio na $X$ , a stabilizatorem $(0:0)$ w $G$ jest $0 G G -1$ , wynika z tego, że $0 G = HG G -1$ . Zwartość $H$ i zamkniętość $0 G G -1$ oznacza, że $G$ jest domknięte w GL ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

$G$ jest połączoną złożoną grupą Liego z algebrą Liego ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Jest to złożoność H.

$G$ jest zamkniętą podgrupą GL $.$ a więc prawdziwą grupą Liego Ponieważ zawiera $G ja$ z $i = 0$ lub $\pm 1$ , jego algebra Liego zawiera ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest złożonością ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ , jak ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ wszystkie jego pochodne są wewnętrzne i ma trywialne centrum. Ponieważ algebra Liego $G$ normalizuje , a o jest jedynym elementem centralizującym ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}$ tak jak w zwartym przypadku algebra Liego $G$ musi sol $}$ być ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . (Można to również zobaczyć na podstawie liczby wymiarów, ponieważ $0 dim X = dim G - dim G G -1$ .) Ponieważ jest to złożona podprzestrzeń, $G$ jest złożoną grupą Liego. Jest spójny, ponieważ jest obrazem ciągłym zbioru spójnych $0 H \times G G -1$ . Ponieważ jest złożonością $G$ $jest$ złożonością $H$ . $mathfrak {g}}}$ \

Niezwarta postać rzeczywista

Dla $a$ w $A$ norma widmowa || || _ jest zdefiniowany jako $max α i$ jeśli $a = u Σ α i e i$ gdzie $α i \geq 0$ oraz $u$ w $K$ . Jest niezależny od wyborów i definiuje normę na $A$ . Niech $D$ będzie zbiorem $a$ z || || _ < 1 i niech $H *$ będzie składową tożsamościową zamkniętej podgrupy G przenosząc $D$ na siebie. Jest generowany przez $K$ , transformacje Möbiusa w $PSU(1,1)$ i obraz $SU(1,1) m$ odpowiadający układowi Jordana. Niech τ będzie sprzężonym liniowym okresem 2 automorfizmem zdefiniowanym przez ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ tau (a, T, b) = (-a ^ {*}, -T ^ {*}, -b ^ {*}).}}

Niech będzie algebrą punktu stałego τ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ Jest to algebra Liego $H *$ . Indukuje automorfizm okresu 2 $G$ z podgrupą punktu stałego $H *$ . Grupa $H *$ działa przechodnio na $D$ . Stabilizatorem 0 jest $K$ .

Niezwarta rzeczywista półprosta grupa Liego $H *$ działa na X z otwartą orbitą $D$ . Podobnie jak w przypadku działania $SU(1,1)$ na sferę Riemanna, ma ona tylko skończenie wiele orbit. Ta struktura orbity może być wyraźnie opisana, gdy algebra Jordana $A$ jest prosta. Niech $0 X (r, s)$ będzie podzbiorem $A$ składającym się z elementów $a = u Σ α i a i$ z dokładnie $r$ z α _i mniejsze niż jeden i dokładnie $s$ z nich większe niż jeden. Zatem $0 \leq r + s \leq m$ . Zbiory te są punktami przecięcia orbit $X (r, s)$ z $H *$ z $X 0$ . Orbity z $r + s = m$ są otwarte. Istnieje unikalna zwarta orbita $X (0,0)$ . Jest to granica Szyłowa na pd D składający się z elementów $e ix$ z $x$ w $E$ , podstawowa euklidesowa algebra Jordana. $X (p, q)$ jest w domknięciu $X (r, s)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $p \leq r$ i $q \leq s$ . W szczególności $S$ znajduje się w domknięciu każdej orbity.

Algebry Jordana z inwolucją

Poprzednia teoria opisuje nieredukowalne hermitowskie przestrzenie symetryczne typu rurowego w kategoriach jednostkowych algebr Jordana. W Loos (1977) ogólne hermitowskie przestrzenie symetryczne są opisane przez systematyczne rozszerzenie powyższej teorii na pary Jordana . Jednak w opracowaniu Koechera (1969) nieredukowalne hermitowskie przestrzenie symetryczne nie typu rurowego są opisane w kategoriach automorfizmów okresu dwóch prostych euklidesowych algebr Jordana. W rzeczywistości każdy automorfizm okresu 2 definiuje parę Jordana: ogólne wyniki Loos (1977) na parach Jordana może być wyspecjalizowany w tym ustawieniu.

Niech τ będzie dwuokresowym automorfizmem prostej euklidesowej algebry Jordana E ze złożonością A . Istnieją odpowiednie rozkłady E = E ₊ ⊕ E ₋ i A = A ₊ ⊕ A ₋ na ±1 przestrzenie własne τ. Niech $V \equiv ZA τ = ZA -$ . Zakłada się, że τ spełnia dodatkowy warunek, że postać śladu na $V$ definiuje iloczyn wewnętrzny. dla $_$ w $V$ zdefiniuj $Q τ (a)$ jako ograniczenie $Q (a)$ do V . Dla pary $(a, b)$ w $V 2$ zdefiniuj $B τ (a, b)$ i $R τ (a, b)$ jako ograniczenie $B (a, b)$ i $R (a, b)$ do $V$ . Wtedy $V$ jest proste wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi podprzestrzeniami niezmiennymi dla wszystkich operatorów $Q τ (a)$ i $R τ (a, b)$ są $(0)$ i $V$ .

Warunki quasi-odwracalności w $A$ pokazują, że $B τ (a, b)$ jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy $B (a, b)$ jest odwracalny. Quasi-odwrotność $a b$ jest taka sama, niezależnie od tego, czy została obliczona w $A$ , czy w $V$ . Przestrzeń klas równoważności $X τ$ można zdefiniować na parach $V 2$ . Jest to zamknięta podprzestrzeń $X$ , taki zwarty. Ma również strukturę złożonej rozmaitości, wzorowanej na $V$ . Grupę strukturalną $Γ(V)$ można zdefiniować za pomocą $Q τ$ i ma ona jako podgrupę unitarną grupę strukturalną $Γ u (V) = Γ (V) \cap U (V)$ ze składnikiem tożsamości $K τ$ . Grupa $K τ$ jest składową tożsamościową podgrupy punktu stałego τ w $K$ . Niech $G τ$ , the identity component of $Γ(V)$ , and the Abelian groups $G τ,-1$ consisting of the $S a$ będzie grupą biholomorfizmów $X τ$ generowaną przez $W$ w $G τ τ,0$ , $G τ,+1$ consisting of the $T b$ with $a$ and $b$ in $V$ . It acts transitively on $X τ$ with stabilizer $G τ,0 G τ,-1$ i $sol τ = sol τ,0 sol τ,-1 sol τ,+1 sol τ,-1$ . Algebra Liego $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ tau}}$ pól wektorowych na $X {$ jest 3-stopniową algebrą Liego, sol τ

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ mathfrak {g}} _ {\ tau} = {\ mathfrak {g}} _ {\ tau, + 1} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ tau, 0} \oplus {\mathfrak {g}}_{\tau,-1}.}}

Ograniczone do $V$ składowe są generowane jak poprzednio przez stałe funkcje w $V$ , przez operatory $R τ (a, b)$ oraz przez operatory $Q τ (a)$ . Nawiasy Liego są podane według dokładnie tego samego wzoru, co poprzednio.

Rozkład widmowy w $E τ$ i $V$ jest realizowany za pomocą tripotentów , tj. elementów $e$ takich, że $e 3 = e$ . W tym przypadku $f = e 2$ jest idempotentem w $E +$ . Istnieje rozkład Pierce'a $0 E = mi ( f ) ⊕ mi .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1 / 2 ( f ) ⊕ mi 1 ( f )$ w przestrzenie własne $L (f)$ . Operatory $L (e)$ i $L (f)$ dojeżdżają, więc $L (e)$ pozostawia przestrzenie własne powyżej niezmienne. W rzeczywistości $L (e) 2$ działa jak 0 na $0 E (f)$ , jak 1/4 na $E 1 / 2 (f)$ i 1 na $E 1 (fa)$ . To indukuje rozkład Pierce'a $E τ = mi τ,0 (fa) \oplus mi τ, 1 / 2 (fa) \oplus mi τ,1 (fa)$ . Podprzestrzeń $E τ,1 (f)$ staje się euklidesową algebrą Jordana z jednostką $f$ pod wpływem mutacji iloczyn Jordana $x \circ y = {x, e, y$ }.

dwa trójpotenty $e 1$ i $e 2$ są ortogonalne , jeśli wszystkie operatory $[L (a), L (b)] = 0$ , gdy a i b są potęgami $e 1$ i $e 2$ oraz jeśli odpowiadające im idempotenty $f 1$ i $f 2$ są ortogonalne. W tym przypadku $e 1$ i $e 2$ wygeneruj przemienną algebrę asocjacyjną i $mi 1 mi 2 = 0$ , ponieważ $(mi 1 mi 2, mi 1 mi 2) = (fa 1, fa 2) = 0$ . Niech $a$ będzie w $E τ$ . Niech $F$ będzie skończenie wymiarową rzeczywistą podprzestrzenią rozpiętą przez nieparzyste potęgi $a$ . Dojeżdżające operatory samosprzężone $L (x) L (y)$ z $x, y$ nieparzystymi potęgami $działania$ na $F$ , więc może być jednocześnie diagonalizowane przez bazę ortonormalną $e i$ . Ponieważ $(e i) 3$ jest dodatnią wielokrotnością $e i$ , przeskalowując w razie potrzeby, $e i$ można wybrać jako trójpotentny. Z założenia tworzą rodzinę ortogonalną. Ponieważ $a$ jest w $F$ , można zapisać $a = Σ α i e i$ z $α i$ rzeczywista. Są to tak zwane wartości własne $a$ (względem τ). Każdy inny trójpotent $w$ F $ma$ postać $a = Σ ε i e i$ gdzie $ε i = 0, \pm1$ , więc e $i są$ równe minimalnym trójpotentom w $F$ .

Maksymalną rodzinę trypotentów ortogonalnych w $E τ$ nazywamy układem Jordana . Trójpotenty są z konieczności minimalne. $samą τ$ liczbę elementów, zwaną rzędem E . Dowolne dwie ramki są powiązane przez element w podgrupie grupy strukturalnej $E τ$ zachowujący postać śladu. Dla danego układu Jordana $w (ei)$ dowolny element $a$ w $V można zapisać$ postaci $a = u Σ α i mi ja$ gdzie $α i \geq 0$ i $u$ operator w $K τ$ . Norma widmowa a jest zdefiniowana przez $||$ || _ = sup α _i jest niezależny od wyborów. Jego kwadrat jest równy normie operatora $Q τ (a)$ . W ten sposób $V$ staje się zespoloną przestrzenią unormowaną z otwartą kulą jednostkową $D τ$ .

Zauważ, że dla $x$ w $E$ operator $Q (x)$ jest samosprzężony, więc norma || $Q (x) n$ || = || $Q (x)$ || ^rz . Ponieważ $Q (x) n = Q (x n)$ , wynika z tego, że || $x n$ || = || $x$ || ^rz . W szczególności norma widmowa $x = Σ α i e ja$ w $A$ jest pierwiastkiem kwadratowym normy widmowej $x 2 = Σ (α i) 2 fa ja$ . Wynika z tego, że norma widmowa $x$ jest taka sama, niezależnie od tego, czy została obliczona w $A$ , czy w $A τ$ . Ponieważ $K τ$ zachowuje obie normy, normę widmową na $A τ$ uzyskuje się przez ograniczenie normy widmowej na $A$ .

Dla układu Jordana $e 1 ..., em =$ $V e \oplus C mi,$ , niech . Istnieje działanie $SL(2, C) m$ na $V e$ , które rozciąga się na V . Jeśli $do = Σ γ ja mi)$ ja $i b = Σ β mi ja,$ $S (do ja$ to i $T (b)$ podaj działanie iloczynu dolnej i górnej jednostkowej macierzy trójkątnej. Jeśli $a = Σ α i mi ja$ z $α i \neq 0$ , to odpowiedni iloczyn macierzy diagonalnych zachowuje się jak $W = B τ (a, e - a)$ , gdzie $e = Σ mi ja$ . W szczególności macierze diagonalne dają działanie $(C) m$ $Tm *$ i .

Podobnie jak w przypadku bez automorfizmu τ, istnieje automorfizm θ $G τ$ . Te same argumenty pokazują, że podgrupa punktu stałego $H τ$ jest generowana przez $K τ$ i obraz $SU(2) m$ . Jest to zwarta spójna grupa Liego. Działa przechodnio na $X τ$ ; stabilizatorem $(0:0)$ jest $K τ$ . Zatem $X τ = H τ / K τ$ , hermitowska przestrzeń symetryczna typu zwartego.

Niech $H τ *$ będzie składową tożsamościową zamkniętej podgrupy $G τ$ przenoszącej $D τ$ na siebie. Jest generowany przez $K τ$ i obraz $SU(1,1) m$ odpowiadający ramie Jordana. Niech ρ będzie sprzężonym liniowym okresem 2 automorfizmem zdefiniowanym przez ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ tau}}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ rho (a, T, b) = (-a ^ {*}, -T ^ {*}, -b ^ {*}).}}

Niech będzie algebrą punktów stałych ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {\ tau} ^ {*}}$ Jest to algebra Liego $H τ *$ . Indukuje automorfizm okresu 2 $G$ z podgrupą punktu stałego $H τ *$ . Grupa $H τ *$ działa przechodnio na $D τ$ . Stabilizatorem 0 jest $K τ *$ . $H τ */ K τ$ jest hermitowską symetryczną przestrzenią typu niezwartego dualną do $H τ / K τ$ .

Hermitowska przestrzeń symetryczna typu niezwartego ma nieograniczoną realizację, analogiczną do górnej półpłaszczyzny w C . Transformacje Möbiusa w $PSL(2, C)$ odpowiadające transformacie Cayleya i jej odwrotności dają biholomorfizmy sfery Riemanna z zamianą dysku jednostkowego i górnej półpłaszczyzny. Kiedy hermitowska przestrzeń symetryczna jest typu rurowego, te same transformacje Möbiusa odwzorowują dysk $D$ w $A$ na domenę rurową $T = E + iC$ były $C$ jest otwartym samodualnym wypukłym stożkiem kwadratów w euklidesowej algebrze Jordana $E$ .

Dla hermitowskiej przestrzeni symetrycznej nie typu rurowego nie ma działania $PSL(2, C)$ na X , więc nie ma analogicznej transformaty Cayleya. W takim przypadku można zdefiniować częściową transformatę Cayleya dla dowolnego danego maksymalnego tripotentu $e = Σ ε i e i$ w $E τ$ . Zajmuje dysk $D τ$ w $A τ = A τ,1 (f) \oplus A τ, 1 / 2 (f)$ na domenę Siegela drugiego rodzaju.

W tym przypadku $E τ,1 (f)$ jest euklidesową algebrą Jordana i istnieje symetryczna dwuliniowa postać $E τ,1 (f) na$ $E τ, 1 / 2 (f)$ taka, że odpowiadająca jej forma kwadratowa $q$ przyjmuje wartości w jego dodatni stożek $C τ$ . Domena Siegela składa się z par $(x + iy, u + iv)$ takie, że $y - q (u) - q (v)$ leży w $C τ$ . Postać kwadratowa $q$ na $E, 1/2 x) (f)$ $x \mapsto Q τ (τ E e$ i operacja podniesienia do kwadratu na $τ,1 (f)$ są dane przez . Dodatni stożek $C τ$ odpowiada $x$ z odwracalnym $Q τ (x)$ .

Przykłady

Dla prostych euklidesowych algebr Jordana $E$ ze złożonością $A$ , hermitowskie przestrzenie symetryczne typu zwartego $X$ można opisać jawnie w następujący sposób, stosując klasyfikację Cartana.

Wpisz I _n . A jest algebrą Jordana $x \circ y = 1/2 xy . ( + yx) macierzy$ zespolonych n × n $M n (C)$ z operatorem iloczyn Jordana Jest to złożoność $E = H n (C)$ , euklidesowej algebry Jordana samosprzężonego n × n złożone macierze. W tym przypadku $G = PSL (2 n, do)$ działając na $A$ z ${\ Displaystyle g = {\ rozpocząć {pmatrix} a&b \\ c&d \ koniec {pmatrix}}}$ działając jako $g (z) = (az + b) (cz + re) -1$ . Rzeczywiście, można to zweryfikować bezpośrednio dla przekątnych, górnych i dolnych jednostkowych macierzy trójkątnych, które odpowiadają operatorom $W$ , $S c$ i $T b$ . Podzbiór $Ω$ odpowiada macierzom $g$ z $d$ odwracalnymi. W rzeczywistości rozważ przestrzeń odwzorowań liniowych od $C n$ do $C 2 n = C n \oplus C n$ . Opisuje go para ( $T 1$ | $T 2$ ) $gdzie Ti$ w $M n (C)$ . Jest to moduł dla $GL(2 n, C)$ działający na przestrzeń docelową. Istnieje również działanie $GL(n, C)$ indukowane działaniem na przestrzeń źródłową. Przestrzeń odwzorowań iniekcyjnych $U$ jest niezmienna i $GL(n, C)$ działa na niej swobodnie. Iloraz to Grassmannian $M$ składający się z n -wymiarowe podprzestrzenie $C 2 n$ . Zdefiniuj mapę $A 2$ na $M$ , wysyłając $(a, b)$ do mapy iniekcyjnej ( $a$ | $I - b t a$ ). Ta mapa indukuje izomorfizm $X$ na $M$ .

W rzeczywistości niech $V$ będzie n -wymiarową podprzestrzenią $C n \oplus C n$ . Jeśli jest w pozycji ogólnej, tj. on i jego dopełnienie ortogonalne mają trywialne przecięcie z $C n \oplus (0)$ i $(0) \oplus C n$ , to jest to graf operatora odwracalnego $T$ . Więc obraz odpowiada ( $a$ | $I - b t a$ ) gdzie $a = I$ i $b t = ja - T$ .

Z drugiej strony $V$ i jego dopełnienie ortogonalne $U$ można zapisać jako sumy ortogonalne $V = V 1 \oplus V 2$ , $U = U 1 \oplus U 2$ , gdzie $V 1$ i $U 1$ są punktami przecięcia z $C n \oplus (0)$ i $V 2$ i $U 2$ gdzie $(0) \oplus C n$ . Następnie $ciemny V 1 = ciemny U 2$ i $ciemny V 2 = ciemny U 1$ . Co więcej, $do n \oplus (0) = V 1 \oplus U 1$ i $(0) \oplus do n = V 2 \oplus U 2$ . Podprzestrzeń $V$ odpowiada parze ( $e$ | $I - e$ ), gdzie $e$ jest rzutem ortogonalnym $C n \oplus (0)$ na $V 1$ . Więc $a = e$ i $b = ja$ .

Ogólny przypadek jest bezpośrednią sumą tych dwóch przypadków. $V$ można zapisać jako sumę ortogonalną $0 V = V \oplus V 1 \oplus V 2$ , gdzie $V 1$ i $V 2$ są punktami przecięcia z $C n \oplus (0)$ i $(0) \oplus C n$ i $V 0$ jest ich dopełnieniem ortogonalnym w $V$ . Podobnie można zapisać dopełnienie ortogonalne $U$ od $V$ $0 U = U \oplus U 1 \oplus U 2$ . Zatem $C n \oplus (0) = V 1 \oplus U 1 \oplus W 1$ i $(0) \oplus C n = V 2 \oplus U 2 \oplus W 2$ , gdzie $W i$ są dopełnieniami ortogonalnymi. Suma bezpośrednia $(V 1 \oplus U 1) \oplus (V 2 \oplus U 2) \subseteq C n \oplus C n$ jest drugiego rodzaju, a jego ortogonalne dopełnienie pierwszego rodzaju.

Odwzorowania $W$ w grupie struktur odpowiadają $h$ w $GL(n, C)$ , gdzie $W (a) = hah t$ . Odpowiednia mapa na $M$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $hx$ | $(h t) -1 y$ ). Podobnie mapa odpowiadająca $S c$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $x$ | $y + c$ ), mapa odpowiadająca $T b$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $x + b$ | $y$ ), a mapa odpowiadająca $J$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $y$ | $- x$ ). Wynika z tego, że mapa odpowiadająca $g$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $ax + by$ | $cx + dy$ ). Z drugiej strony, jeśli $y$ jest odwracalne, ( $x$ | $y$ ) jest równoważne ( $xy -1$ | $I$ ), stąd wzór na ułamkową transformację liniową.

Typ III _n . A $x \circ y = 1/2 xy . ( + yx) jest$ algebrą Jordana n × n symetrycznych macierzy zespolonych S $n (C) z$ operatorem iloczyn Jordana Jest to złożoność $E = H n (R)$ , euklidesowej algebry Jordana n × n symetryczne macierze rzeczywiste. Na $C 2 n = C n \oplus do n$ , zdefiniuj niezdegenerowaną naprzemienną formę dwuliniową przez $ω(x 1 \oplus y 1, x 2 \oplus y 2) = x 1 • y 2 - y 1 • x 2$ . W notacji macierzowej, jeśli ${\ Displaystyle J = {\ początek {pmatrix} 0 i ja \\ - ja i 0 \ koniec {pmatrix}}}$ ,

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ omega (z_ {1}, z_ {2}) = zJz ^ {t}.}}

Niech $Sp(2n, C)$ oznacza zespoloną grupę symplektyczną , podgrupę $GL(2n, C)$ zachowującą ω. Składa się z $g$ takiego, że $gJg t = J$ i jest domknięty pod $g \mapsto g t$ . Jeśli ${\ Displaystyle g = {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}}$ należy do $Sp (2n, do)$ to

{\ Displaystyle \ Displaystyle {g ^ {-1} = {\ rozpocząć {pmatrix} d ^ {t} & -c ^ {t} \\-b ^ {t} i a ^ {t} \ koniec {pmatrix}} .}}

Ma środek ${\pm I$ }. W tym przypadku $G = Sp(2 n, do)/{\pm ja$ } działając na $A$ jako $g (z) = (az + b) (cz + re) -1$ . Rzeczywiście, można to zweryfikować bezpośrednio dla przekątnych, górnych i dolnych jednostkowych macierzy trójkątnych, które odpowiadają operatorom $W$ , $S c$ i $T b$ . Podzbiór $Ω$ odpowiada macierzom $g$ z $d$ odwracalnymi. W rzeczywistości rozważmy przestrzeń odwzorowań liniowych od $C n$ do $C 2 n = C n \oplus C n$ . Opisuje $(Mn (C to$ para $T1 .$ | $T2)$ ) $z Ti$ w To jest moduł dla $Sp(2 n, C)$ działając na przestrzeń docelową. Istnieje również działanie $GL(n, C)$ indukowane działaniem na przestrzeń źródłową. Przestrzeń odwzorowań iniekcyjnych $U$ z obrazem izotropowym, tj. ω znika na obrazie, jest niezmienna. Co więcej, $GL(n, C)$ działa na nią swobodnie. Iloraz jest symplektycznym Grassmannowskim $M$ składającym się z n -wymiarowych podprzestrzeni Lagrange'a $C 2 n$ . Zdefiniuj mapę $A 2$ do $M$ , wysyłając $(a, b)$ do mapy iniekcyjnej ( $a$ | $I - ba$ ). Ta mapa indukuje izomorfizm $X$ na $M$ .

W rzeczywistości niech $V$ będzie n -wymiarową podprzestrzenią Lagrange'a $C n \oplus C n$ . Niech $U$ będzie podprzestrzenią Lagrange'a dopełniającą $V$ . Jeśli są one w pozycji ogólnej, tj. mają trywialne przecięcie z $C n \oplus (0)$ i $(0) \oplus C n$ , to $V$ jest wykresem odwracalnego operatora $T$ z $T t = T$ . Więc obraz odpowiada ( $a$ | $ja - ba$ ) gdzie $za = ja$ i $b = ja - T$ .

Z drugiej strony $V$ i $U$ można zapisać jako bezpośrednie sumy $V = V 1 \oplus V 2$ , $U = U 1 \oplus U 2$ , gdzie $V 1$ i $U 1$ są punktami przecięcia z $C n \oplus (0)$ i $V 2$ oraz $U 2$ gdzie $(0) \oplus C n$ . Następnie $przyciemnij V 1 = ciemny U 2$ i $ciemny V 2 = ciemny U 1$ . Co więcej, $do n \oplus (0) = V 1 \oplus U 1$ i $(0) \oplus do n = V 2 \oplus U 2$ . Podprzestrzeń $V$ odpowiada parze ( $e$ | $I - e$ ), gdzie $e$ jest rzutem $C n \oplus (0)$ na $V 1$ . Zauważmy, że para ( $C n \oplus (0)$ , $(0) \oplus C n$ ) jest dualna względem ω i identyfikacja między nimi indukuje kanoniczną symetryczną dwuliniową formę na $C n$ . _W szczególności V1 identyfikuje _się_z U2 _, a V2 z U1 . Ponadto są to V ₁ i U ₁ są ortogonalne względem symetrycznej formy dwuliniowej na ( $C n \oplus (0)$ . Stąd idempotentny $e$ spełnia $e t = e$ . Więc $a = e$ i $b = I$ leżą w $A$ i $V$ jest obrazem ( $a$ | $I - ba$ ).

Ogólny przypadek jest bezpośrednią sumą tych dwóch przypadków. $V$ można zapisać jako bezpośrednią sumę $0 V = V \oplus V 1 \oplus V 2$ gdzie $V 1$ i $V 2$ są punktami przecięcia z $C n \oplus (0)$ i $(0) \oplus C n$ i $V 0$ jest dopełnieniem w $V$ . Podobnie $U$ można zapisać $0 U = U \oplus U 1 \oplus U 2$ . Zatem $C n \oplus (0) = V 1 \oplus U 1 \oplus W 1$ i $(0) \oplus C n = V 2 \oplus U 2 \oplus W 2$ , gdzie $W i$ są dopełnieniami. Suma bezpośrednia $(V 1 \oplus U 1) \oplus (V 2 \oplus U 2) \subseteq C n \oplus C n$ jest drugiego rodzaju. Ma dopełnienie pierwszego rodzaju.

Odwzorowania $W$ w grupie struktur odpowiadają $h$ w $GL(n, C)$ , gdzie $W (a) = hah t$ . Odpowiednia mapa na $M$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $hx$ | $(h t) -1 y$ ). Podobnie mapa odpowiadająca $S c$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $x$ | $y + c$ ), mapa odpowiadająca $T b$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $x + b$ | $y$ ), a mapa odpowiadająca $J$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $y$ | $- x$ ). Wynika z tego, że mapa odpowiadająca $g$ wysyła ( $x$ | $y$ ) do ( $ax + by$ | $cx + dy$ ). Z drugiej strony, jeśli $y$ jest odwracalne, ( $x$ | $y$ ) jest równoważne ( $xy -1$ | $I$ ), stąd wzór na ułamkową transformację liniową.

Typ II _2n . A jest algebrą Jordana 2 n × 2 n skośno-symetrycznych zespolonych macierzy $A n (C)$ i iloczyn Jordana $x \circ y = - 1 / 2 (x J y + y J x)$ gdzie jednostka jest określona przez ${\ Displaystyle J = {\ początek {pmatrix} 0 i ja \\ - ja i 0 \ koniec {pmatrix}}}$ . Jest to złożoność $E = H n (H)$ , euklidesowej algebry Jordana samosprzężonych macierzy n × n z wpisami w kwaternionach. Jest to omówione w Loos (1977) i Koecher (1969) .

typ IV _r . A jest algebrą Jordana $C n \oplus C$ z iloczynem Jordana $(x, α) \circ (y, β) = (β x + α y, αβ + x • y)$ . Jest to złożoność euklidesowej algebry Jordana rzędu 2, zdefiniowanej przez te same wzory, ale z rzeczywistymi współczynnikami. Jest to omówione w Loos (1977) .

Typ VI. Złożona algebra Alberta . Jest to omówione w Faulkner (1972) , Loos (1978) i Drucker (1981) .

Hermitowskie przestrzenie symetryczne typu zwartego $X$ dla prostych euklidesowych algebr Jordana $E$ z automorfizmem okresu drugiego można wyraźnie opisać w następujący sposób, stosując klasyfikację Cartana.

Typ I _p,q . Niech F będzie przestrzenią macierzy q na p nad R z p ≠ q . Odpowiada to automorfizmowi E = H _{p + q} ( R ) danemu przez sprzężenie macierzy diagonalnej z wpisami na przekątnej p równymi 1 i q do -1. Bez utraty ogólności $p$ można przyjąć za większe niż $q$ . Struktura jest określona przez iloczyn potrójny $xy t z$ . Przestrzeń X można utożsamiać z Grassmannianem $p$ -wymiarowej podprzestrzeni $C p + q = C p \oplus C q$ . Ma to naturalne osadzenie w $C 2 p = C p \oplus C p$ przez dodanie zer w ostatnich współrzędnych $p - q .$ Ponieważ dowolny $str$ dwuwymiarową podprzestrzeń $C 2 p$ można przedstawić w postaci [ $I - y t x$ | $x$ ], to samo dotyczy podprzestrzeni leżących w $C p + q$ . Ostatnie $p - q$ rzędy $x$ muszą zniknąć, a odwzorowanie nie zmienia się, jeśli ostatnie $p - q$ rzędy $y$ są równe zeru. Tak więc podobna reprezentacja obowiązuje dla odwzorowań, ale teraz z q by p . Dokładnie tak, jak wtedy, gdy $p = q$ , wynika z tego, że istnieje działanie $GL(p + q, C)$ przez ułamkowe przekształcenia liniowe.

Typ II _n F to przestrzeń rzeczywistych macierzy skośno-symetrycznych m na m . Po odjęciu czynnika √ -1 odpowiada to automorfizmowi okresu 2 danemu przez koniugację zespoloną na E = H _n ( C ).

Typ V. F jest bezpośrednią sumą dwóch kopii liczb Cayleya, traktowanych jako macierze 1 na 2. Odpowiada to automorfizmowi okresu kanonicznego 2 zdefiniowanego przez dowolny minimalny idempotent w E = H ₃ ( O ).

Zobacz też

Notatki

Dineen, S.; Mackey, M.; Mellon, P. (1999), „Właściwość gęstości dla trójek JB∗”, Studia Math. , 137 : 143–160, hdl : 10197/7056
Drucker, D. (1978), „Wyjątkowe algebry Liego i struktura hermitowskich przestrzeni symetrycznych”, Mem. Amer. Matematyka soc. , 16 (208)
Drucker, D. (1981), „Uproszczone opisy wyjątkowych ograniczonych domen symetrycznych”, Geom. Dedicata , 10 (1–4): 1–29, doi : 10.1007/bf01447407 , S2CID 120210279
Faraut, J.; Koranyi, A. (1994), Analiza stożków symetrycznych , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853477-8
Faulkner, JR (1972), „Geometria dla E ₇ ”, przeł. Amer. Matematyka soc. , 167 : 49–58, doi : 10.1090/s0002-9947-1972-0295205-4
Faulkner, JR (1983), „Stabilny zakres i grupy liniowe dla alternatywnych pierścieni”, Geom. Dedicata , 14 (2): 177–188, doi : 10.1007/bf00181623 , S2CID 122923381
Helgason, Sigurdur (1978), Geometria różniczkowa, grupy kłamstw i przestrzenie symetryczne , Academic Press, Nowy Jork, ISBN 978-0-12-338460-7
Jacobson, Nathan (1968), Struktura i reprezentacje algebr Jordana , American Mathematical Society Colloquium Publications, tom. 39, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , Zbl 0218.17010
Jacobson, Nathan (1969), Wykłady z kwadratowych algebr Jordana (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Wykłady z matematyki, tom. 45, Bombaj: Instytut Badań Podstawowych Tata, MR 0325715 , Zbl 0253.17013
Jacobson, Nathan (1996), algebry dzielenia skończonych wymiarów na polach , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57029-5 , Zbl 0874.16002
Koecher, Max (1967), "Über eine Gruppe von racjonalen Abbildungen", Invent. Matematyka , 3 (2): 136–171, doi : 10.1007/BF01389742 , S2CID 120969584 , Zbl 0163.03002
Koecher, Max (1969a), "Gruppen und Lie-Algebren von racjonalen Funktionen", Math. Z. , 109 (5): 349–392, doi : 10.1007/bf01110558 , S2CID 119934963
Koecher, Max (1969b), Elementarne podejście do ograniczonych domen symetrycznych , Notatki z wykładów, Rice University
Koecher, Max (1999) [1962], Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (red.), Minnesota Uwagi na temat algebr Jordana i ich zastosowań , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1710, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66360-7 , Zbl 1072.17513
Koecher, Max (1971), „Algebry Jordanii i geometria różniczkowa” (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nicea, 1970), Tome I , Gauthier-Villars, s. 279–283
Kühn, Oda (1975), "Differentialgleichungen in Jordantripelsystemen", Manuscripta Math. , 17 (4): 363–381, doi : 10.1007/BF01170732 , S2CID 121509094
Loos, Ottmar (1975), Jordan pairs , Lecture Notes in Mathematics, tom. 460, Springer-Verlag
Loos, Ottmar (1977), ograniczone domeny symetryczne i pary Jordana (PDF) , wykłady matematyczne, University of California, Irvine, zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2016-03-03 , pobrane 2013-05-12
Loos, Ottmar (1978), „Jednorodne odmiany algebraiczne zdefiniowane przez pary Jordana”, Monatsh. Matematyka , 86 (2): 107–129, doi : 10.1007/bf01320204 , S2CID 121527561
Loos, Ottmar (1979), „O grupach algebraicznych zdefiniowanych przez pary Jordana” , Nagoya Math. J. , 74 : 23–66, doi : 10.1017/S0027763000018432
Loos, Ottmar (1995), „Grupy elementarne i stabilność par Jordana”, K-Theory , 9 : 77–116, doi : 10.1007/bf00965460
McCrimmon, Kevin (1978), „Algebry Jordana i ich zastosowania”, Bull. Amer. Matematyka soc. , 84 (4): 612–627, doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14503-0
McCrimmon, Kevin (2004), Smak algebr Jordana , Universitext, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9 , MR 2014924 , Errata
Meyberg, K. (1972), Wykłady z algebr i systemów potrójnych (PDF) , University of Virginia
Roos, Guy (2008), „Wyjątkowe domeny symetryczne”, Symetrie w analizie zespolonej , Contemp. Matematyka, tom. 468, ameryk. Matematyka Soc., s. 157–189
Springer, Tonny A. (1998), algebry Jordana i grupy algebraiczne , Classics in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-63632-8
Wolf, Joseph A. (1972), „Dobra struktura hermitowskich przestrzeni symetrycznych”, w: Boothby, William; Weiss, Guido (red.), Przestrzenie symetryczne (krótkie kursy, Washington University) , Pure and Applied Mathematics, tom. 8, Dekker, s. 271–357