Kwadratowa algebra Jordana

W matematyce kwadratowe algebry Jordana są uogólnieniem algebr Jordana wprowadzonym przez Kevina McCrimmona ( 1966 ). Podstawowe tożsamości reprezentacji kwadratowej liniowej algebry Jordana są używane jako aksjomaty do zdefiniowania kwadratowej algebry Jordana na polu o dowolnej charakterystyce. Istnieje jednolity opis skończenie wymiarowych prostych algebr kwadratowych Jordana, niezależnie od charakterystyki. Jeśli 2 jest odwracalne w dziedzinie współczynników, teoria kwadratowych algebr Jordana sprowadza się do teorii liniowych algebr Jordana.

Definicja

Kwadratowa algebra Jordana składa się z przestrzeni wektorowej A nad ciałem K z wyróżnionym elementem 1 oraz z kwadratowego odwzorowania A na K -endomorfizmy A , a ↦ Q ( a ), spełniające warunki:

$Q (1) = identyfikator$ ;
$Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)$ („tożsamość podstawowa”);
$Q (za) R (b, za) = R (za, b) Q (a)$ („tożsamość komutacyjna”), gdzie $R (za, b) do = (Q (za + do) - Q (za) - Q (c)) b .$

Co więcej, te właściwości muszą być zachowane w dowolnym rozszerzeniu skalarów .

Elementy

Element a jest odwracalny, jeśli $Q (a)$ jest odwracalny i istnieje $b$ takie, że $Q (b)$ jest odwrotnością $Q (a)$ i $Q (a) b = a$ : takie b jest jedyne i mówimy, że b jest odwrotność a . _ Algebra dzielenia Jordana to taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny.

Struktura

Niech B będzie podprzestrzenią A . Zdefiniuj B jako ideał kwadratowy lub ideał wewnętrzny , jeśli obraz Q ( b ) jest zawarty w B dla wszystkich b w B ; zdefiniuj B jako ideał zewnętrzny , jeśli B jest odwzorowywane na siebie przez każde Q ( a ) dla wszystkich a w A . Ideał A _ _ jest podprzestrzenią, która jest zarówno ideałem wewnętrznym, jak i zewnętrznym. Kwadratowa algebra Jordana jest prosta , jeśli nie zawiera nietrywialnych ideałów.

Dla danego b obraz Q ( b ) jest ideałem wewnętrznym: nazywamy go głównym ideałem wewnętrznym b .

Środek ciężkości Γ A jest podzbiorem Końca _K ( A ) składającym się z endomorfizmów T , które „przechodzą” z Q w tym sensie, że dla wszystkich a

T Q ( za ) = Q ( za ) T ;
Q ( Ta ) = Q ( za ) T ² .

Środek ciężkości prostej algebry jest ciałem: A jest środkiem , jeśli jego środek ciężkości wynosi po prostu K.

Przykłady

Kwadratowa algebra Jordana z algebry asocjacyjnej

Jeśli A jest algebrą jednostkową nad K z mnożeniem ×, wówczas odwzorowanie kwadratowe Q można zdefiniować od A do Końca _K ( A ) za pomocą Q ( a ): b ↦ a × b × a . To definiuje kwadratową strukturę algebry Jordana na A . Kwadratowa algebra Jordana jest szczególna , jeśli jest izomorficzna z podalgebrą takiej algebry, w przeciwnym razie wyjątkowa .

Kwadratowa algebra Jordana z postaci kwadratowej

Niech A będzie przestrzenią wektorową nad K z formą kwadratową q i związaną z nią symetryczną formą dwuliniową q ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ). Niech e będzie „punktem bazowym” A , czyli elementem o q ( e ) = 1. Zdefiniuj funkcjonał liniowy T ( y ) = q ( y , mi ) i „odbicie” y ^∗ = T ( y ) mi - y . Dla każdego x definiujemy Q ( x ) według

Q ( x ) : y ↦ q ( x , y ^∗ ) x - q ( x ) y ^∗ .

Następnie Q definiuje kwadratową algebrę Jordana na A .

Kwadratowa algebra Jordana z liniowej algebry Jordana

Niech A będzie jednostkową algebrą Jordana nad ciałem K o charakterystyce różnej od 2. Dla a w A niech L oznacza lewe odwzorowanie mnożenia w algebrze obwiedni asocjacyjnej

{\ displaystyle L (a): x \ mapsto topór \}

i zdefiniuj K -endomorfizm A , zwany reprezentacją kwadratową , przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}).}}

Następnie Q definiuje kwadratową algebrę Jordana.

Kwadratowa algebra Jordana zdefiniowana przez liniową algebrę Jordana

Tożsamości kwadratowe można udowodnić w skończenie wymiarowej algebrze Jordana nad R lub C , podążając za Maxem Koecherem , który użył elementu odwracalnego. Łatwo je także udowodnić w algebrze Jordana określonej przez algebrę asocjacyjną z jedynką („specjalną” algebrę Jordana), gdyż w tym przypadku Q ( a ) b = aba . Są one ważne w dowolnej algebrze Jordana dla ciała o charakterystyce różnej od 2. Zostało to przypuszczone przez Jacobsona i udowodnione w Macdonald (1960) : Macdonald wykazał, że jeśli tożsamość wielomianu trzech zmiennych, liniowa w trzeciej, jest ważna w dowolnej specjalnej algebrze Jordana, to obowiązuje ona we wszystkich algebrach Jordana. Jacobson (1969 , s. 19–21) podaje elementarny dowód, za McCrimmonem i Meybergiem, dla algebr Jordana na ciele charakterystycznym różnym od 2.

Dowód Koechera

Argumenty Koechera mają zastosowanie do skończenie wymiarowych algebr Jordana na liczbach rzeczywistych lub zespolonych.

Podstawowa tożsamość I

Element a w A nazywa się odwracalnym , jeśli jest odwracalny w R [ a ] lub C [ a ]. Jeśli b oznacza odwrotność, to skojarzenie mocy a pokazuje , że L ( a ) i L ( b ) dojeżdżają do pracy.

W rzeczywistości a jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy Q ( a ) jest odwracalne. W tym wypadku

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) ^ {-1} a = a ^ {-1}, \, \, \, Q (a ^ {-1}) = Q (a) ^ {-1}. }}$

Rzeczywiście, jeśli Q ( a ) jest odwracalne, przenosi R [ a ] na siebie. Z drugiej strony Q ( a )1 = a ² , więc

{\ displaystyle \ displaystyle {( Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^ {2}=1.}}

Tożsamość Jordana

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (a), L (a ^ {2})] (b) = 0}}

można spolaryzować , zastępując a przez a + tc i przyjmując współczynnik t . Przepisanie tego jako operatora zastosowanego do c daje wynik

{\ Displaystyle \ Displaystyle {2L (ab) L (a) + L (a ^ {2}) L (b) = 2L (a) L (b) L (a) + L (a ^ {2} b) .}}

Biorąc b = a ^-1 w tej spolaryzowanej tożsamości Jordana, otrzymujemy

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) L (a ^ {-1}) = L (a).}}

Zastępując a jego odwrotnością, zachodzi zależność, jeśli L ( a ) i L ( a ^-1 ) są odwracalne. Jeśli nie, zachodzi to dla + ε1 z ε dowolnie małym, a więc także w granicy.

Jeśli aib są odwracalne , to Q ( a ) b jest odwracalne i spełnia odwrotną tożsamość :

${\ Displaystyle \ displaystyle {(Q (a) b) ^ {-1} = Q (a ^ {-1}) b ^ {-1}.}} Reprezentacja kwadratowa spełnia następującą podstawową tożsamość$

:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a).}}$

Dla c w A i F ( a ) to funkcja na A z wartościami na końcu A , niech D _c F ( a ) będzie pochodną w t = 0 F ( a + tc ). Następnie

{\ displaystyle \ displaystyle {c = D_ {c} ( Q(a)a^{-1})=2Q(a,c)a^{-1}+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}}

gdzie Q ( a , b ) jeśli polaryzacja Q

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a, c) = {1 \ ponad 2} (Q (a + c) -Q (a) - Q (c)) = L (a) L (c) + L (c )L(a)-L(ac).}}

Ponieważ L ( a ) dojeżdża z L ( a ⁻¹ )

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a, c) a ^ {-1} = (L (a) L (c) + L (c) L (a) -L (ac)) a ^ {- 1} = C.}}

Stąd

{\ Displaystyle \ Displaystyle {c = 2c + Q (a) D_ {c} (a ^ {- 1}),}

aby

${\ Displaystyle \ Displaystyle {D_ {c} (a ^ {-1}) = -Q (a) ^ {-1} c.}}$

Stosując D do L ( a ^-1 ) Q ( a ) = L ( a ) i działając _na b = c ^-1 otrzymujemy

{\ Displaystyle \ Displaystyle {(Q (a) b) (Q (a ^ {-1}) b ^ {- 1} )=1.}}

Z drugiej strony L ( Q ( a ) b ) jest odwracalne w otwartym zbiorze gęstym, gdzie Q ( a ) b musi być również odwracalne z

{\ Displaystyle \ Displaystyle {(Q (a) b) ^ {-1} = Q (a ^ {-1}) b ^ {- 1}.}}

Biorąc pochodną D _c w zmiennej b w powyższym wyrażeniu otrzymujemy

{\ Displaystyle \ Displaystyle {-Q (Q (a) b) ^ {-1} Q (a) c = - Q (a) ^ {-1} Q (b) ^ {- 1} c.}}

Daje to podstawową tożsamość gęstego zbioru odwracalnych elementów, więc ogólnie rzecz biorąc, wynika to z ciągłości. Z podstawowej tożsamości wynika, że c = Q ( a ) b jest odwracalne, jeśli a i b są odwracalne, co daje wzór na odwrotność Q ( c ). Zastosowanie go do c daje odwrotną tożsamość w pełnej ogólności.

Tożsamość komutacyjna I

Jak pokazano powyżej, jeśli a jest odwracalne,

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a, b) a ^ {-1} = b.}}

Biorąc D _c z a , jak podaje zmienna

{\ Displaystyle \ Displaystyle {0 = Q (c, b) a ^ {-1} + Q (a, b) D_ {c} (a ^ {-1}) = Q (c, b) a ^ {- 1}-Q(a,b)Q(a)^{-1}c.}}

Zastąpienie a przez -1 daje, zastosowanie Q ( a ) i ^użycie podstawowej tożsamości daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) Q (b, c) a = Q (a) Q (a ^ {-1}, b) Q (a) c = {\ Frac {1} {2}} Q (a)[Q(a^{-1}+b)-Q(a^{-1})-Q(b)]Q(a)c=Q(Q(a)b,a)c.} }

Stąd

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) Q (b, c) a = Q (Q (a) b, a) c.}}

Zamiana b i c daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) Q (b, c) a = Q (a, Q (a) c) b.}}

Z drugiej strony $R (x, y)$ jest zdefiniowane przez $R (x, y) z = 2 Q (x, z) y$ , więc to implikuje

{\ displaystyle \ displaystyle {Q (a) R (b, a) c = R (a, b) Q

tak, że dla odwracalności , a zatem przez ciągłość dla wszystkich a

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a).}}$

Dowód Mccrimmona-Meyberga

Tożsamość komutacyjna II

Tożsamość Jordana $a (a 2 b) = a 2 (ab)$ można spolaryzować zastępując a przez a + tc i biorąc współczynnik t . To daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {c (a ^ {2} b) + 2a (ac) b) = a ^ {2} (cb) + 2 (ac) (ab).}}

W notacji operatorowej oznacza to

${\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (a ^ {2}), L (c)] +2[L(ac),L(a)]=0.}}$

Polaryzacja ponownie daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {c ((ad) b) + d ((ac) b) + a ((dc) b) = (cd) (ab) + (da) (cb) + (ac) (db) .}}

Daje to, zapisane jako operatory działające na d

{\ Displaystyle \ Displaystyle {L (c) L (b) L (a) + L ((ac) b) + L (a) L (b) L (c) = L (ab) L (c) + L (cb)L(a)+L(ac)L(b).}}

Zastąpienie c przez b i b daje a _

${\ Displaystyle \ Displaystyle {L (b) L (a) ^ {2} + L (a (ab)) + L (a) ^ {2} L (b) = L (a ^ {2}) L ( b)+2L(ab)L(a).}}$

Ponadto, ponieważ prawa strona jest symetryczna w b i ' c , zamieniając b i c po lewej stronie i odejmując , wynika z tego, że komutatory [ L ( b ), L ( c )] są pochodnymi algebry Jordana.

Pozwalać

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}).}}

Następnie Q ( a ) dojeżdża do L ( a ) według tożsamości Jordana.

Z definicji, jeśli $Q (a, b) = ½ (Q (a = b) - Q (a) - Q (b))$ jest powiązanym symetrycznym odwzorowaniem dwuliniowym, to $Q (a, a) = Q (a)$ i

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a, b) = L (a) L (b) + L (b) L (a) -L (ab).}}

Ponadto

${\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (ab, a) = L (b) Q (a) + Q (a) L (b).}}$

Rzeczywiście

2 Q (ab, za) - L (b) Q (za) - Q (za) L (b) = 2 L (ab) L (za) + 2 L (za) L (ab) - 2 L (za (ab)) - 2 L (a) 2 L (b) - 2 L (b) L (za) 2 + L (za 2) L (b) + L (b) L (za 2).

Oznacza to drugą i pierwszą spolaryzowaną tożsamość Jordana

2 Q (ab, za) - L (b) Q (za) - Q (za) L (b) = 2[L (za), L (ab)] + [L (b), L (za 2) ] = 0.

Spolaryzowana wersja $[Q (a), L (a)] = 0$ to

${\ Displaystyle \ Displaystyle {2 [Q (a, b), L (a)] = 2 [L (b), Q (a)].}}$

Teraz z $R (a, b) = 2 [L (a), L (b)] + 2 L (ab)$ wynika, że

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) = 2 [Q (a) L (b), L (a)] + 2Q (a) L (ab) = 2 [Q (ab, a) ),L(a)]+2[L(a),L(b)]Q(a)+2Q(a)L(ab).}}

Zatem ostatnia tożsamość z ab zamiast b implikuje tożsamość komutacyjną:

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) = 2 [L (a), L (b)] Q (a) + 2L (ab) Q (a) = R (a, b) Q (A).}}

Tożsamość Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) można wzmocnić

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a).}}$

Rzeczywiście, w zastosowaniu do c , pierwsze dwa terminy dają

{\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (a) Q (b, c) a = 2Q (Q (a) c, a) b.}}

Następnie przełączanie b i c daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) c = 2Q (Q (a) b, a) c.}}

Tożsamość podstawowa II

Tożsamość $Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)$ udowadnia się za pomocą relacji nawiasu Liego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {[R (a, b), R (c, d)] = R (R (a, b) c, d) -R (c, R (b, a) d).}}$

Rzeczywiście polaryzacja c tożsamości $Q (c) L (x) + L (x) Q (c) = 2 Q (cx, c)$ daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (c, y) L (x) + L (x) Q (c, y) = Q (yx, c) + Q (cx, y).}}

Stosując obie strony do d , pokazuje to

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (x), R (c, d)] = R (xc, d) -R (c, xd).}}

W szczególności równania te obowiązują dla x = ab . Z drugiej strony, jeśli T = [ L ( a ), L ( b )] to D ( z ) = Tz jest wyprowadzeniem algebry Jordana, więc

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[T, R (c, d)] = R (Dc, d) + R (c, Dd).}}

Relacje nawiasu Liego wynikają z tego, że R ( a , b ) = T + L ( ab ).

Ponieważ nawias Liego po lewej stronie jest antysymetryczny,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {R (R (a, b) c, d) -R (c, R (b, a) d) = -R (R (c, d) a, b) + R (a, R(d,c)b).}}$

W konsekwencji

${\ Displaystyle \ Displaystyle {R (y, Q (x) y) = R (y, x) ^ {2} -2Q (y) Q (x).}}$

Rzeczywiście ustaw a = y , b = x , c = z , d = x i spraw , aby obie strony działały na y .

Z drugiej strony

${\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (Q (a) b) = 2R (a, b) Q (Q (a) b, a) -Q (a) R (b, Q (a) b).}}$

Rzeczywiście wynika to z ustawienia x = Q ( a ) b in

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[R (a, b), R (x, y)] a = -R (R (x, y) a, b) a + R (a, R (y, x) b) A.}}

Stąd, łącząc te równania ze wzmocnioną tożsamością komutacyjną,

{\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (Q (a) b) = 2R (a, b) Q (Q (a) b, a) -R (b, a) Q (a) R (a, b) + 2Q (a)Q(b)Q(a)=2Q(a)Q(b)Q(a).}}

Liniowa algebra Jordana zdefiniowana przez kwadratową algebrę Jordana

Niech A będzie kwadratową algebrą Jordana nad R lub C . Podążając za Jacobsonem (1969) , liniową strukturę algebry Jordana można powiązać z A w taki sposób, że jeśli L ( a ) jest mnożeniem Jordana, to struktura kwadratowa jest dana przez Q ( a ) = 2 L ( a ) ² - L ( a ² ).

Po pierwsze aksjomat Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) można wzmocnić do

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a).}}

Rzeczywiście, w zastosowaniu do c , pierwsze dwa terminy dają

{\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (a) Q (b, c) a = 2Q (Q (a) c, a) b.}}

Następnie przełączanie b i c daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) c = 2Q (Q (a) b, a) c.}}

Teraz pozwól

{\ Displaystyle \ Displaystyle {L (a) = {\ Frac {1} {2}} R (a, 1).}}

Zastąpienie b przez a i a przez 1 w powyższej tożsamości daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (a, 1) = R (1, a) = 2Q (a, 1).}}

W szczególności

{\ Displaystyle \ Displaystyle {L (a) = Q (a, 1), \, \, \, L (1) = Q (1,1) = I.}}

Jeśli ponadto a jest odwracalne, to

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (a, b) = 2Q (Q (a) b, a) Q (a) ^ {-1} = 2Q (a) Q (b, a ^ {- 1}).} }

Podobnie, jeśli ' b jest odwracalne

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (a, b) = 2Q (a, b ^ {-1}) Q (b).}}

Produkt Jordan jest nadawany przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a \ circ b = L (a) b = {\ Frac {1 }{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}}

aby

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a \ circ b = b \ circ a.}}

Powyższy wzór pokazuje, że 1 jest tożsamością. Definiując a ² przez a ∘ a = Q ( a )1, jedynym pozostałym warunkiem do sprawdzenia jest tożsamość Jordana

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (a), L (a ^ {2})] = 0.}}

W podstawowej tożsamości

{\ displaystyle \ displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a), }}

Zamień a na a + t , ustaw b = 1 i porównaj współczynniki t ² po obu stronach:

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) = 2Q (a, 1) ^ {2} -Q (a ^ {2}, 1) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}) .}}

Ustawienie b = 1 w drugim aksjomacie daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) L (a) = L (a) Q (a),}}

i dlatego L ( a ) musi dojeżdżać z L ( a ² ).

Zmień tożsamość

W jednostkowej liniowej algebrze Jordana tożsamość przesunięcia to potwierdza

${\ Displaystyle \ Displaystyle {R (Q (a) b, b) = R (a, Q (b) a).}}$

Za Meybergiem (1972) można to ustalić jako bezpośrednią konsekwencję spolaryzowanych form tożsamości podstawowej i tożsamości komutacyjnej lub homotopijnej. Jest to również konsekwencja twierdzenia Macdonalda, ponieważ jest to tożsamość operatora obejmująca tylko dwie zmienne.

Dla a w jednostkowej liniowej algebrze Jordana A reprezentacja kwadratowa jest dana przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}),}}

więc odpowiednie symetryczne mapowanie dwuliniowe wynosi

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a, b) = L (a) L (b) + L (b) L (a) -L (ab).}}

Pozostałe operatory są podane we wzorze

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ Frac {1} {2}} R (a,b)=L(a)L(b)-L(b)L(a)+L(ab),}}

aby

{\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a, b) = 2L (a) L (b) - {\ Frac {1} {2}} R (a, b).}}

Tożsamość komutacyjna lub homotopia

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (a, b) Q (a) =Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}}

może być spolaryzowany w . Zastąpienie a przez a + t 1 i wzięcie współczynnika t daje

${\ Displaystyle \ Displaystyle {L (b) Q (a) + R (a, b) L (a) = Q (a) L (b) + L (a) R (b, a) = L (Q ( a)b)+2Q(ab,a).}}$

Podstawowa tożsamość

{\ displaystyle \ displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)}}

może być spolaryzowany w . Zastąpienie a przez a + t 1 i wzięcie współczynników t daje ( zamiana aib )

${\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (ab, a) = Q (a) L (b) + L (b) Q (a).}}$

Połączenie dwóch poprzednio wyświetlonych tożsamości daje wynik

${\ Displaystyle \ Displaystyle {L (Q (a) b) + L (b) Q (a) = L (a) R (b, a), \, \, \, \, L (Q (b) a) )+Q(b)L(a)=R(b,a)L(b).}}$

Zastąpienie a przez a + t 1 w podstawowej tożsamości i przyjęcie współczynnika t ² daje

{\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (Q (a) b, b) -L (a) Q (b) L (a) = Q (a) Q (b) + Q (b) Q (a) -Q ( ab).}}

Oznacza to, że prawa strona jest symetryczna

${\ Displaystyle \ Displaystyle {2Q (Q (a) b, b) -2Q (Q (b) a, a) = L (a) Q (b) L (a) -L (b) Q (a) L (B).}}$

Tożsamości te można wykorzystać do udowodnienia tożsamości zmiany:

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (Q (a) b, b) = R (a, Q (b) a).}}

Jest to równoznaczne z tożsamością

{\ Displaystyle \ Displaystyle {2L (Q (a) b) L (b) -Q (Q (a) b, b) = 2L (a) L (Q (b) a) -Q (a, Q (b) )A).}}

Według poprzednio wyświetlanej tożsamości jest to równoważne

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (Q (a) b) + L (b) Q (a)] L (b) = L (a) [L (Q (b) a) + Q (b) L ( A)].}}

Z drugiej strony terminy w nawiasach można uprościć za pomocą trzeciej wyświetlanej tożsamości. Oznacza to, że obie strony są równe $½ L (a) R (b, a) L (b)$ .

W przypadku skończenie wymiarowych jednostkowych algebr Jordana tożsamość przesunięcia można zobaczyć bardziej bezpośrednio za pomocą mutacji . Niech a i b będą odwracalne i niech $L b (a) = R (a, b)$ będzie mnożeniem Jordana w A ^b . Wtedy $Q (b) L b (a) = L za (b) Q (b)$ . Ponadto $Q (b) Q b (a) = Q (b) Q (a) Q (b) = Q za (b) Q (b)$ . z drugiej strony $Q b (a)=2 L b (a) 2 - L b (za 2, b)$ i podobnie z zamienionymi a i b . Stąd

{\ Displaystyle \ Displaystyle {L_ {a} (b ^ {2, a}) Q (b) = Q (b) L_ {b} (a ^ {2, b}).}}

Zatem

\ displaystyle \ displaystyle {R(Q(b)a,a)Q(b)=Q(b)R(Q(a)b,b)=R(b,Q(a)b)Q(b),}}

więc tożsamość przesunięcia następuje poprzez anulowanie Q ( b ). Argument gęstości pozwala na odrzucenie założenia o odwracalności.

Pary Jordana

Liniowa jednostkowa algebra Jordana daje kwadratowe odwzorowanie Q i powiązane z nim odwzorowanie R spełniające tożsamość podstawową, komutację tożsamości homotopii i tożsamość przesunięcia. Para Jordana $(V +, V -)$ składa się z dwóch przestrzeni wektorowych $V \pm$ i dwóch odwzorowań kwadratowych $Q \pm$ od $V \pm$ do $V \mp$ . Określają one odwzorowania dwuliniowe $R \pm$ z $V \pm \times V \mp$ do $V \pm$ według wzoru $R (za, b) do = 2 Q (za, do) b$ gdzie $2 Q (za, do) = Q (za + do) - Q (a) - Q (do)$ . Pomijając ± indeksy dolne, muszą one spełniać

podstawową tożsamość

{\ displaystyle \ displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a), }}

tożsamość komutacyjna lub homotopijna

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (a, b) Q (a) =Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}}

i tożsamość zmiany

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R (Q (a) b, b) = R (a, Q (b) a).}}

Jednolita algebra Jordana A definiuje parę Jordana, przyjmując V _± = A z jej mapami struktury kwadratowej Q i R .

Zobacz też

Mutacja (algebra Jordana)

Notatki

Faraut, J.; Koranyi, A. (1994), Analiza stożków symetrycznych , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0198534779
Jacobson, N. (1968), Struktura i reprezentacje algebr Jordana , American Mathematical Society Colloquium Publications, tom. 39, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-4640-7 {{ cytat }} : CS1 maint: data i rok ( link )
Jacobson, N. (1969), Wykłady z kwadratowych algebr Jordana (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, tom. 45, Bombaj: Instytut Badań Podstawowych Tata, MR 0325715
Koecher, M. (1999), The Minnesota Notes on Jordan Algebras and They Applications , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1710, Springer, ISBN 3-540-66360-6 , Zbl 1072.17513
Loos, Ottmar (2006) [1975], Pary Jordana , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 460, Springer, ISBN 978-3-540-37499-2
Loos, Ottmar (1977), Bounded symetryczne domeny i pary Jordana (PDF) , Wykłady matematyczne, Uniwersytet Kalifornijski, Irvine, zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2016-03-03
Macdonald, IG (1960), „Algebry Jordana z trzema generatorami” , Proc. Londyn, matematyka. Towarzystwo , 10 : 395–408, doi : 10.1112/plms/s3-10.1.395 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 2013-06-15
McCrimmon, Kevin (1966), „Ogólna teoria pierścieni Jordana”, Proc. Natl. Acad. Nauka. USA , 56 (4): 1072–9, doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 , JSTOR 57792 , MR 0202783 , PMC 220000 , PMID 16591377 , Zbl 0139.25502
McCrimmon, Kevin (1975), „Metody kwadratowe w algebrach niezwiązanych” (PDF) , Materiały Międzynarodowego Kongresu Matematyków (Vancouver, BC, 1974), tom. 1 , s. 325–330
McCrimmon, Kevin (2004), Smak algebr Jordana , Universitext, Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9 , MR 2014924 , Zbl 1044.17001 , Errata
McCrimmon, Kevin (1978), „Algebry Jordana i ich zastosowania” , Bull. Amera. Matematyka. Towarzystwo , 84 (4): 612–627, doi : 10,1090/s0002-9904-1978-14503-0
Meyberg, K. (1972), Wykłady z algebr i systemów potrójnych (PDF) , Uniwersytet Wirginii
Racine, Michel L. (1973), Arytmetyka kwadratowych algebr Jordana , Memoirs of the American Mathematical Society, tom. 136, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1836-7 , Zbl 0348.17009

Dalsza lektura

Faulkner, John R. (1970), Plany Octonion zdefiniowane przez kwadratowe algebry Jordana , Memoirs of the American Mathematical Society, tom. 104, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 0-8218-5888-2 , Zbl 0206.23301