Polaryzacja postaci algebraicznej

W matematyce , w szczególności w algebrze , polaryzacja jest techniką wyrażania jednorodnego wielomianu w prostszy sposób poprzez połączenie większej liczby zmiennych. W szczególności, biorąc pod uwagę jednorodny wielomian, polaryzacja tworzy unikalną symetryczną postać wieloliniową , z której można odzyskać pierwotny wielomian poprzez ocenę wzdłuż określonej przekątnej.

Chociaż technika ta jest zwodniczo prosta, ma zastosowanie w wielu obszarach matematyki abstrakcyjnej: w szczególności w geometrii algebraicznej , teorii niezmienników i teorii reprezentacji . Polaryzacja i powiązane techniki stanowią podstawę teorii niezmienniczej Weyla.

Technika

Podstawowe idee są następujące. Niech będzie wielomianem w ${\$ ${u} = \ lewo (u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n} \ prawo).}$ ( $displaystyle f (\ mathbf {$ $mathbf$ Załóżmy, że jednorodny stopnia ${\ styl wyświetlania d,}$ co oznacza że

{\ Displaystyle f (t \ mathbf {u}) = t ^ {d} f (\ mathbf {u}) \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} t.}

Niech ${\ Displaystyle \ mathbf {u} ^ {(1)}, \ mathbf {u} ^ {(2)}, \ ldots, \ mathbf { u} ^{(d)}}$ będzie zbiorem nieokreślonych gdzie ${(i)} \ prawo),}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} ^ {(i)} = \ lewo (u_ {1} ^ {(i)}, u_ {2} ^ {(i)}, \ ldots, u_ {n }$ $^$ tak, że istnieją zmienne. Postać biegunowa $jest$ wielomianem _

{\ Displaystyle F \ lewo (\ mathbf {u} ^ {(1)}, \ mathbf {u} ^ {(2)}, \ldots,\mathbf {u} ^{(d)}\right)}

który jest liniowy oddzielnie w każdym

mathbf { u} ^

znaczy jest wieloliniowy), symetryczny w

}} \mathbf {u} ^{(i)},}

\ displaystyle

i takie tam

{\ Displaystyle F \ lewo (\ mathbf {u}, \ mathbf {u}, \ ldots, \ mathbf {u} \ prawo) = f (\ mathbf {u}).}

Postać polarną wyrazu $następująca$ konstrukcja

{\ Displaystyle F \ lewo ({\ mathbf {u}} ^ {(1)}, \ kropki, {\ mathbf {u}} ^ {(d)} \ prawo) = {\ Frac {1} {d! }}} mathbf {u} }^{(1)}+\kropki +\lambda _{d}{\mathbf {u} }^{(d)})|_{\lambda =0}.}

Innymi

jest

_

współczynnika _ rozwinięcie

{\ Displaystyle f \ lewo (\ lambda _ {1} \ mathbf {u} ^ {(1)} + \ cdots + \ lambda _ {d} \ mathbf {u} ^ {(d)} \ prawo).}

Przykłady

Przykład kwadratowy. Załóżmy ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x$ że i jest formą kwadratową $}$

{\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = x ^ {2} + 3xy + 2y ^ {2}.}

Następnie polaryzacja jest funkcją w

)

x ^ {(1)}, ^ {(1)} \ prawo)}

i

{\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {(2)} = \ lewy(x^{(2)},y^{(2)}\prawy)}

podane przez

{\ Displaystyle F \ lewo (\ mathbf {x} ^ {(1)}, \ mathbf {x} ^ {(2)} \ prawo) = x ^ {(1)} x ^ {(2)} + { \frac {3}{2}}x^{(2)}y^{(1)}+{\frac {3}{2}}x^{(1)}y^{(2)}+2y ^{(1)}y^{(2)}.}

jest

ogólnie, jeśli jest jakąkolwiek

formą

kwadratową, wówczas polaryzacja zgodna z wnioskiem o polaryzacji .

Przykład sześcienny. Niech $= x ^ {3} + 2xy ^ {2}.$ Następnie polaryzację wyraża się wzorem ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle F \ lewo (x ^ {(1)}, y ^ {(1)}, x ^ {(2)}, y ^ {(2)}, x ^ {(3)}, y ^ { (3)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{ (2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2} {3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.}

Szczegóły matematyczne i konsekwencje

Polaryzacja jednorodnego wielomianu stopnia $w$ na dowolnym pierścieniu przemiennym, którym ${\ displaystyle d!}$ to jednostka. W szczególności dotyczy dowolnego pola o charakterystyce zerowej lub którego charakterystyka jest ściśle większa niż ${\ displaystyle d.}$

Izomorfizm polaryzacji (według stopnia)

Dla $uproszczenia$ będzie polem o charakterystycznym $i$ $_$ w nad $Następnie$ jest $stopnia$ według , tak że _

{\ Displaystyle A = \ bigoplus _ {d} A_ {d}.}

Polaryzacja form algebraicznych indukuje następnie izomorfizm przestrzeni wektorowych w każdym stopniu

{\ Displaystyle A_ {d} \ cong \ nazwa operatora {Sym} ^ {d} k ^ {n}}

gdzie

jest

potęgą wymiarowej

.

n _

_

_

{\ displaystyle k ^ {n}.}

Te izomorfizmy można wyrazić niezależnie od podstawy w następujący sposób. Jeśli $skończenie$ wymiarową przestrzenią wektorową i jest pierścieniem $według stopnia jednorodności$ wielomianowych o wartościach $displaystyle$ to zachodzi polaryzacja $V}$ izomorfizm

{\ Displaystyle A_ {d} \ cong \ nazwa operatora {Sym} ^ {d} V ^ {*}.}

Izomorfizm algebraiczny

Ponadto polaryzacja jest zgodna ze strukturą algebraiczną , tak że ${\ displaystyle A,}$

{\ Displaystyle A \ cong \ nazwa operatora {Sym} ^ {\ cdot} V ^ {*}}

gdzie

{\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {\ cdot} V ^ {*}}

jest pełną algebrą symetryczną nad

{\ displaystyle V ^ {*}.}

Uwagi

W przypadku pól o dodatniej charakterystyce $p ,$ izomorfizmy mają zastosowanie, jeśli stopniowane algebry zostaną obcięte w stopniu $.}$
Istnieją uogólnienia, gdy $jest$ nieskończenie wymiarowa topologiczna przestrzeń wektorowa .

Zobacz też

Funkcja jednorodna – Funkcja o zachowaniu w skalowaniu multiplikatywnym

Claudio Procesi (2007) Grupy Liego: podejście poprzez niezmienniki i reprezentacje , Springer, ISBN 9780387260402 .