Domena Siegela

W matematyce domena Siegela lub domena Piatetskiego-Shapiro jest specjalnym otwartym podzbiorem złożonej przestrzeni afinicznej uogólniającej górną półpłaszczyznę Siegela badaną przez Siegela ( 1939 ). Zostały one wprowadzone przez Piatetskiego-Shapiro ( 1959 , 1969 ) w jego badaniu ograniczonych domen jednorodnych.

Definicje

Domena Siegela pierwszego rodzaju (lub pierwszego typu lub rodzaju 1) jest otwartym podzbiorem C ^m elementów z takich, że

${\ Displaystyle \ Im (z) \ w V \,}$

gdzie V jest otwartym stożkiem wypukłym w R ^m . Są to szczególne przypadki domen rurowych . Przykładem jest górna półpłaszczyzna Siegela , gdzie V ⊂ R ^{k ( k + 1)/2} jest stożkiem dodatnio określonych form kwadratowych w R ^k i m = k ( k + 1) / 2.

Domena Siegela drugiego rodzaju (lub drugiego typu lub rodzaju 2), zwana także domeną Piatetskiego-Shapiro, jest otwartym podzbiorem C ^m × C ⁿ elementów ( z , w ) takich, że

${\ Displaystyle \ Im (z) -F (w, w) \ w V \,}$

gdzie V jest otwartym stożkiem wypukłym w R ^m , a F jest postacią hermitowską o wartości V na C ⁿ . Jeśli n = 0 jest to domena Siegela pierwszego rodzaju.

Domena Siegela trzeciego rodzaju (lub trzeciego typu lub rodzaju 3) jest otwartym podzbiorem C ^m × C ⁿ × C ^k elementów ( z , w , t ) takich, że

${\ Displaystyle \ Im (z) - \ Re L_ {t} (w, w) \ w V \,}$ i t leży w pewnym ograniczonym regionie

gdzie V jest otwartym stożkiem wypukłym w R ^m , a L _t jest półhermitowską formą o wartości V na C ⁿ .

Ograniczone domeny jednorodne

Dziedzina ograniczona jest otwartym, połączonym, ograniczonym podzbiorem złożonej przestrzeni afinicznej. Nazywa się to jednorodnym, jeśli jego grupa automorfizmów działa przechodnio, a symetrycznym, jeśli dla każdego punktu istnieje automorfizm działający jako –1 na przestrzeni stycznej. Ograniczone domeny symetryczne są jednorodne.

Élie Cartan sklasyfikował jednorodne ograniczone domeny w wymiarze co najwyżej 3 (do izomorfizmu), pokazując, że wszystkie są hermitowskimi przestrzeniami symetrycznymi . Jest 1 w wymiarze 1 (kula jednostkowa), dwa w wymiarze 2 (iloczyn dwóch jednowymiarowych kul zespolonych lub dwuwymiarowej kuli zespolonej). Zapytał, czy wszystkie ograniczone domeny jednorodne są symetryczne. Piątecki-Szapiro ( 1959 , 1959b ) odpowiedział na pytanie Cartana, znajdując domenę Siegela typu 2 w 4 wymiarach, która jest jednorodna i biholomorficzna z domeną ograniczoną, ale niesymetryczna. W wymiarach co najmniej 7 istnieją nieskończone rodziny jednorodnych ograniczonych domen, które nie są symetryczne.

MI. B. Vinberg, SG Gindikin i II Piatetski-Shapiro ( 1963 ) wykazali, że każda ograniczona jednorodna domena jest biholomorficzna z domeną Siegela typu 1 lub 2.

Wilhelm Kaup, Yozô Matsushima i Takushiro Ochiai ( 1970 ) opisali izomorfizmy domen Siegela typu 1 i 2 oraz algebrę Liego automorfizmów domeny Siegela. W szczególności dwie domeny Siegela są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są izomorficzne przez transformację afiniczną.

j-algebry

Załóżmy, że G jest algebrą Liego przechodniej połączonej grupy analitycznych automorfizmów ograniczonej jednorodnej dziedziny X i niech K będzie podalgebrą ustalającą punkt x . Wtedy prawie złożona struktura j na X indukuje endomorfizm j w przestrzeni wektorowej G taki, że

• j ² =–1 na G / K
• [ x , y ] + jot [ jx , y ] + jot [ x , jy ] – [ jx , jy ] = 0 w G / K ; wynika to z faktu, że prawie złożona struktura X jest całkowalna
• Istnieje postać liniowa ω na G taka, że ​​ω[ jx , jy ]=ω[ x , y ] i ω[ jx , x ]>0 jeśli x ∉ K
• jeśli L jest zwartą podalgebrą G z jL ⊆ K + L , to L ⊆ K

Algebra j jest algebrą Liego G z podalgebrą K i mapą liniową j spełniającą powyższe właściwości.

Algebra Liego połączonej grupy Liego działającej przechodnio na jednorodnej domenie ograniczonej jest j -algebrą, co nie jest zaskakujące, ponieważ j -algebry są zdefiniowane tak, aby miały oczywiste właściwości takiej algebry Liego. Odwrotność jest również prawdziwa: dowolna j -algebra jest algebrą Liego jakiejś przechodniej grupy automorfizmów jednorodnej dziedziny ograniczonej. Nie daje to zgodności 1: 1 między jednorodnymi domenami ograniczonymi a j -algebrami, ponieważ jednorodna dziedzina ograniczona może mieć kilka różnych grup Liego działających na nią przechodnio.

• Chu, Cho-Ho (2021), „Domeny Siegela nad symetrycznymi stożkami Finslera”, J. reine angew. Matematyka , 778 : 145–169
•     Kaup, Wilhelm; Matsushima, Yozo; Ochiai, Takushiro (1970), „O automorfizmach i równoważnościach uogólnionych domen Siegela”, American Journal of Mathematics , 92 (2): 475–498, doi : 10.2307/2373335 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373335 , MR 0267127
•    Murakami, Shingo (1972), O automorfizmach domen Siegela , Lecture Notes in Mathematics, tom. 286, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058567 , ISBN 978-3-540-05985-1 , MR 0364690
•    Piatetski-Shapiro, II (1959), „O problemie zaproponowanym przez E. Cartana”, Doklady Akademii Nauk SSSR , 124 : 272–273, ISSN 0002-3264 , MR 0101922
• Piatetski-Shapiro, II (1959b), „Geometria domen jednorodnych i teoria funkcji automorficznych. Rozwiązanie problemu E. Cartana” , Uspekhi Mat. Nauk (po rosyjsku), 14 (3): 190–192
•   Piatetski-Shapiro, II (1963), "Dziedziny typu górnej półpłaszczyzny w teorii kilku zmiennych zespolonych" , Proc. Intern. Kongr. Matematycy (Sztokholm, 1962) (po rosyjsku), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, s. 389–396, MR 0176105 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 17.07.2011
•    Piatetski-Shapiro, II (1969) [1961], Funkcje automorficzne i geometria dziedzin klasycznych , Matematyka i jej zastosowania, tom. 8, Nowy Jork: Gordon and Breach Science Publishers, ISBN 9780677203102 , MR 0136770
•     Siegel, Carl Ludwig (1939), „Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades”, Mathematische Annalen , 116 : 617–657, doi : 10.1007/BF01597381 , ISSN 0025-5831 , MR 0001251 , S2CID 124337 559
• Vinberg, EB (2001) [1994], „domena Siegela” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•    Vinberg, E. B.; Gindikin, SG; Piatetski-Shapiro, II (1963), „Klasyfikacja i kanoniczna realizacja złożonych jednorodnych ograniczonych domen”, Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva , 12 : 359–388, ISSN 0134-8663 , MR 0158415 W dodatku do ( Piatetski) znajduje się tłumaczenie na język angielski -Shapiro 1969 ).
•    Xu, Yichao (2005), Teoria złożonych jednorodnych dziedzin ograniczonych , Matematyka i jej zastosowania, tom. 569, Pekin: Science Press, ISBN 978-1-4020-2132-9 , MR 2217650