Domena rury

Aby zapoznać się z innymi zastosowaniami „tuby” w matematyce, zobacz Tube (ujednoznacznienie) § Matematyka .

W matematyce dziedzina rury jest uogólnieniem pojęcia pionowego paska (lub półpłaszczyzny ) w płaszczyźnie zespolonej na kilka zmiennych zespolonych . Pasek można traktować jako zbiór liczb zespolonych, których część rzeczywista leży w danym podzbiorze prostej rzeczywistej i której część urojona jest nieograniczona; podobnie tuba jest zbiorem wektorów zespolonych, których część rzeczywista znajduje się w jakimś danym zbiorze wektorów rzeczywistych, a część urojona jest nieograniczona.

Dziedziny rurowe to domeny transformaty Laplace'a funkcji kilku zmiennych rzeczywistych (patrz wielowymiarowa transformata Laplace'a ). Przestrzenie Hardy'ego na rurach można zdefiniować w taki sposób, że wersja twierdzenia Paleya-Wienera z jednej zmiennej nadal obowiązuje i charakteryzuje elementy przestrzeni Hardy'ego, gdy Laplace przekształca funkcje z odpowiednimi właściwościami całkowalności. Rurki nad zbiorami wypukłymi to dziedziny holomorfii . Przestrzenie Hardy'ego na rurach nad stożkami wypukłymi ^czemu znane są dokładne wyniki dotyczące wartości granicznych funkcji Hp . W fizyce matematycznej przyszła rura jest domeną rury związaną z wnętrzem poprzedniego stożka zerowego w przestrzeni Minkowskiego i ma zastosowanie w teorii względności i grawitacji kwantowej . Pewne rurki nad stożkami obsługują metrykę Bergmana , w ramach której stają się one ograniczonymi domenami symetrycznymi . Jednym z nich jest półprzestrzeń Siegela , która ma fundamentalne znaczenie arytmetyka .

Definicja

Niech R ⁿ oznacza rzeczywistą przestrzeń współrzędnych o wymiarze n , a C ⁿ oznacza zespoloną przestrzeń współrzędnych. Następnie dowolny element C ⁿ można rozłożyć na części rzeczywiste i urojone:

${\ Displaystyle a = (z_ {1}, \ kropki, z_ {n}) = (x_ {1} + iy_ {1}, \ kropki, x_ {n} + iy_ {n}) = (x_ {1} ,\kropki ,x_{n})+i(y_{1},\kropki ,y_{n})=x+iy.}$

Niech A będzie otwartym podzbiorem R ⁿ . Rura nad A , oznaczona jako T _A , jest podzbiorem C ⁿ składającym się ze wszystkich elementów, których części rzeczywiste leżą w A :

${\ Displaystyle T_ {A} = \ {z = x + iy \ w \ mathbb {C} ^ {n} \ mid x \ w A \}.}$

Tuby jako dziedziny holomorfii

Główny artykuł: twierdzenie Bochnera o rurze

Załóżmy, że A jest spójnym zbiorem otwartym. Wtedy każda funkcja o wartościach zespolonych, która jest holomorficzna w tubie T _A , może być rozciągnięta jednoznacznie do funkcji holomorficznej na wypukłej otoczce rurki ch T _A , która jest również rurką, i faktycznie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ch} \, T_ {A} = T _ {\ nazwa operatora {ch} \, A}.}$

Ponieważ każdy wypukły zbiór otwarty jest domeną holomorfii ( holomorficznie wypukły ), wypukła tuba jest również domeną holomorfii. Tak więc holomorficzna obwiednia dowolnej tuby jest równa jej wypukłemu otoczce.

Odporne przestrzenie

Niech A będzie zbiorem otwartym w R ⁿ . Przestrzeń Hardy'ego H p   ⁽ T A ₎ jest zbiorem wszystkich funkcji holomorficznych F w T _A takich, że

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | F (x + iy) | ^ {p} \, dy <\ infty}$

dla wszystkich x w A .

W szczególnym przypadku p = 2 funkcje w H ² ( T _A ) można scharakteryzować następująco. Niech ƒ będzie funkcją o wartościach zespolonych na R ⁿ spełniającym

${\ Displaystyle \ sup _ {x \ w A} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | f (t) | ^ {2} e ^ {- 4 \ pi x \ cdot t} \, dt<\infty .}$

Transformata Fouriera – Laplace'a ƒ jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle F (x + iy) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi z \ cdot t} f (t) \, dt.}$

Wówczas F jest dobrze określone i należy do H ² ( T _A ). Odwrotnie, każdy element H ² ( T _A ) ma tę postać.

Następstwem tej charakterystyki jest to, że H ² ( T _A ) zawiera funkcję różną od zera wtedy i tylko wtedy, gdy A nie zawiera linii prostej.

Rurki nad stożkami

Niech A będzie otwartym stożkiem wypukłym w R ⁿ . Oznacza to, że A jest otwartym zbiorem wypukłym takim, że ilekroć x leży w A , to cały promień od początku do x . Symbolicznie,

${\ Displaystyle x \ w A \ implikuje tx \ w A \ \ \ {\ tekst {dla wszystkich}} \ t> 0.}$

Jeśli A jest stożkiem, to elementy H ₂ ( T _A ) mają granice brzegowe L ^{2 w tym sensie, że}

${\ Displaystyle \ lim _ {y \ do 0} F (x + iy)}$

istnieje w L ² ( B ). Analogiczny wynik uzyskuje się dla H ^p ( T _A ), ale wymaga to dodatkowej regularności stożka (konkretnie, podwójny stożek A * musi mieć niepuste wnętrze).

Zobacz też

• Domena Reinhardta
• Domena Siegela

Źródła

• Chirka, EM (2001) [pierwsza publikacja 1994], „Tube domain” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
•   Gibbons, GW (2000), „Holografia i rura przyszłości”, Classical and Quantum Gravity , 17 (5): 1071–1079, arXiv : hep-th/9911027 , Bibcode : 2000CQGra..17.1071G , doi : 10.1088/0264 -9381/17/5/316 , S2CID 14045117 .
•   Hörmander, Lars (1990), Wprowadzenie do złożonej analizy kilku zmiennych , New York: North-Holland, ISBN 0-444-88446-7 .
•   Stein, Eliasz ; Weiss, Guido (1971), Wprowadzenie do analizy Fouriera w przestrzeniach euklidesowych , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 - za pośrednictwem Internet Archive .
•   Carmignani, Robert (1973). „Obwiednie holomorfii i wypukłości holomorficznej”. Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 179 : 415–431. doi : 10.1090/S0002-9947-1973-0316748-1 . hdl : 1911/14576 . JSTOR 1996512 . .