stożek Monge'a

W matematycznej teorii równań różniczkowych cząstkowych (PDE) stożek Monge'a jest obiektem geometrycznym powiązanym z równaniem pierwszego rzędu. Jej nazwa pochodzi od Gasparda Monge'a . W dwóch wymiarach, niech

${\ Displaystyle F (x, y, u, u_ {x}, u_ {y}) = 0 \ qquad \ qquad (1)}$

₀₀₀ u o wartościach rzeczywistych w dwóch zmiennych x i y . Załóżmy, że to PDE nie jest zdegenerowane w tym sensie, że $displaystyle F_ {u_ {x}}}$ oba zerowe w dziedzinie definicji ${\$ . Ustal punkt ( x , y , z ) i rozważ funkcje rozwiązania u które mają

${\ Displaystyle z_ {0} = u (x_ {0}, y_ {0}). \ qquad \ qquad (2)}$

Każde rozwiązanie (1) spełniające (2) wyznacza płaszczyznę styczną do wykresu

${\ Displaystyle z = u (x, y) \,}$

przez punkt ${\ Displaystyle x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}}$ . Ponieważ para ( u _x , u _y ) rozwiązywanie (1) zmienia się, płaszczyzny styczne otaczają stożek w R ³ z wierzchołkiem w ${\ Displaystyle x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} }$ , zwany stożkiem Monge'a . Kiedy F jest quasiliniowa , stożek Monge'a degeneruje się do pojedynczej linii zwanej oś Monge'a . W przeciwnym razie stożek Monge'a jest stożkiem właściwym, ponieważ nietrywialna i niewspółosiowa jednoparametrowa rodzina płaszczyzn przechodzących przez punkt stały otacza stożek. Wyraźnie, pierwotne równanie różniczkowe cząstkowe daje początek funkcji o wartościach skalarnych na wiązce cotangensów R ³ , zdefiniowanej w punkcie ( x , y , z ) przez

${\ Displaystyle a \, dx + b \, dy + c \, dz \ mapsto F (x, y, z, -a / c, -b / c).}$

Zniknięcie F wyznacza krzywą na płaszczyźnie rzutowej o jednorodnych współrzędnych ( a : b : c ). Krzywa podwójna jest krzywą w rzutowej przestrzeni stycznej w punkcie, a stożek afiniczny nad tą krzywą to stożek Monge'a. Stożek może mieć wiele gałęzi, z których każda jest stożkiem afinicznym nad prostą zamkniętą krzywą w rzutowej przestrzeni stycznej.

$się$ punkt bazowy stożek. Zatem stożek Monge'a jest polem stożkowym na R ³ . Znalezienie rozwiązań (1) można zatem interpretować jako znalezienie powierzchni, która jest wszędzie styczna do stożka Monge'a w punkcie. Jest to metoda cech .

Technika uogólnia się na skalarne równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu w n zmiennych przestrzennych; mianowicie,

${\ Displaystyle F \ lewo (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}, u , {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x_ {1}}}, \ kropki, {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe x_ {n}}} \ po prawej) = 0.}$

Przez każdy punkt stożek Monge'a ${\ Displaystyle (x_ {1} ^ {0}, \ kropki, x_ {n} ^ {0}, z ^ {0})}$ (lub oś w przypadku quasiliniowym) jest obwiednią rozwiązań PDE z ${\ Displaystyle u (x_ {1} ^ {0}, \ kropki, x_ {n} ^{0})=z^{0}}$ .

Przykłady

Równanie Eikonala

Najprostszym w pełni nieliniowym równaniem jest równanie eikonalne . To ma formę

${\ Displaystyle | \ na bla u | ^ {2} = 1,}$

tak, że funkcja F jest dana przez

${\ Displaystyle F (x, y, u, u_ {x}, u_ {y}) = u_ {x }^{2}+u_{y}^{2}-1.}$

Podwójny stożek składa się z 1-kształtów a dx + b dy + c dz satysfakcjonujących

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} = 0.}$

W ujęciu projekcyjnym definiuje to okrąg. Podwójna krzywa jest również kołem, więc stożek Monge'a w każdym punkcie jest właściwym stożkiem.

Zobacz też

• Stożek styczny

• Davida Hilberta i Richarda Couranta (1989). Metody fizyki matematycznej, tom 2 . Wiley Interscience.
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Monge cone" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Monge, G. (1850). Application de l'analyse à la géométrie (w języku francuskim). kawaler.