N = 2 algebra superkonformalna

W fizyce matematycznej algebra superkonformalna 2D N = 2 jest nieskończenie wymiarową superalgebrą Liego , związaną z supersymetrią , która występuje w teorii strun i dwuwymiarowej konforemnej teorii pola . Ma ważne zastosowania w symetrii lustrzanej . Został wprowadzony przez M. Ademollo, L. Brink i A. D'Adda et al. ( 1976 ) jako algebry cechowania struny fermionowej U(1).

Definicja

Istnieją dwa nieco różne sposoby opisania algebry superkonformalnej N = 2, zwane algebrą Ramonda N = 2 i algebrą N = 2 Neveu – Schwarza, które są izomorficzne (patrz poniżej), ale różnią się wyborem standardowej podstawy. Algebra N = 2 jest superalgebrą Liego z bazą elementów parzystych c , L _n , J _n , dla n liczby całkowitej i elementów nieparzystych G
⁺ _r , G
⁻ _r , gdzie ${\ Displaystyle r \ in {\ mathbb {Z}}}$ (dla podstawy Ramonda) lub ${\ textstyle r \ in {1 \ ponad 2} + {\ mathbb {Z } }}$ (dla bazy Neveu–Schwarz) określone zależnościami:

do jest w środku

${\ Displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] =\left(mn\right)L_{m+n}+{c \ponad 12}\left(m^{3}-m\right)\delta _{m+n,0}}$

${\ Displaystyle [L_ {m}, \, J_ {n}] = - nJ_ {m + n}}$

${\ Displaystyle [J_ {m},J_{n}]={c \ponad 3}m\delta _{m+n,0}}$

${\ Displaystyle \ {G_ {r} ^ {+}, G_ {s} ^ {-} \} = L_ {r + s} + { 1 \over 2}\left(rs\right)J_{r+s}+{c \over 6}\left(r^{2}-{1 \over 4}\right)\delta _{r+s 0}}$

${\ Displaystyle \ {G_ {r} ^ {+}, G_ {s} ^ {+} \} = 0 = \ {G_ {r} ^ {-}, G_ {s} ^ {-} \}}$

${\ Displaystyle [L_ {m}, G_ {r} ^ {\ pm}] = \ lewo ({m \ ponad 2} -r \right) G_ {r + m} ^ {\ pm}}$

${\ Displaystyle [J_ {m}, G_ {r} ^ {\ pm}] = \pm G_{m+r}^{\pm}}$

Jeśli $daje$ to = algebrę Ramonda ; podczas gdy ${\ textstyle r, s \ in {1 \ over 2} + {\ mathbb {Z}}}$ są pół-liczbami całkowitymi, daje to algebrę N = 2 Neveu – Schwarza . Operatory generują podalgebrę Liego izomorficzną z algebrą Virasoro ${\ displaystyle L_ {n}}$ . $_$ operatorami sol _ Algebra Virasoro , podając algebrę Ramonda $liczbami całkowitymi,$ a algebrę Neveu – Schwarza w przeciwnym razie. Kiedy są reprezentowane jako operatorzy w złożonej wewnętrznej przestrzeni produktu , ${\ displaystyle c}$ przyjmuje się, że działa jako pomnożenie przez rzeczywisty skalar, oznaczony tą samą literą i nazywany ładunkiem centralnym , a struktura sprzężona jest następująca:

${\ Displaystyle {L_ {n} ^ {*} = L_ {- n} ,\,\,J_{m}^{*}=J_{-m},\,\,(G_{r}^{\pm})^{*}=G_{-r}^{\mp } ,\,\,c^{*}=c}}$

Nieruchomości

• Algebry N = 2 Ramonda i Neveu – Schwarza są izomorficzne przez izomorfizm przesunięcia widmowego Schwimmera i Seiberga (1987) : ${\ displaystyle \ alpha}$
  $${\ Displaystyle \ alfa (L_ {n}) = L_ {n} + {1 \ ponad 2} J_ {n} + {c \ powyżej 24}\delta _{n,0}}$$
  $${\ Displaystyle \ alfa (J_ {n}) = J_ {n} + {c \ ponad 6} \ delta _ {n, 0}}$$
  $${\ Displaystyle \ alfa (G_ {r} ^ {\ pm}) = G_ {r \ pm {1 \ ponad 2}} ^ {\ pm}}$$
  z odwrotnością:
  $${\ Displaystyle \ alfa ^ {- 1} (L_ {n}) = L_ {n} - {1 \ ponad 2} J_ {n}+{c \ponad 24}\delta _{n,0}}$$
  $${\ Displaystyle \ alfa ^ {- 1} (J_ {n}) = J_ {n} - {c \ ponad 6} \ delta _ {n, 0}}$$
  $${\ Displaystyle \ alfa ^ {- 1} (G_ {r} ^ {\ pm}) = G_ {r \ mp {1 \ ponad 2}} ^ {\pm}}$$
• W N ${\ displaystyle G_ {0} ^ {\ pm}}$ 2 algebrze Ramonda operatory trybu zerowego , jot $\$$displaystyle J_ {0}}$ , i stałe tworzą pięciowymiarową superalgebrę Liego. Spełniają te same relacje, co operatory podstawowe w $}^{\pm}}$$}$ , gdzie Laplacianowi, operator stopnia i ${0}$$\ displaystyle L_$ operatory ${\ displaystyle \ częściowe}$ i ${\ displaystyle {\ overline {\ częściowe}}}$ .
• Nawet całkowite potęgi przesunięcia widmowego dają automorfizmy algebr superkonformalnych N = 2, zwane automorfizmami przesunięcia widmowego. Inny automorfizm okresu drugiego podaje ${\ displaystyle \ beta}$
  $${\ Displaystyle \ beta (L_ {m}) = L_ {m},}$$
  $${\ Displaystyle \ beta (J_ {m}) = - J_ {m} - {c \ ponad 3} \ delta _ {m, 0},}$$
  $${\ Displaystyle \ beta (G_ {r} ^ {\ pm}) = G_ {r} ^ {\ mp}}$$
  Pod względem operatorów Kählera $koniugacji$ złożonej struktury. Ponieważ ${\ Displaystyle \ beta \ alfa \ beta ^ {-1} = \ alfa ^ {-1$$}$${\ Displaystyle \ beta}$ automorfizmy β generować grupę automorfizmów algebry superkonformalnej N = 2 izomorficznej z nieskończoną grupą dwuścienną ${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} \ rtimes {\ mathbb {Z}} _ {2}}$ .
• Operatory skręcone ${\ textstyle {\ mathcal {L}} _ {n} = L_ {n} + {1 \ ponad 2} (n + 1) J_ { n}}$ zostały wprowadzone przez Eguchi i Yang (1990) i spełniają:
  $${\ Displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {m}, {\ mathcal {L}} _ {n}] = (mn) { \mathcal {L}}_{m+n}}$$
  $}$ ci spełniają relację Virasoro z centralnym ładunkiem 0. Stała $\ displaystyle c$ pojawia się w relacjach dla i zmodyfikowanych relacjach do {
  $${\ Displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {m}, J_ {n}] = -nJ_{m+n}+{c \ponad 6}\lewo(m^{2}+m\prawo)\delta _{m+n,0}}$$
  $${\ Displaystyle \ {G_ {r} ^ {+}, G_{s}^{-}\}=2{\mathcal {L}}_{r+s}-2sJ_{r+s}+{c \ponad 3}\left(m^{2}+m\ po prawej)\delta _{m+n,0}}$$

Konstrukcje

Wolna konstrukcja pola

Green, Schwarz & Witten (1988) podaj konstrukcję wykorzystującą dwa dojeżdżające do pracy rzeczywiste pola bozonowe ${\ Displaystyle (a_ {n})}$ , ${\ Displaystyle ( ( b_{n})}$

${\ Displaystyle {[a_ {m}, a_ {n}] = {m \ ponad 2} \ delta _ {m + n, 0}, \, \, \, \, [b_ {m}, b_ {n }]={m \ponad 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\, \,b_{n}^{*}=b_{-n}}$

i złożone pole fermionowe ${\ Displaystyle (e_ {r})}$

${\ Displaystyle \ {e_ {r}, e_ {s} ^ {*} \} = \ delta _ {r ,s},\,\,\,\,\{e_{r},e_{s}\}=0.}$

${\ Displaystyle L_ {n}}$ jest zdefiniowany jako suma operatorów Virasoro naturalnie związanych z każdym z trzech systemów

${\ Displaystyle L_ {n} = \ suma _ {m}: a_ {-m + n} a_ {m}: + \ suma _ {m}: b_ {-m + n} b_ {m}: + \ suma _{r}\lewo(r+{n \ponad 2}\prawo):e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

gdzie normalne uporządkowanie zostało zastosowane dla bozonów i fermionów.

Obecny operator $jest$ przez standardową konstrukcję z

${\ Displaystyle J_ {n} = \ suma _ {r}: e_ {r} ^ {*} e_ {n + r}:}$

i dwa operatory supersymetryczne przez ${\ displaystyle G_ {r} ^ {\ pm}}$

${\ Displaystyle G_ {r} ^ {+}=\suma (a_{-m}+ib_{-m})\cdot e_{r+m},\,\,\,\,G_{r}^{-}=\suma (a_{ r+m}-ib_{r+m})\cdot e_{m}^{*}}$

Daje to algebrę Neveu-Schwarza N = 2 z c = 3.

SU(2) supersymetryczna konstrukcja kosetowa

Di Vecchia i in. (1986) podali konstrukcję kosetową algebr superkonformalnych N = 2, uogólniając konstrukcje kosetowe Goddarda , Kenta i Olive'a (1986) dla reprezentacji szeregów dyskretnych algebry Virasoro i super Virasoro. Biorąc pod uwagę reprezentację afinicznej algebry Kaca – Moody'ego SU (2) na poziomie z podstawą $mi$$, H_ {n }}$ dogadzający

${\ Displaystyle [H_ {m}, H_ {n}] = 2 m \ ell \ delta _ {n + m, 0}}$

$0},}$

${\ Displaystyle [E_ {m}, F_ {n}] = H_ {m + n} + m \ ell \ delta _ {m + n$

${\ Displaystyle [H_ {m}, E_ {n}] = 2E_ {m + n},}$

${\ Displaystyle [H_{m},F_{n}]=-2F_{m+n},}$

generatory supersymetryczne są zdefiniowane przez

${\ Displaystyle G_ {r} ^ {+} = (\ ell / 2 + 1) ^ {-1/2} \ suma E_ {- m} \ cdot e_ {m + r}, \, \, \, G_ {r}^{-}=(\ell /2+1)^{-1/2}\suma F_{r+m}\cdot e_{m}^{*}.}$

Daje to algebrę superkonformalną N = 2 z

${\ displaystyle c = 3 \ ell / (\ ell + 2).}$

Algebra komutuje z operatorami bozonowymi

${\ Displaystyle X_ {n} = H_ {n} -2 \ suma _ {r}: e_ {r} ^ {*} e_ {n + r}:.}$

Przestrzeń ${ \$ fizycznych składa się z wektorów własnych jednocześnie anihilowanych przez dodatnie i operator superładowania $displaystyle X_ {$$}}$

$G_ {-1/2} ^ {-}}$ (Neveu – Schwarz)

${\ Displaystyle Q = G_ {0} ^ {+} + G_ {0} ^ {-}.}$ (Ramond)

Operator doładowania komutuje z działaniem afinicznej grupy Weyla, a stany fizyczne leżą na jednej orbicie tej grupy, co implikuje wzór postaci Weyla-Kac'a .

Supersymetryczna konstrukcja coset Kazama-Suzuki

Kazama i Suzuki (1989) $,$ konstrukcję coset SU (2) na dowolną parę składającą się z prostej $zwartej$ grupy Liego zamkniętej podgrupy o maksymalnym rzędzie tj. zawierającej maksymalny torus ${\ displaystyle T}$$z$ warunkiem $,$ że wymiar środka różny od zera. W tym przypadku zwarta hermitowska przestrzeń symetryczna ${\ displaystyle G/H}$ jest rozmaitością Kählera, na przykład gdy ${\ displaystyle H = T}$ . Stany fizyczne leżą na pojedynczej orbicie afinicznej grupy Weyla, co ponownie implikuje wzór postaci Weyla – Kaca dla afinicznej algebry Kaca $Moody'ego$ .

Zobacz też

• Algebra Virasoro
• Super algebry Virasoro
• Konstrukcja Coset
• Teoria strun typu IIB

Notatki

• Ademollo, M.; Brink, L.; D'Adda, A.; D'Auria, R.; Napolitano, E.; Sciuto, S.; Giudice, E. Del; Vecchia, P. Di; Ferrara S.; Gliozzi, F.; Musto, R.; Pettorino, R. (1976), „Struny supersymetryczne i ograniczenie kolorów” , Physics Letters B , 62 (1): 105–110, Bibcode : 1976PhLB… 62..105A , doi : 10.1016/0370-2693 (76) 90061-7
• Boucher, W.; Friedan, D ; Kent, A. (1986), „Wzory wyznacznikowe i unitarność dla N = 2 w dwóch wymiarach lub dokładne wyniki zagęszczania strun”, Phys. Łotysz. B , 172 (3–4): 316–322, Bibcode : 1986PhLB..172..316B , doi : 10.1016/0370-2693(86)90260-1
• Di Vecchia, P.; Petersen, JL; Yu, M.; Zheng, HB (1986), „Jawna konstrukcja jednolitych reprezentacji N = 2”, Phys. Łotysz. B , 174 (3): 280–284, Bibcode : 1986PhLB..174..280D , doi : 10.1016/0370-2693(86)91099-3
• Eguchi, Tohru; Yang, Sung-Kil (1990), „ N = 2 modele superkonformalne jako topologiczne teorie pola”, Mod. fizyka Łotysz. A , 5 (21): 1693–1701, Bibcode : 1990MPLA....5.1693E , doi : 10.1142/S0217732390001943
•   Goddard, P .; Kent, A.; Olive, D. (1986), „Unitarne reprezentacje algebr Virasoro i super-Virasoro” , Comm. Matematyka fizyka , 103 (1): 105–119, Bibcode : 1986CMaPh.103..105G , doi : 10.1007/bf01464283 , S2CID 91181508
•   Zielony, Michael B .; Schwarz, John H .; Witten, Edward (1988a), teoria superstrun , tom 1: Wprowadzenie , Cambridge University Press, ISBN 0-521-35752-7
•   Zielony, Michael B .; Schwarz, John H .; Witten, Edward (1988b), Teoria superstrun , tom 2: Amplitudy pętli, anomalie i fenomenologia , Cambridge University Press, Bibcode : 1987cup..bookR....G , ISBN 0-521-35753-5
• Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), „New N = 2 superkonformalne teorie pola i zagęszczanie superstrun”, Nuclear Physics B , 321 (1): 232–268, Bibcode : 1989NuPhB.321..232K , doi : 10.1016/0550-3213 ( 89)90250-2
• Schwimmer, A.; Seiberg, N. (1987), „Komentarze dotyczące algebr superkonformalnych N = 2, 3, 4 w dwóch wymiarach”, Phys. Łotysz. B , 184 (2–3): 191–196, Bibcode : 1987PhLB..184..191S , doi : 10.1016/0370-2693(87)90566-1
•   Voisin, Claire (1999), Lustrzana symetria , teksty i monografie SMF / AMS, tom. 1, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-1947-X
• Wassermann, AJ (2010) [1998]. „Notatki z wykładów na temat algebr Kaca-Moody'ego i Virasoro”. ar Xiv : 1004.1287 .
•   West, Peter C. (1990), Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji (wyd. 2), World Scientific, s. 337–8, ISBN 981-02-0099-4