Naprzemienna mapa wieloliniowa

W matematyce , a dokładniej w algebrze wieloliniowej , naprzemienna mapa wieloliniowa to mapa wieloliniowa ze wszystkimi argumentami należącymi do tej samej przestrzeni wektorowej (na przykład forma dwuliniowa lub forma wieloliniowa ), która wynosi zero, ilekroć dowolna para argumentów jest równa. Mówiąc bardziej ogólnie, przestrzeń wektorowa może być modułem na pierścieniu przemiennym .

Pojęcie alternatyzacji (lub alternatyzacji ) jest używane do wyprowadzenia naprzemiennej mapy wieloliniowej z dowolnej mapy wieloliniowej, której wszystkie argumenty należą do tej samej przestrzeni.

Definicja

Niech $R}$ displaystyle będzie pierścieniem przemiennym i $modułami$ nad $R}$ , że wieloliniowa mapa postaci jest przemienna , jeśli spełnia następujące równoważne warunki: ${\ displaystyle f \ okrężnica V ^ {n} \ do W}$

ilekroć istnieje $-1$ $równoważnik$ ${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0.}$ , że
$textstyle 1 \ równoważnik i \ neq j$ jot ${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0.}$ $takie$ , że

Przestrzenie wektorowe

Niech ${\ displaystyle V, W}$ będą przestrzeniami wektorowymi na tym samym polu. Wtedy wieloliniowa mapa postaci jest naprzemienna, jeśli spełnia następujący warunek: fa $\ do W}$

jeśli ${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ są liniowo zależne , to ${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ ldots ,x_{n})=0}$ .

Przykład

W algebrze Liego nawias Liego jest naprzemienną mapą dwuliniową. Wyznacznikiem , naprzemienna mapa wierszy lub kolumn macierzy.

Nieruchomości

${\ displaystyle x_ {i}}$ ja naprzemiennej mapy wieloliniowej zostanie zastąpiony przez ${\ displaystyle x_ {i} + cx_ {j}}$ dla dowolnego ${\ displaystyle j$ i i $displaystyle$ pierścieniu podstawowym $R}$ wtedy wartość tej mapy nie ulega zmianie.

Każda naprzemienna mapa wieloliniowa jest antysymetryczna, co oznacza, że

{\ Displaystyle f (\ kropki, x_ { i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ dla dowolnego }}1\równoważnik i\ lek n-1,}

lub równoważnie,

{\ Displaystyle f (x_ {\ sigma (1 )},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ dla dowolnego }} \sigma \in S_{n},}

gdzie

}

S_

{\ Displaystyle \ sigma.}

n

oznacza grupę permutacji rzędu i jest znakiem σ

Jeśli $displaystyle n!}$ $\$ jest jednostką w pierścieniu podstawowym każda antysymetryczna $wieloliniowa$ jest naprzemienna.

Alternacja

$} \ do W}$ $V n → W$ postaci mapy wieloliniowej zdefiniowany przez

{\ Displaystyle g (x_ {1}, \ ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{ \sigma (n)})}

{\ Displaystyle f.}

że jest alternatyzacją f

Nieruchomości

Alternatyzacja n -wieloliniowej przemiennej mapy to n ! razy.
Alternatyzacja mapy symetrycznej wynosi zero.
Alternatyzacja mapy dwuliniowej jest dwuliniowa. Przede wszystkim alternatyzacja dowolnego kocyklu jest dwuliniowa. Fakt ten odgrywa kluczową rolę w identyfikacji drugiej grupy kohomologii sieci z grupą naprzemiennych form dwuliniowych na sieci.

Zobacz też

Notatki

Bourbaki, N. (2007). Elementy matematyki . Tom. Algèbre Chapitres 1 à 3 (przedruk red.). Skoczek.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Algebra abstrakcyjna (wyd. 3). Wiley'a.
Lang, Serge (2002). Algebra . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 211 (poprawione wydanie 3). Skoczek. ISBN 978-0-387-95385-4 . OCLC 48176673 .
Rotman, Joseph J. (1995). Wprowadzenie do teorii grup . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 148 (wyd. 4). Skoczek. ISBN 0-387-94285-8 . OCLC 30028913 .