Nazwana teoria mnogości

Nazwana teoria mnogości jest gałęzią matematyki teoretycznej , która bada struktury nazw . Nazwany zbiór jest koncepcją teoretyczną, która uogólnia strukturę nazwy opisaną przez Fregego . Jego uogólnienie łączy teorię deskryptywistów nazwy i jej struktury triadowej (nazwa, wrażenie i odniesienie), ze strukturami matematycznymi, które definiują nazwy matematyczne za pomocą trójek. Wdraża to pierwsze, aby zobaczyć drugie na wyższym abstrakcyjnym poziomie, który jednoczy nazwę i jej związek ze strukturą matematyczną jako skonstruowanym odniesieniem. Dzięki temu wszystkie nazwy w nauce i technice mogą być traktowane jako nazwane zbiory lub jako systemy nazwanych zbiorów.

Nieformalnie nazwana teoria mnogości jest uogólnieniem, które bada zbiory obiektów (może to być jeden obiekt) połączonych z innymi obiektami (może to być jeden obiekt). Paradygmatycznym przykładem nazwanego zbioru jest zbiór obiektów powiązanych z jego nazwą. Matematycznymi przykładami nazwanych zbiorów są przestrzenie współrzędnych (obiekty to punkty, a współrzędne to nazwy tych punktów), pola wektorowe na rozmaitościach (obiekty to punkty rozmaitości, a wektory przypisane do punktów to nazwy tych punktów), relacje binarne między dwoma zbiorami (obiekty są elementami pierwszego zbioru, a elementami drugiego zbioru są nazwy) oraz wiązkami włókien (obiekty tworzą przestrzeń topologiczną, nazwy z innej przestrzeni topologicznej, a połączenie jest ciągłą projekcją). Język nazwanej teorii mnogości może być używany w definicjach wszystkich tych obiektów abstrakcyjnych.

Historia

W XX wieku wymyślono wiele uogólnień zbiorów, np. zbiory rozmyte (Zadeh, 1965), lub odkryto je na nowo, np. multizbiory (Knuth, 1997). W rezultacie te uogólnienia stworzyły problem unifikacji w podstawach matematyki . Koncepcja nazwanego zbioru powstała jako rozwiązanie tego problemu. Jego uogólnienie struktur matematycznych pozwoliło na unifikację wszystkich znanych uogólnień zbiorów. Później wykazano, że wszystkie podstawowe struktury matematyczne są albo pewnymi rodzajami nazwanych zbiorów, albo są zbudowane z nazwanych zbiorów. Według Anellisa, Burgin i Kaloujnine wprowadzili nazwane zbiory teorii mnogości w 1983 r., A Burgin wprowadził nazwane zbiory w najbardziej ogólnej formie w 1990 r. Od tego czasu Burgin nadal rozwijał tę teorię w serii artykułów i książce. W 2011 Zellweger zastosował teorię nazwanych zbiorów do modelowania relacji danych w relacyjnej bazy danych dla interfejsu użytkownika końcowego.

Podstawowe koncepcje

W matematyce struktury matematyczne mogą mieć więcej niż jedną definicję . Dlatego istnieje kilka definicji nazwanych zbiorów, z których każda reprezentuje specyficzną konstrukcję nazwanej teorii mnogości. Definicja nieformalna jest najbardziej ogólna.

Nieformalna definicja

Nazwany zbiór X ma postać triady X = ( X , f , I ), w której X i I są dwoma obiektami, a f jest związkiem między X i I . Jest to reprezentowane przez podstawową triadę na poniższym diagramie.

Fundamenttriad.jpg

Elementarną teorię mnogości można studiować nieformalnie i intuicyjnie, a zatem można jej uczyć w szkołach podstawowych przy użyciu nazwanych zbiorów teorii mnogości i operacji na nich.

Definicja aksjomatyczna

Podobnie jak w przypadku teorii mnogości, zbiory nazwane mają reprezentacje aksjomatyczne , tj. są definiowane przez systemy aksjomatów i badane w aksjomatycznej nazwanej teorii mnogości. Aksjomatyczne definicje nazwanej teorii mnogości pokazują, że w przeciwieństwie do zbiorów rozmytych i multizbiorów , nazwana teoria mnogości jest całkowicie niezależna od teorii mnogości lub teorii kategorii, podczas gdy teorie te są naturalnie pojmowane jako podteorie nazwanej teorii mnogości.

Definicja kategoryczna

W definicji kategorycznej zbiory nazwane są budowane wewnątrz wybranej (matematycznej) kategorii, podobnie jak konstrukcja teorii mnogości w toposie. Mianowicie, biorąc pod uwagę kategorię K, nazwany zbiór w K jest triadą X = ( X , f , I ), w której X i I są dwoma obiektami z K, a f jest morfizmem między X a I .

Definicja teorii mnogości

W definicji teorii mnogości, nazwane zbiory są budowane przy użyciu zbiorów podobnych do konstrukcji zbiorów rozmytych lub wielozbiorów. Mianowicie, zbiór nazwany teorią mnogości to triada X = (X, f, I), w której X i I to dwa zbiory, a f to teoretyczno-mnogościowa odpowiedniość (relacja binarna) między X i I. Zauważ, że nie wszystkie nazwane zbiory są mnogościowe. Najbardziej przejrzystym przykładem nazwanych zbiorów niezwiązanych z teorią mnogości są nazwane zbiory algorytmiczne, które mają postać X = (X, A, I), w której X i I są dwoma obiektami konstrukcyjnymi, na przykład zbiorami słów, a A to algorytm, który przekształca X w I.

Definicja algorytmiczna

W definicji algorytmicznej nazwany zbiór A = ( X , A , Y ) składa się z algorytmu A , zbioru X wejść i zbioru Y wyjść.

Przykłady

Przykłady z życia codziennego

Imię jest nadawane osobie, miejscu lub rzeczy, aby je zidentyfikować . Na przykład rodzice mogą nadać dziecku imię, a naukowiec może nadać nazwę elementowi. Przykłady nazwanych zestawów obejmują,

  • Ludzie, ich imiona i relacje między ludźmi i ich imiona.
  • Kraje, ich nazwy oraz relacje między krajami i ich nazwy.
  • Artykuły w encyklopedii, ich tytuły (jako nazwy) oraz relacje między artykułami a ich tytułami (powiązanie).

Przykłady z fizyki

Przykłady z matematyki

Henri Poincaré (1908) napisał, że w nauce i matematyce żaden przedmiot nie istnieje bez nazwy. Przykłady takich obiektów matematycznych i ich nazw jako zastosowań nazwanych zbiorów obejmują:

  • Relacje binarne to zbiory nazw teorii mnogości. Już w 1960 roku Bourbaki reprezentował i badał relację binarną między zbiorami A i B w postaci zbioru nazw (A, G, B), gdzie G jest wykresem relacji binarnej, czyli zbiorem par, dla których pierwsza projekcja jest podzbiorem A, a druga projekcja jest podzbiorem B (Bourbaki, 1960).
  • Funkcje są zestawami nazw teorii mnogości jako szczególnymi przypadkami relacji binarnych.
  • Zbiór rozmyty to nazwany zbiór (U, m, [0,1]), gdzie U to zbiór, [0,1] to przedział jednostkowy, a m to funkcja przynależności.
  • Graf G to nazwany zbiór (V, E, V), gdzie V to zbiór wierzchołków (węzłów) G, a E to zbiór krawędzi G.
  • Wiązka włókien B jest nazwanym zbiorem (E, p, B), gdzie przestrzeń topologiczna E jest przestrzenią B; przestrzeń topologiczna B podstawa B; a p jest rzutem topologicznym E na B takim, że każdy punkt w B ma takie sąsiedztwo U, że p −1 (b) = F dla wszystkich punktów b z B i p −1 (U) jest homeomorficzne z iloczynem bezpośrednim U × F, gdzie F jest włóknem B.

Dlatego każdy zbiór jest w rzeczywistości nazwanym zbiorem postaci (X, ∈, „X”), gdzie X jest zbiorem (bez nazwy), „X” jest nazwą tego zbioru i łączy elementy z X z nazwą „ X". Dlatego każdy opis teorii mnogości zaczyna się od podstawowej relacji binarnej ∈. Następna jest podstawowa relacja binarna ⊆ między dwoma zbiorami, zwana relacją podzbioru lub inkluzją zbioru. Niektóre podstawowe nazwane zbiory o centralnym znaczeniu to pusty nazwany zbiór (unikatowy zbiór bez obiektów, bez nazw i pustego połączenia), nazwany zbiór liczb naturalnych , w którym liczby mają nazwy w językach naturalnych i numerycznych (np. liczba dziesięć ma nazwy: „10”, „dziesięć”, „1010”, „diez”, „dix”, „zehn”, „X” i wiele innych) oraz zbiór liczby, w których jako nazwy liczbom przypisano punkt linii prostej.

Aplikacje

Wszystkie konstrukcje matematyczne są nazwanymi zbiorami lub systemami nazwanych zbiorów. Na przykład struktury matematyczne tak różnorodne, jak grafy, rozmaitości , przestrzenie wektorowe , liczby naturalne i rzeczywiste są identyfikowane przez formalnie zdefiniowane terminy, które spełniają różne (aksjomatyczne) właściwości. Każda nazwa i jej zgodność z matematycznym wyrażeniem jej struktury tworzą nazwany zbiór. Równoważność i porządek relacje, które są wszechobecne w matematyce, są relacjami binarnymi, które z kolei są formalnie zdefiniowanymi terminami odpowiadającymi strukturom matematycznym, w których reprezentują system nazwanych zbiorów.

U podstaw wszystkich dziedzin nauki i technologii leży matematyka. Ogólnie rzecz biorąc, istnieją jawne i niejawne zastosowania nazwanych zbiorów w tych polach. Na przykład dowolna klasyfikacja lub nomenklatura, taka jak Międzynarodowy Kodeks Nomenklatury Botanicznej (2000), jest wyraźnie nazwanym zbiorem, w którym poszczególne terminy są dobrze zdefiniowane. Inne przykłady jawnych zastosowań nazwanych zestawów to:

Przykłady niejawnych zastosowań nazwanych zestawów obejmują:

W przypadku relacyjnych baz danych zastosowanie nazwanych zbiorów ujawniło niejawny jednolity wzorzec relacji danych ukryty w bazie danych o nazwie Aleph . Jest to abstrakcyjna koncepcja, która uogólnia wszechobecne jeden-do-jednego i jeden-do-wielu występujące w całej bazie danych.

Zobacz też

Bibliografia

  • Aigner, M. Kombinatoryczna teoria, Springer Verlag, Nowy Jork/Berlin, 1979
  •   Anellis, Irving H. (1991), „Od redakcji: Burgin i teoria nazwanych zbiorów”, Modern Logic. Międzynarodowy Dziennik Historii Logiki Matematycznej, Teorii Mnogości i Podstaw Matematyki 2 (1): 1–2, ISSN 1047-5982 , MR 1127352
  • Bourbaki, N. Theorie des Ensembles, Hermann, Paryż, 1960
  • Burgin M. Theory of Named Sets as a Foundational Basis for Mathematics, w: Structures in Mathematical Theories, San Sebastian, 1990, s. 417–420 ( http://www.blogg.org/blog-30140-date-2005- 10-26.html )
  • Burgin, M. (1992) Struktury algebraiczne liczb wielokardynalnych, w: Problemy teorii grup i algebry homologicznej, Jarosław, s. 3–20
  • Burgin, M. (1995) Nazwane zestawy jako podstawowe narzędzie epistemologii, Epistemologia, t. XVIII, s. 87–110
  • Burgin, M. (2001) „How We Know What Technology Can Do”, Communications of the ACM, t. 44, nr 11, s. 82–88
  •   Burgin, M. (2011), Theory of Named Sets, Mathematics Research Developments, Nova Science Pub Inc, ISBN 978-1-61122-788-8 , https://books.google.com/books?id=1CpiewAACAAJ
  • Burgin, M. and Zellweger, P. (2005) A Unified Approach to Data Representation, w Proceedings of the 2005 International Conference on Foundations of Computer Science, CSREA Press, Las Vegas, s. 3–9*
  • Church, A. Wprowadzenie do logiki matematycznej, Princeton University Press, Princeton, 1956
  • Cunnigham, W. Objects, Patterns, Wiki and XP: All are systems of Names, OOPSLA 2004, Vancouver, Kanada, 2004 ( http://www.oopsla.org/2004/ )
  • Dalla Chiara, ML i Toraldo di Francia, G., „Osoby, rodzaje i nazwy w fizyce”, w: Corsi, G. et al. (red.), Niwelowanie luki: filozofia, matematyka, fizyka, Kluwer Ac. Publ., 1993, s. 261–283
  • Irlam, G. Naming, 1995 (wydanie elektroniczne: http://www.base.com/gordoni/web/naming.html )
  • Knuth, D. The Art of Computer Programming, t. 2: Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1997
  • Martin, J. Organizacja komputerowych baz danych, Prentice-Hall, 1977
  • Zadeh, L. (1965) zbiory rozmyte, informacje i sterowanie, t. 8, nr 3, s. 338–353
  •   Zellweger, HP (2011) Wizualizacja wiedzy o zawartości bazy danych utworzonej przez taksonomię bazy danych, 15. Międzynarodowa Konferencja Wizualizacji Informacji, s. 323–328, 2011. ISBN 978-0-7695-4476-2
  •   Zellweger, Paweł. (2016), Relacja danych Aleph w danych strukturalnych, drzewo w wizualizacji drzewa. Analiza wizualna i danych. San Francisco, Kalifornia, 14 lutego 2016, s. 1-1(1), ISSN 2470-1173 .
Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Named_set_theory&oldid=1112577468 ”