Nieparametryczny przedział ufności oparty na CDF

W statystyce nieparametryczne przedziały ufności oparte na skumulowanej funkcji dystrybucji (CDF) są ogólną klasą przedziałów ufności wokół funkcjonałów statystycznych rozkładu . Aby obliczyć te przedziały ufności, wszystko, czego potrzeba, to niezależnie i identycznie rozłożona (iid) próbka z rozkładu i znane granice na poparcie rozkładu. To ostatnie wymaganie oznacza po prostu, że cała niezerowa masa prawdopodobieństwa rozkładu musi być zawarta w pewnym znanym przedziale. ${\ displaystyle [a, b]}$ .

Intuicja

Intuicja stojąca za podejściem opartym na CDF polega na tym, że granice CDF rozkładu można przetłumaczyć na granice funkcjonałów statystycznych tego rozkładu. Biorąc pod uwagę górną i dolną granicę CDF, podejście polega na znalezieniu CDF w granicach, które maksymalizują i minimalizują interesujący nas funkcjonał statystyczny.

Właściwości granic

W przeciwieństwie do podejść, które przyjmują założenia asymptotyczne, w tym podejść z samouzgodnieniem i tych, które opierają się na centralnym twierdzeniu granicznym , granice oparte na CDF są ważne dla skończonych rozmiarów próbek. I w przeciwieństwie do granic opartych na nierównościach, takich jak Hoeffdinga i McDiarmida , granice oparte na CDF wykorzystują właściwości całej próbki, a tym samym często dają znacznie ściślejsze granice.

Granice CDF

Tworząc granice na CDF, musimy rozróżnić pasma punktowe i jednoczesne .

Ilustracja różnych granic CDF. To pokazuje granice CDF wygenerowane z losowej próbki 30 punktów. Fioletowa linia to jednoczesne granice DKW, które obejmują cały CDF na poziomie ufności 95%. Pomarańczowe linie pokazują punktowe granice Cloppera-Pearsona, które gwarantują tylko pojedyncze punkty na poziomie ufności 95%, a tym samym zapewniają ściślejsze ograniczenie

Pasmo punktowe

Punktowa granica CDF to taka, która gwarantuje jedynie ich $w$ wynoszące procent dowolnym pojedynczym punkcie empirycznego CDF Ze względu na złagodzone gwarancje odstępy te mogą być znacznie mniejsze.

Jedna z metod ich generowania opiera się na rozkładzie dwumianowym. Biorąc pod uwagę pojedynczy punkt CDF o wartości $dwumianowego$ $punkcie$ będzie rozłożony proporcjonalnie do rozkładu $p=F(x_{i})}$ $displaystyle$ i równą liczbie próbek w rozkładzie empirycznym. Zatem każda z dostępnych metod generowania przedziału ufności proporcji dwumianowej może być również wykorzystana do wygenerowania powiązania CDF.

Zespół symultaniczny

Przedziały ufności oparte na CDF wymagają probabilistycznego ograniczenia na CDF rozkładu, z którego wygenerowano próbkę. $,$ wiele metod generowania przedziałów ufności dla CDF rozkładu biorąc pod uwagę próbkę iid pobraną z rozkładu. Wszystkie te metody opierają się na funkcji rozkładu empirycznego (empiryczny CDF). Biorąc pod uwagę próbkę iid o rozmiarze n , ${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ sim F}$ empiryczny CDF jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle {\ kapelusz {F}} _ {n} (t) = {\ Frac {1} {n}} \sum _{i=1}^{n}1\{x_{i}\równik t\},}

gdzie jest $wskaźnikiem$ zdarzenia A. Dvoretzky'ego – Kiefera – Wolfowitza stała została określona przez Massarta, umieszcza przedział ufności wokół statystyki Kołmogorowa – Smirnowa między CDF i empiryczny CDF. Biorąc $pod$ uwagę próbkę iid o rozmiarze z , stany związane

{\ Displaystyle P (\ sup _ {x} | F (x) -F_ {n} (x) |> \ varepsilon) \ równoważnik 2e ^ {- 2n \ varepsilon ^ {2}}.}

Można to postrzegać jako obwiednię ufności, która biegnie równolegle do empirycznej CDF i jest w równym stopniu powyżej, jak i poniżej.

Ilustracja ograniczenia empirycznego CDF, które otrzymuje się za pomocą nierówności Dvoretzky'ego – Kiefera – Wolfowitza. Notacja wskazuje statystykę kolejności

}}}

\ displaystyle j

.

Równomiernie rozłożony przedział ufności wokół empirycznego CDF pozwala na różne wskaźniki naruszeń w poprzek rozkładu. W szczególności częściej zdarza się, że CDF znajduje się poza granicą CDF oszacowaną przy użyciu nierówności Dvoretzky'ego – Kiefera – Wolfowitza w pobliżu mediany rozkładu niż w pobliżu punktów końcowych rozkładu. Natomiast ograniczenie oparte na statystykach zamówień wprowadzone przez Learned-Miller i DeStefano pozwala na równy wskaźnik naruszeń we wszystkich statystykach zamówień. To z kolei powoduje, że granica jest ciaśniejsza w pobliżu końców podpór rozkładu i luźniejsza w środku podpór. Inne typy ograniczeń można generować, zmieniając współczynnik naruszeń dla statystyk zamówień. Na przykład, jeśli pożądane jest ściślejsze ograniczenie rozkładu w górnej części podpory, można dopuścić wyższy wskaźnik naruszenia w górnej części podparcia kosztem niższego wskaźnika naruszenia, a tym samym luźniejszego związany, dla dolnej części podpory.

Nieparametryczne ograniczenie średniej

Załóżmy bez utraty ogólności , że wsparcie rozkładu zawiera się w $].} Biorąc$ $0,1$ $pod$ uwagę obwiednię ufności dla CDF łatwo jest wyprowadzić odpowiedni przedział ufności dla . Można pokazać, że CDF, który maksymalizuje średnią, to ten, który biegnie wzdłuż dolnej obwiedni ufności, $CDF$ średnią, to ten, który biegnie wzdłuż górnej koperta, ${\ Displaystyle U (x)}$ . Korzystanie z tożsamości

{\ Displaystyle E (X) = \ int _ {0} ^ {1} (1-F (x)) \, dx,}

przedział ufności dla średniej można obliczyć jako

{\ Displaystyle \ lewo [\ int _ {0} ^ {1} (1-U (x)) \, dx, \ int _ {0} ^ {1} (1-L (x)) \, dx \ Prawidłowy].}

Nieparametryczne ograniczenie wariancji

Załóżmy bez utraty ogólności, że poparcie dla dystrybucji odsetek $jest$ zawarte w ${\ displaystyle [0,1]$ } Biorąc pod uwagę obwiednię ufności dla $można$ wykazać, że CDF w obwiedni, która minimalizuje wariancję, zaczyna się na dolnej obwiedni, ma nieciągłość skoku do górnej obwiedni, a następnie biegnie dalej wzdłuż górnej obwiedni. Ponadto można wykazać, że ten CDF minimalizujący wariancję, F ', musi spełniać ograniczenie polegające na tym, że nieciągłość skoku występuje w ${\ Displaystyle E [F']}$ . CDF maksymalizujący wariancję zaczyna się na górnej obwiedni, przechodzi poziomo do dolnej obwiedni, a następnie biegnie dalej wzdłuż dolnej obwiedni. Jawne algorytmy do obliczania tych CDF maksymalizujących i minimalizujących wariancję podają Romano i Wolf.

Granice innych funkcjonałów statystycznych

Ramy oparte na CDF do generowania przedziałów ufności są bardzo ogólne i mogą być stosowane do wielu innych funkcjonałów statystycznych, w tym

Entropia
Wzajemne informacje
Dowolne percentyle

Zobacz też